Exercice de spécialité, classe de terminale 10, bac blanc de fin d

Exercice de spécialité, classe de terminale 10, bac blanc de fin d’année
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de l’entier 𝑎𝑛 = 6𝑛 − 1 (𝑛 ≥ 1)
Partie A : quelques exemples
1. Démontrer que 6𝑛 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5) pour tout entier naturel 𝑛. En déduire le dernier
chiffre de l’écriture décimale de 𝑎𝑛 .
2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat que 𝑎28 est divisible par 29.
3. Pour 1 ≤ 𝑛 ≤ 4, déterminer le reste de la division de 6𝑛 par 37. En déduire que pour
tout entier 𝑘, 𝑎4𝑘 est divisible par 37.
4. Pour quels entiers 𝑛 le nombre 𝑎𝑛 est-il divisible par 7 ?
5. Déduire des questions précédentes 4 diviseurs premiers de 𝑎28 .
Partie B : divisibilité par un nombre premier
Soit 𝑝 un nombre premier différent de 2 et 3.
1. Démontrer qu’il existe un entier 𝑛 ≥ 1 tel que 6𝑛 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝).
2. On appelle 𝑏 le plus petit entier strictement positif tel que 6𝑏 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). On
considère un entier 𝑛 tel que 6𝑛 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). On appelle 𝑟 le reste de la division
euclidienne de 𝑛 par 𝑏.
a) Montrer que 6𝑟 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). En déduire que 𝑟 = 0.
b) Prouver que 6𝑛 − 1 est un multiple de 𝑝 si et seulement si 𝑛 est un multiple de 𝑏.
c) En déduire que 𝑏 divise 𝑝 − 1.