MPSI A Lycée Hoche Année scolaire 2015-2016 Devoir libre n◦7 A rendre pour le lundi 07/12 Pour tout n ∈ N∗ , on note π(n) le nombre d’entier premiers inférieurs ou égaux à n. Le célèbre théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et de La vallée Poussin en 1896 assure que : n π(n) ∼ +∞ ln(n) ce qui signifie encore que : π(n) ln(n) −−−−−→ 1. n→+∞ n La démonstration de ce théorème utilise des arguments hors de portée à ce stade, mais il est possible d’obtenir de manière élémentaire un résultat plus faible démontré par Tchébychev en 1848 : il existe deux constantes C1 , C2 > 0 telles que : ∀n ≥ 2, C1 n n ≤ π(n) ≤ C2 . ln(n) ln(n) C’est l’objectif de ce problème. 1 Préliminaires 1. Soient p et x deux réels strictement supérieurs à 1. Montrer qu’il existe un unique r ∈ N tel que pr ≤< x < pr . Déterminer une expression de r. 2. Montrer que la fonction : x ∈ [3, +∞[7→ x ln(x) est croissante. 3. Montrer que pour tout n ∈ N : 2n 2 ≤ ≤ 22n . n n 4. Notons : f: R→R x 7→ ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋ Déterminer une expression simple de f (x) pour tout x ∈ R (on pourra distinguer deux cas selon la valeur de Frac(x)). Représenter le graphe de f . 5. Soit p ∈ P. p a. Montrer que pour tout k ∈ J1, p − 1K, p divise . k b. Soit n ∈ N∗ , soit k ∈ J1, pn − 1K. Montrer que : n p = n − νp (k). νp k 6. Soit p ∈ P, soit n ∈ N∗ . a. Montrer qu’il existe kp ∈ N tel que : ∀k ≥ kp , n pk = 0. b. Etablir la formule de Legendre : kp X n νp (n!) = . pk k=1 MPSI A Lycée Hoche 2 Année scolaire 2015-2016 Minoration de Tchébychev Soit n ≥ 2. Pour tout p ∈ P, notons rp l’unique entier naturel tel que prp ≤ 2n < prp +1 . 7.a. Montrer que : Y 2n prp n p∈P p≤2n b. En déduire que : 2n ≤ (2)π(2n) . n 8. Montrer que : π(n) ≥ 3 ln(2) n . 2 ln(n) Majoration de Tchébychev Soit n ≥ 2. 9.a. Démontrer que : Y p∈P n+1≤p≤2n 2n p . n b. En déduire que : nπ(2n)−π(n) ≤ 22n . 10.a. Montrer que pour tout k ∈ N, on a : k(π(2k+1 ) − π(2k )) ≤ 2k+1 . b. Montrer que π(2k+1 ) ≤ 2k . c. Montrer que pour tout m ∈ N : π(2m+1 ) ≤ 3 2m+1 . m+1 11. En déduire que : π(n) ≤ 6 ln(2) n . ln(n)