1/3 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Répartition modulo 1 de

X Maths PC 2008 — Énoncé 1/3
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2008 FILIÈREPC
COMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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Répartitionmodulo 1 desuitesdenombresréels
Premièrepartie
Onconsidèrelamatrice M=Ö0 0 −1
0 1 1
1 1 −1è.On désigneparIlamatrice identitédeM3(R).
1.MontrerqueMpossèdeuneuniquevaleurpropreréelleλ,etqueλestcomprise
entre1et2.
2.Soitσunevaleurpropre complexe,nonréelle,deM.Calculerλ|σ|2etcomparerlesréels
|σ|,1et1
√2.
3.a)MontrerqueI,MetM2sontlinéairementindépendantsdansl’espace vectorielM3(R).
3.b)CalculerM3etl’exprimercomme combinaisonlinéaireàcoefficientsentiersdeIetM.
3.c)En déduirequ’il existedeuxentiersαetβtelsque,pour toutentiern>0,
Mn+3=αMn+1+βMn.(ParconventionM0=IetM1=M.)
Pour toutentiern>0,on poseun=Tr(Mn)etvn=cos(πun).
4.a)Pour06n610,calculerunetvn.
4.b)Montrerquelasuite(vn)n∈Nestpériodique,etprécisersapériode.
4.c)Montrerquelasuite(wk)k∈Ndéfinieparwk=Pk
n=0vnn’estpasbornée.
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X Maths PC 2008 — Énoncé 2/3
5.a)Exprimerunenfonction deλ,σetn.
5.b)Lasuite(yk)k∈Ndéfinieparyk=Pk
n=0cos(πλn)est-ellebornée ?
Danslasuitedu problème,on noteϕlafonction périodiquedepériode1quiàtoutnombre
réelx∈]−1
2,1 2]associe|x|.
Deuxièmepartie
6.Soientαetβdeuxnombresréelstelsque16α<β.Pourn>1,on pose
In=Zβ
α
cos(2πxn)dx.
6.a)Onsupposedanscetteseulequestion6.a)que,pour toutxdel’intervalle[α,β],ona
limn→+∞(ϕ(xn)) =0.Montrerquelimn→+∞In=β−α.
6.b)Àl’aided’un changementdevariable etd’uneintégration parparties,déterminerla
limitedelasuite(In)n∈N∗quand ntend versl’infini.
6.c)Quepeut-on déduiredesdeux questionsprécédentes?
Troisièmepartie
7.a)CalculerlescoefficientsdeFourier(cq(ϕ))q∈Zdelafonctionϕ.
7.b)En déduireque,pourq>0,ona|cq(ϕ)|61
2q(q+1).
On note
Sp(ϕ)(x)=
p
X
q=−p
cq(ϕ)e2πiqx
lasommepartielled’indice pdelasériedeFourierdelafonctionϕ.
8.Montrerquepour tout réelxet toutentierp>1,ona
|ϕ(x)−Sp(ϕ)(x)|61
p.
9.Montrerqueleréelλdéfinidanslaquestion1n’appartientpasàQ. [On pourrautiliser
lefaitquesiuestun nombrerationnelpositifnonentier,on peutécrireucommequotientde
deuxentiers strictementpositifsaetbtelsqu’aucun facteurpremierdebnedivisea.]
10.Soitλleréeldéfinidanslaquestion1.Montrerquepour toutentierq6=0et toutentier
N>1,ona
|
N
X
n=1
e2πiqnλ|61
|sin(πqλ)|.
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X Maths PC 2008 — Énoncé 3/3
11.Déduiredesquestionsprécédentesque,pour toutentierp>1et toutentierN>1,ona
1
N
N
X
n=1
ϕ(nλ)−1
4
61
p+1 Nsup
16q6p
1
|sin(πqλ)|.
12.Déduirede ce quiprécèdequelasuite(1
N
N
X
n=1
ϕ(nλ))N∈N∗aunelimitequel’on précisera.
13.Lerésultatdelaquestion12 reste-t-il valablesi l’onremplace λparun nombreirrationnel
quelconque?
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