Chapitre 1 : Polynôme de degré 2

Première ES
Chapitre 1 : Polynôme de degré 2
Les paraboles sont des courbes que l’on rencontre fréquemment. Elles modélisent par exemple
des trajectoires observées lors d’un feu d’artifice, en balistique ou la forme des câbles d’un pont
suspendu. La découverte de la trajectoire parabolique est attribuée à Galilée, mais les travaux
d’Al-Kuwarizmi ont été déterminants pour la résolution des équations de degré 2.
I.
Fonction polynôme de degré 2. Forme canonique
On reprend le cours avec un rappel du cours de second sur les fonction polynôme de degré 2.
Définition : Fonctions polynômes de degré 2
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Remarque : ……………………………………………………………………………………………
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Exemple : Dans chaque cas dire si la fonction est un polynôme du second degré.
a) 𝑓: 𝑥 ↦ 2𝑥 2 − 4𝑥 + 3
b) 𝑔: 𝑦 ↦ 𝑦 − 3
c) ℎ: 𝑡 ↦ (𝑡 − 2)2 − 4
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Propriété : Forme canonique
Tout polynôme de degré 2 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ et 𝑎 ≠ 0 s’écrit
sous la forme 𝑓(𝑥) =
où 𝛼 =
et 𝛽 =
Cette forme est appelée forme canonique.
Propriété : Sommet de la parabole
Le point 𝑆(𝛼; 𝛽) de la parabole située sur l’axe de symétrie de la parabole est appelé ……………….
de la parabole. La fonction 𝑓 atteint son extremum (……………………. ou …………………….) 𝛽
en 𝛼 avec :
𝛼=
𝛽=
Remarque : On peut alors en déduire le tableau de variation.
Si 𝑎 < 0
𝒫 est « orientée vers le bas »
𝑥
Variation
de 𝑓
Si 𝑎 > 0
𝒫 est « orientée vers le haut »
𝑥
Variation
de 𝑓
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Exemple : On considère la fonction 𝑃 définie sur ℝ par 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 5𝑥 − 1
1. Mettre 𝑃(𝑥) sous forme canonique.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction 𝑃.
3. Donner le nombre de solution à l’équation 𝑃(𝑥) = 0 à l’aide d’un tableau de variation
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II.
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Equation du second degré 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Factorisation de 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Résoudre l’équation 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, (𝑎 ≠ 0), c’est trouver (s’il en existe) tous les nombres
qui vérifient cette égalité. Un tel nombre est dit solution de l’équation.
Définition : Racine
Les solutions de l’équation 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 sont aussi appelées …………………………………
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Propriété : Racines d’un polynôme de degré 2
On considère le trinôme défini sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ et 𝑎 ≠ 0.
est appelé ………………………… du trinôme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Le nombre
Les racines du trinôme
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Factorisation de
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Si Δ < 0
Si Δ = 0
Si Δ > 0
Remarque 1 : …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Remarque 2 : Chercher les racines du trinôme ou les solutions de l’équation 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 revient
à chercher les points d’intersection de la parabole 𝒫: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec l’axe des abscisses.
Cas particulier : Dans le cas où il n’y a pas de terme en 𝑥 ou pas de terme constante (𝑏 = 0 ou 𝑐 =
0), on peut résoudre l’équation directement :
 𝑥 2 + 3𝑥 = 0 ⟺
 2𝑥 2 − 10 = 0 ⟺
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Exemple : On considère la fonction 𝑃 définie sur ℝ par 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 5𝑥 − 1
1. Résoudre 𝑃(𝑥) = 0.
2. En déduire la forme factorisée du polynôme 𝑃.
3. A l’aide de l’exemple en partie I. dresser le tableau de signe du polynôme 𝑃.
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Signe d’un polynôme du second degré
III.
Propriété : Signe d’un polynôme de degré 2
On considère le trinôme défini sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 et Δ son
discriminant.
- Si Δ < 0 alors le trinôme
- Si Δ = 0 alors le trinôme
- Si Δ > 0 alors le trinôme
Remarque : On retient souvent cette propriété sous la forme condensée suivante :
On peut aussi retrouver graphiquement le signe de 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 en s’aidant de l’allure de la
parabole 𝒫 parmi les 6 cas possibles, suivant le signe de 𝑎 et de Δ :
Si Δ < 0 alors il n’y a
pas de racine
Si Δ = 0, il y a
une seule racine 𝑥0
Si Δ > 0, il y a
deux racines 𝑥1 et 𝑥2
Si 𝑎 < 0 alors la
parabole 𝒫 « est
tournée vers le
haut ».
Si 𝑎 > 0 alors la
parabole 𝒫 « est
tournée vers le
bas ».
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Exemple : Résolvons −𝑥 2 − 3𝑥 + 6 < 0
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