TD 2 Calculs 1 Sommes et produits

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TD 2
Calculs
1
Sommes et produits
Exercice 1. G
### Calculer les sommes suivantes
Sn =
n
X
k=1
Exercice 2.
nul
k 2 (n − k), Tn =
n
X
2k − 3k
4k+1
k=1
## Calculer au moyen d’un télescopage les sommes suivantes pour tout entier n non
Sn =
n
X
k=1
n
n
X
X
1
1
, Un =
k.k!
, Tn =
ln 1 +
k
k(k + 1)(k + 2)
k=1
k=1
Exercice 3. Divergence de la série harmonique.
##
a. Montrer que pour tout entier n,
n
2
X
n
1
≥ .
k
2
k=1
b. Qu’en déduire sur la convergence de Sn =
n
X
1
?
k
k=1
Exercice 4.
## En regroupant judicieusement les termes, calculer la somme
G
2n
X
(−1)k k
k=0
pour tout entier non nul n.
Exercice 5.
## Calculer les sommes suivantes
G
X
X
Sn =
i j, Un =
(j − i ) [avec n > 1]
1≤i <j ≤n
Exercice 6.
1≤i <j ≤n
# On se propose de calculer, pour tout entier n, la somme Sn =
n
X
k2k .
k
a. Montrer que Sn =
P
1≤i ≤j
j
2.
b. En déduire, par permutation des indices dans la somme double, une expression pour Sn .
Exercice 7. Transformation d’Abel.
# Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites. On pose
G
An =
n
X
ak , Bn =
k=0
a. Déterminer an et bn en fonction de An et Bn .
n
X
k=0
bk .
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b. Montrer la formule suivante, appelée formule d’intégration par parties discrète ou formule
d’Abel :
n
n−1
X
X
ak Bk = An Bn −
Ak bk .
k=0
c. Retrouver le calcul de Sn =
n
X
k=0
k2k .
k
G Calculer, dans l’ordre (c’est important !),
#
Y
Y
Y
i j, Un =
i j, Vn =
Sn =
i j, Tn =
Exercice 8.
1≤i ,j ≤n
2
1≤i ≤j ≤n
1≤i ,j ≤n
i 6=j
Y
i j, Wn =
1≤j ≤i ≤n
Y
i j.
1≤i <j ≤n
Coefficients binomiaux
## Calculer les sommes suivantes
n
n
X
X
n
n
Sn =
k
, Tn =
k2
.
k
k
Exercice 9.
k=1
k=1
Indications : on pourra soit utiliser une formule calculatoire sur les coefficients binomiaux, soit
considérer la dérivée de la fonction x 7→ (x + 1)n .
## Calculer les sommes suivantes :
G
p
n 2
n
X
X
X
n
n
(−1)k n
(−1)k
[avec p ≤ n], Tn =
Sn =
.
, Un =
k
k +1 k
k
Exercice 10.
k=0
Exercice 11.
k=0
# Montrer que pour tous entiers n et p,
p X
n+k
n
k=0
Exercice 12.
k=0
=
p+n+1
.
p+1
#
G
Montrer que pour tous entiers n et p non nuls tels que p ≤ n,
p X
n
n−k
k=0
k
p−k
En déduire de la même manière une formule pour
n
=2
.
p
p
X
k=0
Exercice 13.
p
n
n−k
(−1)
.
k
p−k
k
# Déterminer le coefficient de x 17 dans le développement de (1 + x 5 + x 7 )20 .
G
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Systèmes linéaires
Exercice 14. G
### Résoudre les systèmes linéaires homogènes suivants (en appliquant l’algorithme
de Gauss), par rapport aux indéterminées x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R :



x1 + x2 − x3 − x4 = 0




x1 − x2 + 2x4 = 0




2x1 + x2 + x3 − 4x4 = 0
(a) −3x1 + x3 + 2x4 = 0 ,
(b)
.




−x
−
2x
+
3x
=
0
1
3
4



2x1 + x2 − x3 = 0


5x1 + 2x2 + 4x3 − 11x4 = 0
Exercice 15.
## Résoudre le système linéaire suivant.

x + 3y − 7z + t = 1



2x + 2y + z + 2t = 0
x − y − 2z + t = −1



x + 7y − 4z + t = 3
Exercice 16. G
## Discuter, en fonction de la valeur des paramètres λ et µ, des solutions réelles
du système linéaire suivant.

x −y =1

λx − µy = 0

µx + λy = µ
Exercice 17.
complexes :
(a)







4
## Résoudre en fonction du paramètre m ∈ R, les systèmes suivants d’inconnues
G
x −y +z =m
x + my − z = 1 .
x −y −z =1



 mx + y + z = 1
(b) x + my + z = m .



x + y + mz = m2
Inégalités dans R
## Soient x et y deux réels positifs.
√
√
√
a. (Une inégalité triangulaire) Montrer que x + y ≤ x + y .
p
√
√
b. En déduire que | x − y | ≤ |x − y |.
√
c. (Inégalité arithmético-géométrique) Montrer que xy ≤ x+y
2
Exercice 18.
Exercice 19.
b.
## Pour a et b deux réels, on note max(a, b) le maximum des deux nombres a et
G
a. Montrer que pour tous réels,
max(a, b) =
a + b + |a − b|
.
2
b. En déduire une expression avec les valeurs absolues pour min(a, b), le minimum de a et de b.
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Pour tout nombre réel x, on note x + = max(0, x) et x − = min(0, x), appelées respectivement
parties positive et négative de x.
c. Exprimer x et |x| en fonction de x + et x − .
Exercice 20.
# Montrer que pour tout entier n,
n Y
1
1
1+ 3 ≤3− .
k
n
k=1
Exercice 21.
n,
Montrer que pour tous réels strictement positifs (a, b) et que pour tout entier
a n
b n
1+
+ 1+
≥ 2n+1
b
a