Exercice de spécialité, classe de terminale 10, bac blanc de fin d

Exercice de spécialité, classe de terminale 10, bac blanc de fin d’année
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de l’entier    (  )
Partie A : quelques exemples
1. Démontrer que   pour tout entier naturel . En déduire le dernier
chiffre de l’écriture décimale de .
2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat que  est divisible par 29.
3. Pour     , déterminer le reste de la division de  par 37. En déduire que pour
tout entier ,  est divisible par 37.
4. Pour quels entiers  le nombre est-il divisible par 7 ?
5. Déduire des questions précédentes 4 diviseurs premiers de .
Partie B : divisibilité par un nombre premier
Soit  un nombre premier différent de 2 et 3.
1. Démontrer qu’il existe un entier    tel que  .
2. On appelle  le plus petit entier strictement positif tel que  . On
considère un entier  tel que  . On appelle  le reste de la division
euclidienne de  par .
a) Montrer que  . En déduire que   .
b) Prouver que   est un multiple de  si et seulement si  est un multiple de .
c) En déduire que  divise   .