1 S DS 6 (calculatrice non autorisée)

1èreS
DS 6
(calculatrice non autorisée)
Exercice 1: Pour chaque question, une ou plusieurs propositions peuvent être exactes.
Une réponse exacte rapporte 1 ou 0,5 point ; toute réponse fausse enlève 0,5 point.
1) Si ̂
AOB=72° , une mesure en radians de l'angle orienté (⃗
OA ,⃗
OB ) peut être :
2π
2π
7π
a)
b) −
c)
5
5
5
39 π
u ,⃗
v )=−
u ,⃗
v ) est un angle orienté tel que (⃗
2) (⃗
, sa mesure principale est égale à :
5
π
4π
4π
a) 5
b)
c) −
5
5
3) Si les points A,B et C sont alignés dans cet ordre alors pour tout entier relatif k :
a) (⃗
b) (⃗
c) (⃗
AB ,⃗
AC )=k π
AB , ⃗
AC )=2 k π
BC,⃗
BA ) =2 k π
π
4) Pour tout réel x , on a sin 2 −x =
a) cos ( x )
b) sin ( x )
c) −cos ( x )
d) −sin ( x )
1
5) L'équation cos ( x ) =− admet
4
(
)
b) 2 solutions dans ]−π ; π ]
a) 2 solutions dans ℝ
c) 2 solutions dans
[ π2 ; 32π ]
Exercice 2 :
Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison.Ce poulailler devra avoir
une aire de 392 m². Où doit on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaque
piquet au mur.
1) Sachant que l'aire du poulailler est 392 m²,
déterminer la longueur de AB en fonction de x .
2) On considère la fonction f définie sur ] 0 ;+∞ [
392
par f ( x ) =2 x +
.
x
a) Calculer la dérivée f ' de f .
b) Sachant que √ 196=14 , en déduire le tableau
de variations de f .
3) En déduire les dimensions de ce poulailler pour
lesquelles la clôture a une longueur minimale.
Préciser cette longueur.
Exercice 3
1
3
α est un angle, situé dans l'intervalle ]−π ; π ] , dont on sait que cosα= √ et sin α=− .
2
2
Que vaut α en radians ?
π
4
2) α est un angle,situé dans l'intervalle 2 ; π , tel que sin α= . Calculer cos α .
5
1)
[
]
Exercice 4
ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que
2π
(⃗
AC ,⃗
AE ) =
[2π]
5
On trace le triangle équilatéral direct AEF et le triangle direct ABC rectangle
isocèle en A.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(⃗
AF,⃗
AB ) ; (⃗
AB ,⃗
CB) ; (⃗
EA,⃗
EC) ; (⃗
FA, ⃗
AC ) ; (⃗
AF,⃗
EC)
Exercice 1:
π = 2×36×π = 2 π
1) On convertit la la mesure de l’angle ̂
.
AOB en radians soit 72×
180
5×36
5
2
π
2
π
OA , ⃗
OB ) =
OA , ⃗
OB ) =−
L’angle étant géométrique selon son orientation (⃗
ou (⃗
5
5
39π
39π
u ,⃗
v )= π
u ,⃗
v )=−
+2 k π avec k ∈ℤ en choisissant k =4 , (⃗
u ,⃗
v )=−
+8 π donc (⃗
2) On a (⃗
5
5
5
3) Si A,B et C sont alignés dans cet ordre alors nécessairement (⃗
AB ,⃗
AC )=2 k π (Attention la réciproque est
fausse).
π
4) On sait que sin 2 −x =cos ( x )
5)
Il y a deux points A et B sur le cercle trigonométrique dont le cosinus de l’angle ( ⃗
u ,⃗
OA ) et
1
(⃗
u ,⃗
OB ) est égale à − .
4
1
Leurs deux mesures principales sont solutions de l’équation cos ( x ) =− dans l’intervalle
4
π ; 3π
]−π ; π ] . Plus précisément ces solutions se trouvent aussi sur l’intervalle
(les points
2 2
sont sur le demi-cercle d'abscisses négatives). Il y a une infinité de solutions dans ℝ .
Exercice 2 :
392
1) L’aire du poulailler est 392=AB×x donc AB=
x
392
2 x 2−392
2) a) f ’ ( x )=2− 2 . b) Pour étudier le signe de f ’ ( x ) , on transforme son écriture, f ’ ( x )=
donc
2
x
x
2 ( x2 −196 )
f ’ ( x )=
. f ’ ( x ) est alors du signe de x 2 −196 .
x2
x 2 −196 est un trinôme du second degré qui admet deux racines √ 196 et −√196 .
Puisque √ 196=14 on en déduit le signe du trinôme ainsi que le tableau de variations de f sur ] 0 ;+∞ [ .
On calcule f ( 14 )=56
(
)
[
x
signe de f ' ( x )
0
−
14
0
+
]
+∞
f ( x)
56
392
= f ( x) .
3) La longueur de la clôture est x+AB+x soit 2 x+
x
Ainsi la longueur est minimale pour x=14 m ce qui correspond à une longueur de clôture de 56 m
Exercice 3 :
1)
Sur le cercle on construit le point B d’image α .
D’après les valeurs remarquables pour le calcul du cosinus et du sinus d’un angle, on
π
en déduit que a=− 6 dans l’intervalle ]−π ;π ] .
4
16
9
3
2
, d’après la formule cos 2 α+sin 2 α=1 alors cos α=1− =
, donc cos α= ou
5
25 25
5
3
cos α=− .
5
π ;π
α∈
Puisque
alors les points images sont situés sur le quart de cercle d’ordonnées positives et
2
3
d’abscisses négatives, donc cos α=−
5
2) sin α=
[
]
Exercice 4 :
(⃗
AF , ⃗
AB ) = (⃗
AF , ⃗
AE )+(⃗
AE , ⃗
AC )+(⃗
AC , ⃗
AB )
2π π
(⃗
AB , ⃗
CB )
=− π −
−
; (⃗
3
5
2
⃗
AB , CB )
37
π
(⃗
AF , ⃗
AB ) =−
30
= (⃗
BA ,⃗
BC )
π
.
=−
4
2π
5
(⃗
EA ,⃗
EC ) =
Le triangle AEC est isocèle de sommet A alors
.
2
3π
(⃗
EA ,⃗
EC ) =
10
⃗
⃗
⃗
⃗
( AF , EC ) = ( AF , AE ) +(⃗
AE , ⃗
EC )
(⃗
FA ,⃗
AC ) = (⃗
AF ,⃗
AC )+π
π
⃗
⃗
= − +π+( EA , EC )
= (⃗
AF ,⃗
AE )+(⃗
AE , ⃗
AC )+π
3
2π
π
2π 3π
;
=− −
+π
=
+
3
5
3
10
4π
⃗
⃗
29
π
( FA , AC ) =
(⃗
AF , ⃗
EC ) =
15
30
π−