1èreS DS 6 (calculatrice non autorisée) Exercice 1: Pour chaque question, une ou plusieurs propositions peuvent être exactes. Une réponse exacte rapporte 1 ou 0,5 point ; toute réponse fausse enlève 0,5 point. 1) Si ̂AOB=72° , une mesure en radians de l'angle orienté (⃗ OA ,⃗ OB ) peut être : 2π 2π 7π a) b) − c) 5 5 5 39π u ,⃗ v )=− u ,⃗ v ) est un angle orienté tel que (⃗ 2) (⃗ , sa mesure principale est égale à : 5 π 4π 4π a) 5 b) c) − 5 5 3) Si les points A,B et C sont alignés dans cet ordre alors pour tout entier relatif k : b) (⃗ c) (⃗ a) (⃗ AB ,⃗ AC )=k π AB ,⃗ AC )=2 k π BC,⃗ BA ) =2 k π π 4) Pour tout réel x , on a sin 2 −x = a) cos ( x ) b) sin ( x ) c) −cos ( x ) d) −sin ( x ) 1 5) L'équation cos ( x ) =− admet 4 ( ) b) 2 solutions dans ] −π; π] a) 2 solutions dans ℝ c) 2 solutions dans [ π2 ; 32π ] Exercice 2 : Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison.Ce poulailler devra avoir une aire de 392 m². Où doit on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ? La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaque piquet au mur. 1) Sachant que l'aire du poulailler est 392 m², déterminer la longueur de AB en fonction de x . 2) On considère la fonction f définie sur ] 0 ;+ ∞ [ 392 par f ( x ) =2 x+ . x a) Calculer la dérivée f ' de f . b) Sachant que √ 196=14 , en déduire le tableau de variations de f . 3) En déduire les dimensions de ce poulailler pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur. Exercice 3 1 3 α est un angle, situé dans l'intervalle ] −π; π] , dont on sait que cos α = √ et sin α =− . 2 2 Que vaut α en radians ? π 4 2) α est un angle,situé dans l'intervalle 2 ; π , tel que sin α= . Calculer cos α . 5 1) [ ] Exercice 4 ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que 2π (⃗ AC ,⃗ AE ) = [ 2 π] 5 On trace le triangle équilatéral direct AEF et le triangle direct ABC rectangle isocèle en A. Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : (⃗ AF,⃗ AB ) ; (⃗ AB ,⃗ CB) ; (⃗ EA,⃗ EC) ; (⃗ FA, ⃗ AC ) ; (⃗ AF,⃗ EC) Exercice 1: π = 2×36×π = 2 π 1) On convertit la la mesure de l’angle ̂ AOB en radians soit 72× . 180 5×36 5 2 π 2 π OA ,⃗ OB )= OA ,⃗ OB ) =− L’angle étant géométrique selon son orientation (⃗ ou (⃗ 5 5 39π 39π u ,⃗ v )= π u ,⃗ v )=− + 2 k π avec k ∈ℤ en choisissant k =4 , (⃗ u ,⃗ v )=− + 8 π donc (⃗ 2) On a (⃗ 5 5 5 3) Si A,B et C sont alignés dans cet ordre alors nécessairement (⃗ AB ,⃗ AC )=2 k π (Attention la réciproque est fausse). π 4) On sait que sin 2 −x =cos ( x ) 5) Il y a deux points A et B sur le cercle trigonométrique dont le cosinus de l’angle ( ⃗ u ,⃗ OA ) et 1 (⃗ u ,⃗ OB) est égale à − . 4 1 Leurs deux mesures principales sont solutions de l’équation cos ( x ) =− dans l’intervalle 4 π ; 3π ] −π; π] . Plus précisément ces solutions se trouvent aussi sur l’intervalle (les points 2 2 sont sur le demi-cercle d'abscisses négatives). Il y a une infinité de solutions dans ℝ . Exercice 2 : 392 1) L’aire du poulailler est 392= AB×x donc AB= x 392 2 x 2−392 2) a) f ’ ( x )=2− 2 . b) Pour étudier le signe de f ’ ( x ) , on transforme son écriture, f ’ ( x )= donc 2 x x 2 ( x 2 −196 ) f ’ ( x )= . f ’ ( x ) est alors du signe de x2 −196 . x2 x 2 −196 est un trinôme du second degré qui admet deux racines √ 196 et −√196 . Puisque √ 196=14 on en déduit le signe du trinôme ainsi que le tableau de variations de f sur ] 0 ;+ ∞ [ . On calcule f ( 14 )=56 ( ) [ x signe de f ' ( x ) 0 − 14 0 + ] +∞ f ( x) 56 392 = f ( x) . 3) La longueur de la clôture est x+ AB+ x soit 2 x+ x Ainsi la longueur est minimale pour x=14 m ce qui correspond à une longueur de clôture de 56 m Exercice 3 : 1) Sur le cercle on construit le point B d’image α . D’après les valeurs remarquables pour le calcul du cosinus et du sinus d’un angle, on π ]. en déduit que a=− 6 dans l’intervalle ]−π;π 4 16 9 3 2 , d’après la formule cos 2 α + sin 2 α=1 alors cos α =1− = , donc cos α = ou 5 25 25 5 3 cos α =− . 5 π α Puisque ∈ 2 ;π alors les points images sont situés sur le quart de cercle d’ordonnées positives et 3 d’abscisses négatives, donc cos α =− 5 2) sin α = [ ] Exercice 4 : (⃗ AF, ⃗ AB ) = (⃗ AF, ⃗ AE )+ (⃗ AE , ⃗ AC )+ (⃗ AC , ⃗ AB ) π 2π π (⃗ AB , ⃗ CB ) = ( ⃗ B A ,⃗ BC ) =− − − π ; (⃗ . 3 5 2 ⃗ A B , CB ) = − 4 37 π (⃗ AF, ⃗ AB ) =− 30 2π π− 5 (⃗ EA ,⃗ EC ) = Le triangle AEC est isocèle de sommet A alors . 2 3π (⃗ EA ,⃗ EC ) = 10 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( AF, EC ) = ( AF , AE ) + (⃗ AE , ⃗ EC ) (⃗ F A ,⃗ AC ) = (⃗ AF,⃗ AC )+ π π ⃗ ⃗ = − + π+ ( EA , EC ) = (⃗ AF,⃗ AE )+ (⃗ AE , ⃗ AC )+ π 3 2π π 2π 3π ; +π =− − = + 3 5 3 10 4π ⃗ ⃗ 29 π ( FA , AC ) = (⃗ AF, ⃗ EC ) = 15 30