1 ère
S DS 6 (calculatrice non autorisée)
Exercice 1: Pour chaque question, une ou plusieurs propositions peuvent être exactes.
Une réponse exacte rapporte 1 ou 0,5 point ; toute réponse fausse enlève 0,5 point.
1) Si
̂
AOB=72°
, une mesure en radians de l'angle orienté
(
OA ,
OB
)
peut être :
a)
2π
5
b)
2π
5
c)
7π
5
2)
(
u,
v
)
est un angle orienté tel que
(
u,
v
)
=39π
5
, sa mesure principale est égale à :
a)
π
5
b)
4π
5
c)
4π
5
3) Si les points A,B et C sont alignés dans cet ordre alors pour tout entier relatif
:
a)
(
AB,
AC
)
=kπ
b)
(
AB,
AC
)
=2kπ
c)
(
BC,
BA
)
=2kπ
4) Pour tout réel
, on a
sin
(
π
2x
)
=
a)
cos
(
x
)
b)
sin
(
x
)
c)
cos
(
x
)
d)
sin
(
x
)
5) L'équation
cos
(
x
)
=1
4
admet
a) 2 solutions dans
b) 2 solutions dans
]
π ;π
]
c) 2 solutions dans
[
π
2;3π
2
]
Exercice 2 :
Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison.Ce poulailler devra avoir
une aire de 392 m². Où doit on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle
la distance séparant chaque
piquet au mur.
1) Sachant que l'aire du poulailler est 392 m²,
déterminer la longueur de AB en fonction de
.
2) On considère la fonction
f
définie sur
]
0 ;+∞
[
par
f
(
x
)
=2x+392
x
.
a) Calculer la dérivée
f '
de
f
.
b) Sachant que
196=14
, en déduire le tableau
de variations de
f
.
3) En déduire les dimensions de ce poulailler pour
lesquelles la clôture a une longueur minimale.
Préciser cette longueur.
Exercice 3
1)
α
est un angle, situé dans l'intervalle
]
π ;π
]
, dont on sait que
cosα=
3
2
et
sin α=1
2
.
Que vaut
α
en radians ?
2)
α
est un angle,situé dans l'intervalle
[
π
2;π
]
, tel que
sin α= 4
5
. Calculer
cosα
.
Exercice 4
ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que
(
AC,
AE
)
=2π
5
[
2π
]
On trace le triangle équilatéral direct AEF et le triangle direct ABC rectangle
isocèle en A.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(
AF,
AB
)
;
(
AB,
CB
)
;
(
EA,
EC
)
;
(
FA,
AC
)
;
(
AF,
EC
)
Exercice 1:
1) On convertit la la mesure de l’angle
̂
AOB
en radians soit
72×π
180 =2×36×π
5×36 =2π
5
.
L’angle étant géométrique selon son orientation
(
OA ,
OB
)
=2π
5
ou
(
OA ,
OB
)
=2π
5
2) On a
(
u,
v
)
=39π
5+2kπ
avec
k
en choisissant
k=4
,
(
u,
v
)
=39π
5+8π
donc
(
u,
v
)
=π
5
3) Si A,B et C sont alignés dans cet ordre alors nécessairement
(
AB,
AC
)
=2kπ
(Attention la réciproque est
fausse).
4) On sait que
sin
(
π
2x
)
=cos
(
x
)
5)
Il y a deux points A et B sur le cercle trigonométrique dont le cosinus de l’angle
(
u,
OA
)
et
(
u,
OB
)
est égale à
1
4
.
Leurs deux mesures principales sont solutions de l’équation
cos
(
x
)
=1
4
dans l’intervalle
]
π ;π
]
. Plus précisément ces solutions se trouvent aussi sur l’intervalle
[
π
2;3π
2
]
(les points
sont sur le demi-cercle d'abscisses négatives). Il y a une infinité de solutions dans
.
Exercice 2 :
1) L’aire du poulailler est
392=AB×x
donc
AB=392
x
2) a)
f ’
(
x
)
=2392
x2
. b) Pour étudier le signe de
f ’
(
x
)
, on transforme son écriture,
f ’
(
x
)
=2x2392
x2
donc
f ’
(
x
)
=2
(
x2196
)
x2
.
f ’
(
x
)
est alors du signe de
x2196
.
x2196
est un trinôme du second degré qui admet deux racines
196
et
196
.
Puisque
196=14
on en déduit le signe du trinôme ainsi que le tableau de variations de
f
sur
]
0 ;+∞
[
.
On calcule
f
(
14
)
=56
x0 14
+
signe de
f '
(
x
)
0 +
f
(
x
)
56
3) La longueur de la clôture est
x+AB+x
soit
2x+392
x=f
(
x
)
.
Ainsi la longueur est minimale pour
x=14 m
ce qui correspond à une longueur de clôture de
56 m
Exercice 3 :
1)
Sur le cercle on construit le point B d’image
α
.
D’après les valeurs remarquables pour le calcul du cosinus et du sinus d’un angle, on
en déduit que
a=π
6
dans l’intervalle
]
π;π
]
.
2)
sin α= 4
5
, d’après la formule
cos2α+sin2α=1
alors
cos2α=116
25 =9
25
, donc
cosα= 3
5
ou
cosα=3
5
.
Puisque
α
[
π
2;π
]
alors les points images sont situés sur le quart de cercle d’ordonnées positives et
d’abscisses négatives, donc
cosα=3
5
Exercice 4 :
(
AF,
AB
)
=
(
AF,
AE
)
+
(
AE,
AC
)
+
(
AC,
AB
)
=π
32π
5π
2
(
AF,
AB
)
=37 π
30
;
(
AB,
CB
)
=
(
BA ,
BC
)
(
AB,
CB
)
=π
4
.
Le triangle AEC est isocèle de sommet A alors
(
EA ,
EC
)
=
π− 2π
5
2
(
EA ,
EC
)
=3π
10
.
(
FA ,
AC
)
=
(
AF,
AC
)
+π
=
(
AF,
AE
)
+
(
AE,
AC
)
+π
= − π
32π
5
(
FA ,
AC
)
=4π
15
;
(
AF,
EC
)
=
(
AF ,
AE
)
+
(
AE,
EC
)
= − π
3+π+
(
EA ,
EC
)
=2π
3+3π
10
(
AF,
EC
)
=29 π
30
1 / 3 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !