1 S DS 6 (calculatrice non autorisée)

1 ère S DS 6 (calculatrice non autorisée)
Exercice 1: Pour chaque question, une ou plusieurs propositions peuvent être exactes.
Une réponse exacte rapporte 1 ou 0,5 point ; toute réponse fausse enlève 0,5 point.
1) Si
̂
AOB=72°
, une mesure en radians de l'angle orienté
(
⃗
OA ,
⃗
OB
)
peut être :
a)
2π
5
b)
−2π
5
c)
7π
5
2)
(
⃗
u,
⃗
v )
est un angle orienté tel que
( ⃗ u, ⃗ v ) =− 39π
5
, sa mesure principale est égale à :
a)
π
5
b)
4π
5
c)
−4π
5
3) Si les points A,B et C sont alignés dans cet ordre alors pour tout entier relatif
k
:
a)
(
⃗
AB,
⃗
AC
)
=kπ
b)
(
⃗
AB,
⃗
AC
)
=2kπ
c)
(
⃗
BC,
⃗
BA
)
=2kπ
4) Pour tout réel
x
, on a
sin
(
π
2−x
)
=
a)
cos ( x )
b)
sin ( x )
c)
−cos ( x )
d)
−sin ( x )
5) L'équation
cos ( x ) =− 1
4
admet
a) 2 solutions dans
ℝ
b) 2 solutions dans
] −π ;π ]
c) 2 solutions dans
[
π
2;3π 2
]
Exercice 2 :
Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison.Ce poulailler devra avoir
une aire de 392 m². Où doit on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle
x
la distance séparant chaque
piquet au mur.
1) Sachant que l'aire du poulailler est 392 m²,
déterminer la longueur de AB en fonction de
x
.
2) On considère la fonction
f
définie sur
] 0 ;+∞ [
par
f ( x ) =2x+392
x
.
a) Calculer la dérivée
f '
de
f
.
b) Sachant que
√
196=14
, en déduire le tableau
de variations de
f
.
3) En déduire les dimensions de ce poulailler pour
lesquelles la clôture a une longueur minimale.
Préciser cette longueur.
Exercice 3
1)
α
est un angle, situé dans l'intervalle
] −π ;π ]
, dont on sait que
cosα=
√
3
2
et
sin α=− 1
2
.
Que vaut
α
en radians ?
2)
α
est un angle,situé dans l'intervalle
[
π
2;π
]
, tel que
sin α= 4
5
. Calculer
cosα
.
Exercice 4
ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que
(
⃗
AC,
⃗
AE
)
=2π
5
[ 2π ]
On trace le triangle équilatéral direct AEF et le triangle direct ABC rectangle
isocèle en A.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(
⃗
AF,
⃗
AB
)
;
(
⃗
AB,
⃗
CB
)
;
(
⃗
EA,
⃗
EC
)
;
(
⃗
FA,
⃗
AC
)
;
(
⃗
AF,
⃗
EC
)

Exercice 1:
1) On convertit la la mesure de l’angle
̂
AOB
en radians soit
72×π
180 =2×36×π 5×36 =2π 5
.
L’angle étant géométrique selon son orientation
(
⃗
OA ,
⃗
OB
)
=2π
5
ou
(
⃗
OA ,
⃗
OB
)
=− 2π
5
2) On a
( ⃗ u, ⃗ v ) =− 39π
5+2kπ
avec
k∈ℤ
en choisissant
k=4
,
( ⃗ u, ⃗ v ) =− 39π
5+8π
donc
(
⃗ u, ⃗ v
)
=π
5
3) Si A,B et C sont alignés dans cet ordre alors nécessairement
(
⃗
AB,
⃗
AC
)
=2kπ
(Attention la réciproque est
fausse).
4) On sait que
sin
(
π
2−x
)
=cos
(
x
)
5)
Il y a deux points A et B sur le cercle trigonométrique dont le cosinus de l’angle
(
⃗ u,
⃗
OA
)
et
(
⃗ u,
⃗
OB
)
est égale à
−1
4
.
Leurs deux mesures principales sont solutions de l’équation
cos ( x ) =− 1
4
dans l’intervalle
] −π ;π ]
. Plus précisément ces solutions se trouvent aussi sur l’intervalle
[
π
2;3π 2
]
(les points
sont sur le demi-cercle d'abscisses négatives). Il y a une infinité de solutions dans
ℝ
.
Exercice 2 :
1) L’aire du poulailler est
392=AB×x
donc
AB=392
x
2) a)
f ’ ( x ) =2−392
x2
. b) Pour étudier le signe de
f ’ ( x )
, on transforme son écriture,
f ’ ( x ) =2x2−392
x2
donc
f ’ ( x ) =2
(
x2−196
)
x2
.
f ’ ( x )
est alors du signe de
x2−196
.
x2−196
est un trinôme du second degré qui admet deux racines
√
196
et
−
√
196
.
Puisque
√
196=14
on en déduit le signe du trinôme ainsi que le tableau de variations de
f
sur
] 0 ;+∞ [
.
On calcule
f ( 14 ) =56
x0 14
+∞
signe de
f ' ( x )
−
0 +
f ( x )
56
3) La longueur de la clôture est
x+AB+x
soit
2x+392
x=f
(
x
)
.
Ainsi la longueur est minimale pour
x=14 m
ce qui correspond à une longueur de clôture de
56 m
Exercice 3 :
1)
Sur le cercle on construit le point B d’image
α
.
D’après les valeurs remarquables pour le calcul du cosinus et du sinus d’un angle, on
en déduit que
a=− π
6
dans l’intervalle
] −π;π ]
.
2)
sin α= 4
5
, d’après la formule
cos2α+sin2α=1
alors
cos2α=1−16
25 =9 25
, donc
cosα= 3
5
ou
cosα=− 3
5
.
Puisque
α∈
[
π
2;π
]
alors les points images sont situés sur le quart de cercle d’ordonnées positives et
d’abscisses négatives, donc
cosα=− 3
5

Exercice 4 :
(
⃗
AF,
⃗
AB
)
=
(
⃗
AF,
⃗
AE
)
+
(
⃗
AE,
⃗
AC
)
+
(
⃗
AC,
⃗
AB
)
=− π
3−2π 5−π 2
(
⃗
AF,
⃗
AB
)
=− 37 π
30
;
(
⃗
AB,
⃗
CB
)
=
(
⃗
BA ,
⃗
BC
)
(
⃗
AB,
⃗
CB
)
=− π
4
.
Le triangle AEC est isocèle de sommet A alors
(
⃗
EA ,
⃗
EC
)
=
π− 2π
5
2
(
⃗
EA ,
⃗
EC
)
=3π
10
.
(
⃗
FA ,
⃗
AC
)
=
(
⃗
AF,
⃗
AC
)
+π
=
(
⃗
AF,
⃗
AE
)
+
(
⃗
AE,
⃗
AC
)
+π
= − π
3−2π 5+π
(
⃗
FA ,
⃗
AC
)
=4π
15
;
(
⃗
AF,
⃗
EC
)
=
(
⃗
AF ,
⃗
AE
)
+
(
⃗
AE,
⃗
EC
)
= − π
3+π+
(
⃗
EA ,
⃗
EC
)
=2π
3+3π 10
(
⃗
AF,
⃗
EC
)
=29 π
30