TD 2 Calculs 1 Sommes et produits

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N. Laillet
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TD 2
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1 Sommes et produits
Exercice 1. G### Calculer les sommes suivantes
Sn=
n
X
k=1
k2(n−k), Tn=
n
X
k=1
2k−3k
4k+1
Exercice 2. ## Calculer au moyen d’un télescopage les sommes suivantes pour tout entier nnon
nul
Sn=
n
X
k=1
ln 1 + 1
k, Tn=
n
X
k=1
1
k(k+ 1)(k+ 2) , Un=
n
X
k=1
k.k!
Exercice 3. Divergence de la série harmonique. ##
a. Montrer que pour tout entier n,
2n
X
k=1
1
k≥n 2.
b. Qu’en déduire sur la convergence de Sn=
n
X
k=1
1
k?
Exercice 4. G## En regroupant judicieusement les termes, calculer la somme
2n
X
k=0
(−1)kk
pour tout entier non nul n.
Exercice 5. G## Calculer les sommes suivantes
Sn=X
1≤i<j ≤n
ij, Un=X
1≤i<j ≤n
(j−i) [avec n > 1]
Exercice 6. # On se propose de calculer, pour tout entier n, la somme Sn=
n
X
k
k2k.
a. Montrer que Sn=P1≤i≤j2j.
b. En déduire, par permutation des indices dans la somme double, une expression pour Sn.
Exercice 7. Transformation d’Abel. G# Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites. On pose
An=
n
X
k=0
ak, Bn=
n
X
k=0
bk.
a. Déterminer anet bnen fonction de Anet Bn.

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b. Montrer la formule suivante, appelée formule d’intégration par parties discrète ou formule
d’Abel : n
X
k=0
akBk=AnBn−
n−1
X
k=0
Akbk.
c. Retrouver le calcul de Sn=
n
X
k
k2k.
Exercice 8. G# Calculer, dans l’ordre (c’est important !),
Sn=Y
1≤i,j ≤n
ij, Tn=Y
1≤i,j ≤n
i6=j
ij, Un=Y
1≤i≤j≤n
ij, Vn=Y
1≤j≤i≤n
ij, Wn=Y
1≤i<j ≤n
ij.
2 Coefficients binomiaux
Exercice 9. ## Calculer les sommes suivantes
Sn=
n
X
k=1
kn
k, Tn=
n
X
k=1
k2n
k.
Indications : on pourra soit utiliser une formule calculatoire sur les coefficients binomiaux, soit
considérer la dérivée de la fonction x7→ (x+ 1)n.
Exercice 10. G## Calculer les sommes suivantes :
Sn=
p
X
k=0
(−1)kn
k[avec p≤n], Tn=
n
X
k=0 n
k2
, Un=
n
X
k=0
(−1)k
k+ 1 n
k.
Exercice 11. # Montrer que pour tous entiers net p,
p
X
k=0 n+k
n=p+n+ 1
p+ 1 .
Exercice 12. G#
Montrer que pour tous entiers net pnon nuls tels que p≤n,
p
X
k=0 n
kn−k p−k= 2pn
p.
En déduire de la même manière une formule pour
p
X
k=0
(−1)kn
kn−k
p−k.
Exercice 13. G# Déterminer le coefficient de x17 dans le développement de (1 + x5+x7)20 .

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3 Systèmes linéaires
Exercice 14. G### Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme
de Gauss), par rapport aux indéterminées x1, x2, x3, x4∈R:
(a) 
x1−x2+ 2x4= 0
−3x1+x3+ 2x4= 0
2x1+x2−x3= 0
, (b)
x1+x2−x3−x4= 0
2x1+x2+x3−4x4= 0
−x1−2x3+ 3x4= 0
5x1+ 2x2+ 4x3−11x4= 0
.
Exercice 15. ## Résoudre le système linéaire suivant.
x+ 3y−7z+t= 1
2x+ 2y+z+ 2t= 0
x−y−2z+t=−1
x+ 7y−4z+t= 3
Exercice 16. G## Discuter, en fonction de la valeur des paramètres λet µ, des solutions réelles
du système linéaire suivant.
x−y= 1
λx −µy = 0
µx +λy =µ
Exercice 17. G## Résoudre en fonction du paramètre m∈R, les systèmes suivants d’inconnues
complexes :
(a) 
x−y+z=m
x+my −z= 1
x−y−z= 1
. (b) 
mx +y+z= 1
x+my +z=m
x+y+mz =m2
.
4 Inégalités dans R
Exercice 18. ## Soient xet ydeux réels positifs.
a. (Une inégalité triangulaire) Montrer que √x+y≤√x+√y.
b. En déduire que |√x−√y| ≤ p|x−y|.
c. (Inégalité arithmético-géométrique) Montrer que √xy ≤x+y
2
Exercice 19. G## Pour aet bdeux réels, on note max(a, b)le maximum des deux nombres aet
b.
a. Montrer que pour tous réels,
max(a, b) = a+b+|a−b|
2.
b. En déduire une expression avec les valeurs absolues pour min(a, b), le minimum de aet de b.

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Pour tout nombre réel x, on note x+= max(0, x)et x−= min(0, x ), appelées respectivement
parties positive et négative de x.
c. Exprimer xet |x|en fonction de x+et x−.
Exercice 20. # Montrer que pour tout entier n,
n
Y
k=1 1 + 1
k3≤3−1 n.
Exercice 21. Montrer que pour tous réels strictement positifs (a, b)et que pour tout entier
n,
1 + a
bn
+1 + b
an
≥2n+1