Chapitre 1 : Polynôme de degré 2

Première ES
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SAES Guillaume
Chapitre 1 : Polynôme de degré 2
Les paraboles sont des courbes que l’on rencontre fréquemment. Elles modélisent par exemple
des trajectoires observées lors d’un feu d’artifice, en balistique ou la forme des câbles d’un pont
suspendu. La découverte de la trajectoire parabolique est attribuée à Galilée, mais les travaux
d’Al-Kuwarizmi ont été déterminants pour la résolution des équations de degré 2.
I. Fonction polynôme de degré 2. Forme canonique
On reprend le cours avec un rappel du cours de second sur les fonction polynôme de degré 2.
Définition : Fonctions polynômes de degré 2
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Remarque : ……………………………………………………………………………………………
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Exemple : Dans chaque cas dire si la fonction est un polynôme du second degré.
a)       
b)      
c)       

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Propriété : Forme canonique
Tout polynôme de degré 2 définie sur  par     avec      et    s’écrit
sous la forme  où   et  
Cette forme est appelée forme canonique.
Propriété : Sommet de la parabole
Le point   de la parabole située sur l’axe de symétrie de la parabole est appelé ……………….
de la parabole. La fonction  atteint son extremum (……………………. ou …………………….) 
en  avec :    
Remarque : On peut alors en déduire le tableau de variation.
Si   
Si   
 est « orientée vers le bas »
 est « orientée vers le haut »
Variation
de 
Variation
de 

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Exemple : On considère la fonction  définie sur  par     
1. Mettre  sous forme canonique.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction .
3. Donner le nombre de solution à l’équation   à l’aide d’un tableau de variation

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II. Equation du second degré     . Factorisation de   
Résoudre l’équation     , (  ), c’est trouver (s’il en existe) tous les nombres
qui vérifient cette égalité. Un tel nombre est dit solution de l’équation.
Définition : Racine
Les solutions de l’équation      sont aussi appelées …………………………………
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Propriété : Racines d’un polynôme de degré 2
On considère le trinôme défini sur  par     avec      et   .
Le nombre est appelé ………………………… du trinôme    .
Remarque 1 : …………………………………………………………………………………………
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Remarque 2 : Chercher les racines du trinôme ou les solutions de l’équation      revient
à chercher les points d’intersection de la parabole       avec l’axe des abscisses.
Cas particulier : Dans le cas où il n’y a pas de terme en  ou pas de terme constante (   ou  
), on peut résoudre l’équation directement :
Les racines du trinôme
Factorisation de
Si   
Si   
Si   

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Exemple : On considère la fonction  définie sur  par     
1. Résoudre  .
2. En déduire la forme factorisée du polynôme .
3. A l’aide de l’exemple en partie I. dresser le tableau de signe du polynôme .