TD 7 : fonctions, étude globale et locale. 1 Étude globale 2 Étude

MM2, groupe 1M1ECO – TD 7
Fonctions : étude globale, étude locale
N. Laillet
[email protected]
TD 7 : fonctions, étude globale et locale.
1
Étude globale
Exercice 1 Soient a et b deux réels distincts, P un polynôme tel que a et b soient deux racines
doubles de P . Montrer que P 00 s’annule au moins une fois sur le segment ]a, b[.
Exercice 2 Soient a < b deux réels, soit f une fonction n fois derivable sur ]a, b[ s’annulant
en n + 1 points de ]a, b[. Montrer que si f (n) est continue,il existe un point x0 de ]a, b[ tel que
f (n) (x0 ) = 0.
Exercice 3 Soit f une fonction périodique réelle. Montrer que pour tout n, la dérivée n-ième
de f , notée f (n) , s’annule une infinité de fois sur R.
Exercice 4
Soit f : [a, b] → R de classe C 2 vérifiant
f (a) = f 0 (a) et f (b) = f 0 (b)
Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que
f (c) = f 00 (c)
Indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de f (x), f 0 (x) et ex
Exercice 5
A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer
1
1
lim (x + 1)e x+1 − xe x .
x→+∞
Exercice 6
a. Montrer que
∀x > 0,
1
1
< ln(1 + x) − ln(x) < .
1+x
x
b. En déduire, pour k ∈ N\ {0, 1},
kn
X
1
.
n→∞
p
p=n+1
lim
2
Étude locale
Exercice 7
2
a. Donner un développement limité en 0 à l’ordre 4 f (x) = e2x+2x .
b. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe y = f (x) en x = 0 ?
c. Quelle est la position de f par rapport à cette droite au voisinage de 0 ?
Exercice 8
Soient n ∈ N, n > 2 et f l’application de R dans R définie par
1
n
f (x) = x sin
si x 6= 0 et f (0) = 0.
x
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
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N. Laillet
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a. Montrer que f est dérivable sur R.
b. f admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?
Exercice 9
Déterminer le développement limité
1
− ex .
1−x
à l’ordre 6 en 0 de sin(x) cos(2x).
√
à l’ordre 6 en 0 de (x3 + 1) 1 − x.
√
√
à l’ordre 4 en 0 de 1 − x + 1 + x.
à l’ordre 3 en 0 de
à l’ordre 4 en 0 de cos(x) ln(1 + x).
2
à l’ordre 4 en 0 de (ln(1 + x)) .
π
à l’ordre 3 en
de sin(x).
4
2
x +1
à l’ordre 3 en 0 de ln
.
x+1
à l’ordre 3 en 0 de ln(1 + sin x).
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
à l’ordre 3 en 1 de cos(ln(x)).
(10)
à l’ordre 3 en 0 de ln(1 + ex ).
(11)
à l’ordre 3 en 0 de ln(2 + sin x).
(12)
√
à l’ordre 3 en 0 de e
1+x
.
à l’ordre 3 en 0 de ln(1 +
x
√
(13)
1 + x).
à l’ordre 3 en 0 de ln(3e + e
−x
).
à l’ordre 2 en 0 de (1 + x)1/x .
sin x
à l’ordre 4 en 0 de ln
.
x
ln(1 + x)
à l’ordre 3 en 0 de
.
ex − 1
arctan x
à l’ordre 2 en 0 de
.
tan x
x−1
à l’ordre 2 en 1 de
.
ln x
Exercice 10
(1)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Déterminer les limites en 0 des expressions suivantes
esin x − etan x
sin x − tan x
x
1
a + bx x
2
2x
.
1+x
ln 1−x
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(22)
(23)