Polynôme

1 bac pro date :
Ph. Georges Maths 1/2
POLYNOME DU SECOND DEGRE a x 2 + b x + c
I. Différentes formes d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes.
Exemple : le polynôme P(x) = x 2 – 6x + 5 est sous la forme développée,
mais il peut être mis sous la forme - canonique : x 2 – 6x + 5 = x 2 – 6x + 9 – 4 = (x – 3) 2 – 4
- factorisée (x – 3) 2 – 4 = (x – 3 – 2)(x – 3 + 2) = (x – 5)(x – 1)
3 formes courantes pour un polynôme du second degré :
- Forme développée : ax 2 + bx + c ( où a,b,c sont des réels).
- Forme canonique : la variable x n'apparaît qu'une seule fois.
- Forme factorisée : le polynôme est sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique.
II. Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré
En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent.
1er cas Le polynôme 4 x 2 + 4 x + 9 = 4 x 2 + 4 x + 1 + 8 = (2 x + 1) 2 + 8
La dernière expression obtenue est la forme canonique de ce polynôme.
On remarque que sa forme canonique est une somme de 2 nombres positifs (dont l'un est strictement
positif) : (2 x + 1) 2 et 8. Donc il ne peut pas s'annuler quelque soit la valeur de x.
(autrement dit il n'a pas de racines réelles)
2ème cas Le polynôme x 2 + 6 x + 9 = (x + 3) 2
Ici, la forme canonique et la forme factorisée correspondent.
La seule valeur pouvant annuler (x + 3) 2 est – 3.
(autrement dit une seule racine)
3ème cas Le polynôme x 2 + 2 x – 3 = x 2 + 2 x + 1 – 4 = (x + 1) 2 – 4
La forme canonique de se polynôme est de la forme a 2 – b 2.
Le polynôme peut donc être factorisé.
(x + 1) 2 – 4 = (x + 1 – 2)(x + 1 + 2) = (x – 1)(x + 3)
L'équation (x – 1)(x + 3) = 0 admet 2 solutions 1 et – 3.
(autrement dit 2 racines)
Quelque soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés,
soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel prés.
Conclusion : dans l'ensemble des nombres réels, un polynôme du second degré peut admettre soit
aucune racine, soit une racine, soit 2 racines.

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III. Discriminant d'un polynôme du second degré
Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c :
a
Error!
= a
Error!
ou le nombre  = b 2 – 4ac est appelé le discriminant du polynôme.
 Si < 0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une somme de 2 nombres
positifs dont l'un est strictement positif, ax 2 + bx + c n’a pas de racines réelles.
 Si = 0, la forme canonique est réduite à : a (x +
Error!
) 2
donc une seule racine : x0 = –
Error!
pour ax 2 + bx + c.
 Si  0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une différence de 2 carrés.
On obtient, après avoir factorisé (a 2 – b 2) = (a – b) (a + b), les 2 racines du polynôme :
x1 =
Error!
et x2 =
Error!
IV. Propriétés des racines d'un polynôme du second degré
Dans le cas ou le polynôme ax 2 + bx + c admet deux racines x1 et x2.
On pose : S = x1 + x2 la somme des racines
P = x1 x2 le produit des racines
On obtient une relation entre S, P, a, b, c : a x 2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2)
= a [x 2 – (x1 + x2) x + x1 x2]
= a [x 2 – S x + P]
En identifiant, on obtient : S =
Error!
et P =
Error!
.
Le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficients de ax 2 + bx + c.
Remarque : si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels, on peut en déduire que ces nombres
sont solutions de l'équation x 2 – Sx + P = 0.
Exemple : Résoudre dans I; R, l’équation 2x 2 – x – 1 = 0
Une racine « évidente » du polynôme est x1 = 1.
Le produit P =
Error!
des racines donne : P =
Error!
.
Le produit des racines P = x1x2 donne : x2 =
Error!
soit x2 =
Error!
L’ensemble solution de l’équation est : S = {
Error!
; 1 }