1 S DS 6 (calculatrice non autorisée)

1
ère
S DS 6 (calculatrice non autorisée)
Exercice 1: Pour chaque question, une ou plusieurs propositions peuvent être exactes.
Une réponse exacte rapporte 1 ou 0,5 point ; toute réponse fausse enlève 0,5 point.
1) Si
̂
AOB
=
72
°
, une mesure en radians de l'angle orienté
(
⃗
OA ,
⃗
OB
)
peut être :
a)
2
π
5
b) −
2
π
5
c)
7
π
5
2)
(
⃗
u
,
⃗
v
)
est un angle orienté tel que
( ⃗ u, ⃗ v ) =−
39
π
5
, sa mesure principale est égale à :
a)
π
5b)
4
π
5
c) −
4
π
5
3) Si les points A,B et C sont alignés dans cet ordre alors pour tout entier relatif
k
:
a)
(
⃗
AB,
⃗
AC
)
=k
π
b)
(
⃗
AB,
⃗
AC
)
=2k
π
c)
(
⃗
BC,
⃗
BA
)
=2k
π
4) Pour tout réel
x
, on a sin
(
π
2−x
)
=
a)
cos
(
x
)
b)
sin
(
x
)
c) −
cos
(
x
)
d) −
sin
(
x
)
5) L'équation cos
( x ) =−
1
4
admet
a) 2 solutions dans ℝb) 2 solutions dans
] −
π
;
π
]
c) 2 solutions dans
[
π
2
;
3
π
2
]
Exercice 2 :
Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison.Ce poulailler devra avoir
une aire de 392 m². Où doit on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle
x
la distance séparant chaque
piquet au mur.
1) Sachant que l'aire du poulailler est 392 m²,
déterminer la longueur de AB en fonction de
x
.
2) On considère la fonction
f
définie sur
]
0
;
+ ∞ [
par f
( x ) =2x+
392
x
.
a) Calculer la dérivée
f
'
de
f
.
b) Sachant que
√
196=14 , en déduire le tableau
de variations de
f
.
3) En déduire les dimensions de ce poulailler pour
lesquelles la clôture a une longueur minimale.
Préciser cette longueur.
Exercice 3
1)
α
est un angle, situé dans l'intervalle
] −
π
;
π
]
, dont on sait que cosα=
√
3
2
et sinα=−
1
2
.
Que vaut
α
en radians ?
2)
α
est un angle,situé dans l'intervalle
[
π
2;
π
]
, tel que sinα=
4
5
. Calculer
cos
α
.
Exercice 4
ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que
(
⃗
AC,
⃗
AE
)
=
2
π
5
[
2
π
]
On trace le triangle équilatéral direct AEF et le triangle direct ABC rectangle
isocèle en A.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(
⃗
AF,
⃗
AB
)
;
(
⃗
AB,
⃗
CB
)
;
(
⃗
EA,
⃗
EC
)
;
(
⃗
FA,
⃗
AC
)
;
(
⃗
AF,
⃗
EC
)

Exercice 1:
1) On convertit la la mesure de l’angle
̂
AOB
en radians soit 72×
π
180
=
2
×
36
×
π
5
×
36
=
2
π
5
.
L’angle étant géométrique selon son orientation
(
⃗
OA ,
⃗
OB
)
=
2
π
5
ou
(
⃗
OA ,
⃗
OB
)
=−
2
π
5
2) On a
( ⃗ u, ⃗ v ) =−
39
π
5
+2kπ avec
k
∈ℤ en choisissant
k
=
4
,
( ⃗ u, ⃗ v ) =−
39
π
5
+8π donc
(
⃗
u,
⃗
v
)
=
π
5
3) Si A,B et C sont alignés dans cet ordre alors nécessairement
(
⃗
AB,
⃗
AC
)
=2k
π
(Attention la réciproque est
fausse).
4) On sait que sin
(
π
2−x
)
=cos
(
x
)
5)
Il y a deux points A et B sur le cercle trigonométrique dont le cosinus de l’angle
(
⃗
u,
⃗
OA
)
et
(
⃗
u,
⃗
OB
)
est égale à −
1
4
.
Leurs deux mesures principales sont solutions de l’équation cos
( x ) =−
1
4
dans l’intervalle
] −
π
;
π
]
. Plus précisément ces solutions se trouvent aussi sur l’intervalle
[
π
2
;
3
π
2
]
(les points
sont sur le demi-cercle d'abscisses négatives). Il y a une infinité de solutions dans
ℝ
.
Exercice 2 :
1) L’aire du poulailler est
392
=
AB
×
x
donc AB
=
392
x
2) a) f ’
( x ) = 2 −
392
x
2
. b) Pour étudier le signe de
f
’
(
x
)
, on transforme son écriture, f ’
( x ) =
2x
2
− 392
x
2
donc
f ’ ( x ) =2
(
x
2
−196
)
x
2
.
f
’
(
x
)
est alors du signe de
x
2
− 196
.
x
2
− 196 est un trinôme du second degré qui admet deux racines
√
196 et −
√
196 .
Puisque
√
196 = 14 on en déduit le signe du trinôme ainsi que le tableau de variations de
f
sur
]
0
;
+ ∞ [
.
On calcule
f
(
14
) =
56
x0 14
+
∞
signe de
f
'
(
x
)
−
0 +
f
(
x
)
56
3) La longueur de la clôture est
x
+
AB
+
x
soit 2x+
392
x
=f
(
x
)
.
Ainsi la longueur est minimale pour
x
=
14
m
ce qui correspond à une longueur de clôture de
56
m
Exercice 3 :
1)
Sur le cercle on construit le point B d’image
α
.
D’après les valeurs remarquables pour le calcul du cosinus et du sinus d’un angle, on
en déduit que a=−
π
6 dans l’intervalle
] −
π
;
π
]
.
2) sinα=
4
5
, d’après la formule
cos
2
α
+
sin
2
α
=
1
alors cos
2
α=1−
16
25
=
9
25
, donc cosα=
3
5
ou
cosα=−
3
5
.
Puisque
α
∈
[
π
2;
π
]
alors les points images sont situés sur le quart de cercle d’ordonnées positives et
d’abscisses négatives, donc cosα=−
3
5

Exercice 4 :
(
⃗
AF,
⃗
AB
)
=
(
⃗
AF,
⃗
AE
)
+
(
⃗
AE,
⃗
AC
)
+
(
⃗
AC,
⃗
AB
)
=− π
3−2π 5−π 2
(
⃗
AF,
⃗
AB
)
=− 37π
30
;
(
⃗
AB,
⃗
CB
)
=
(
⃗
BA,
⃗
BC
)
(
⃗
AB,
⃗
CB
)
= − π
4
.
Le triangle AEC est isocèle de sommet A alors
(
⃗
EA,
⃗
EC
)
=
π−2
π
5
2
(
⃗
EA,
⃗
EC
)
=3π
10
.
(
⃗
FA,
⃗
AC
)
=
(
⃗
AF,
⃗
AC
)
+π
=
(
⃗
AF,
⃗
AE
)
+
(
⃗
AE,
⃗
AC
)
+π
= − π
3−2π 5+π
(
⃗
FA,
⃗
AC
)
=4π
15
;
(
⃗
AF,
⃗
EC
)
=
(
⃗
AF,
⃗
AE
)
+
(
⃗
AE,
⃗
EC
)
= − π
3+π+
(
⃗
EA,
⃗
EC
)
=2π
3+3π 10
(
⃗
AF,
⃗
EC
)
=29π
30