Devoir libre n 7 - MPSIA Lycée Hoche

MPSI A Lycée Hoche Année scolaire 2015-2016
Devoir libre n◦7
A rendre pour le lundi 07/12
Pour tout n∈N∗, on note π(n)le nombre d’entier premiers inférieurs ou égaux à n. Le célèbre théorème
des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et de La vallée Poussin en 1896 assure
que :
π(n)∼
+∞
n
ln(n)
ce qui signifie encore que :
π(n) ln(n)
n−−−−−→
n→+∞1.
La démonstration de ce théorème utilise des arguments hors de portée à ce stade, mais il est possible
d’obtenir de manière élémentaire un résultat plus faible démontré par Tchébychev en 1848 : il existe deux
constantes C1, C2>0telles que :
∀n≥2, C1
n
ln(n)≤π(n)≤C2
n
ln(n).
C’est l’objectif de ce problème.
1 Préliminaires
1. Soient pet xdeux réels strictement supérieurs à 1. Montrer qu’il existe un unique r∈Ntel que
pr≤< x < pr. Déterminer une expression de r.
2. Montrer que la fonction :
x∈[3,+∞[7→ x
ln(x)
est croissante.
3. Montrer que pour tout n∈N:
2n≤2n
n≤22n.
4. Notons :
f:R→R
x7→ ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋
Déterminer une expression simple de f(x)pour tout x∈R(on pourra distinguer deux cas selon la valeur
de Frac(x)). Représenter le graphe de f.
5. Soit p∈ P.
a. Montrer que pour tout k∈J1, p −1K,pdivise p
k.
b. Soit n∈N∗, soit k∈J1, pn−1K. Montrer que :
νppn
k=n−νp(k).
6. Soit p∈ P, soit n∈N∗.
a. Montrer qu’il existe kp∈Ntel que : ∀k≥kp,n
pk= 0.
b. Etablir la formule de Legendre :
νp(n!) =
kp
X
k=1 n
pk.

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2 Minoration de Tchébychev
Soit n≥2. Pour tout p∈ P, notons rpl’unique entier naturel tel que prp≤2n < prp+1.
7.a. Montrer que :
2n
n
Y
p∈P
p≤2n
prp
b. En déduire que :
2n
n≤(2)π(2n).
8. Montrer que :
π(n)≥ln(2)
2
n
ln(n).
3 Majoration de Tchébychev
Soit n≥2.
9.a. Démontrer que :
Y
p∈P
n+1≤p≤2n
p
2n
n.
b. En déduire que : nπ(2n)−π(n)≤22n.
10.a. Montrer que pour tout k∈N, on a :
k(π(2k+1)−π(2k)) ≤2k+1.
b. Montrer que π(2k+1)≤2k.
c. Montrer que pour tout m∈N:
π(2m+1)≤32m+1
m+ 1 .
11. En déduire que :
π(n)≤6 ln(2) n
ln(n).