Lycée Mourouj 6 Série de classe n°1 3ème Math 2 Septembre 2014

Lycée Mourouj 6
Septembre 2014
Exercice n°1 :
Série de classe n°1
Généralités sur les fonctions
3ème Math 2
Prof :Hamraoui .Achour
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse .
Le graphique ci-contre représente la courbe d’une fonction f définie sur [−4 ; 5 ]
a) f admet un maximum en 4 sur [−4 ; 5 ] .
b) f admet un maximum en 4 sur [2 ; 5 ] .
c) f admet un minimum en -3 sur [−4 ; 5 ] égal à 2 .
d) -3 est un minorant de f sur [−4 ; 0 ] .
e) f est majorée par 2 sur [−4 ; 0 ] .
f) f est bornée .
g) f est croissante sur [2 ; 4 ] .
h) f est décroissante sur [−2 ; 2 ] .
i) L’équation f(x)=1 admet une seule solution .
Exercice n°2 :
Soit la fonction f : ℝ⟶ ℝ : x ↦ 3 ( x - 2)²- 5
1) Montrer que la fonction f est minorée sur ℝ .
2) Montrer que la fonction f est bornée sur l’intervalle [−1 ; 2 ] .
3)Etudier le sens de variations de f sur ℝ .
4) Tracer C la courbe représentative de f dans un r . o. n (𝑜 , 𝑖⃗ , 𝑗⃗ ).
5) Soit g : R ⟶ R : x ↦ 3 ( |𝑥|- 2)²- 5
a)Expliquer comment on trace C ‘’ la courbe représentative de g dans le repère (𝑜 , 𝑖⃗ , 𝑗⃗ ) en utilisant C .
b) En déduire le tableau de variations de g .
c) Déterminer suivant les valeurs de réel k le nombre de solutions de l’équation : (𝐸𝑘 ) ∶ 3𝑥² − 3(𝑘 + 4|𝑥|) + 7 = 0
Exercice n°3 :
1) Etudier le sens de variations de chacune des fonctions suivantes :
3
a) f(𝑥) = 2𝑥² − 4 − 2𝑥−4 ; 𝑥 ∈ ]2, + ∞ [
b) f(𝑥) = √6 − 2𝑥 +
1
𝑥−4
𝑥 ∈ ]−∞ , 3]
c) f(𝑥) = √2𝑥² − 6𝑥 + 4 𝑥 ∈ [2 , + ∞[
2) Déterminer si les fonctions f suivantes définies sur l’ensemble D sont paires , impaires ou ni l’une ni l’autre .
a) D= [−3 ; 3 ] f(𝑥) =
c) D= ℝ f(𝑥) =
𝑥²+1
𝑥²+2
4𝑥
𝑥²+2
𝑥− 1
e) D= ℝ f(𝑥) = √ 𝑥+1
Exercice n°4 :
b ) D= [−3 ; 5 ] f(𝑥) =
𝑥²+1
𝑥²+2
d) D= [−4 ; 4 ] f(𝑥) =
3
𝑥+5
1
f) D= ℝ f(𝑥) = √𝑥² + 𝑥 + 4
1
g) D= ]−1 ; 1[ f(𝑥) = √1−𝑥 + 1+𝑥
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=
x
x²+1
1) Etudier la parité de f .
2)a) Montrer que pour tout réel x , 𝑥² ≥ 𝑥 − 1 .
b) En déduire que f est bornée .
√x
3) Soit la fonction g définie sur ℝ+ par g(x)= x+1 . Montrer que g est bornée .
1
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Exercice n°5 :
Série de classe n°1
Généralités sur les fonctions
Soit la fonction f définie sur ℝ∗ par f(x)= x +
4
𝑥
3ème Math 2
Prof :Hamraoui .Achour
.
1) Montrer que la fonction est impaire .
2) Soit g la restriction de f à ℝ∗+ .
a)Montrer que 4 est un minorant de g sur ℝ∗+ .
b)Le réel 4 est-il un minimum de g ?
3)Montrer que la restriction de f à ℝ∗− admet un maximum que l’on précisera .
Exercice n°6 :
Soit la function f définie sur [−1; 2] par f(x)=xE(x)-E(2x)
1)Ecrire plus simplement f(x) et en déduire que f est une function affine par intervalles .
2)Représenter graphiquement f dans un repère orthnormé (o , ⃗i , ⃗j ).
Exercice n°7 :
-x-2
I) Soit la fonction f définie par : f(x)= {E(x)
2x-2
si x<-1
si-1 ≤x <0
si x≥ 0
1) Tracer dans un repère orthonormé la courbe C de f .
2) Déterminer graphiquement les variations de f .
3)a) Représenter sur la même graphique la droite ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥 .
b) Déterminer C ∩ ∆ .
c) Résoudre dans ℝ l’inéquation f(x)<x .
II) Soit la fonction h définie sur
Soit f une fonction définie sur ℝ∗+ par h(x)=
E( x)
x
1) Montrer que h est bornée .
2) Construire dans un repère orthonormé la courbe représentative de la restriction de h sur ]0; 3[ .
Exercice n°8 :
Soit f la fonction définie sur ℝ tel que : ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ f(-x)+3f(x)=4x3 + 2x
1) Montrer que f est impaire .
2)a)Expliciter f(x) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ .
b) Etudier les variations sur ℝ de la fonction 𝑥 ↦ 2𝑥 3 , en déduire que f est monotone sur ℝ .
3) On pose g(x)=
1
√f(x)
.
a) Préciser Dg puis étudier les variations de g .
b) Montrer que g est bornée sur [1 , + ∞[ .
2