TD 7 : fonctions, étude globale et locale. 1 Étude globale 2 Étude

MM2, groupe 1M1ECO – TD 7
Fonctions : étude globale, étude locale
N. Laillet
[email protected]
TD 7 : fonctions, étude globale et locale.
1 Étude globale
Exercice 1 Soient aet bdeux réels distincts, Pun polynôme tel que aet bsoient deux racines
doubles de P. Montrer que P00 s’annule au moins une fois sur le segment ]a, b[.
Exercice 2 Soient a < b deux réels, soit fune fonction nfois derivable sur ]a, b[s’annulant
en n+ 1 points de ]a, b[. Montrer que si f(n)est continue,il existe un point x0de ]a, b[tel que
f(n)(x0)=0.
Exercice 3 Soit fune fonction périodique réelle. Montrer que pour tout n, la dérivée n-ième
de f, notée f(n), s’annule une infinité de fois sur R.
Exercice 4 Soit f: [a, b]→Rde classe C2vérifiant
f(a) = f0(a)et f(b) = f0(b)
Montrer qu’il existe c∈]a, b[tel que
f(c) = f00(c)
Indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de f(x),f0(x)et ex
Exercice 5 A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer
lim
x→+∞(x+ 1)e1
x+1 −xe1
x.
Exercice 6
a. Montrer que
∀x > 0,1
1 + x<ln(1 + x)−ln(x)<1 x.
b. En déduire, pour k∈N\{0,1},
lim
n→∞
kn
X
p=n+1
1
p.
2 Étude locale
Exercice 7
a. Donner un développement limité en 0à l’ordre 4f(x) = e2x+2x2.
b. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe y=f(x)en x= 0 ?
c. Quelle est la position de fpar rapport à cette droite au voisinage de 0 ?
Exercice 8 Soient n∈N,n>2et fl’application de Rdans Rdéfinie par
f(x) = xnsin 1
xsi x6= 0 et f(0) = 0.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/

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a. Montrer que fest dérivable sur R.
b. fadmet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?
Exercice 9 Déterminer le développement limité
à l’ordre 3en 0de 1
1−x−ex.(1)
à l’ordre 6en 0de sin(x) cos(2x).(2)
à l’ordre 6en 0de (x3+ 1)√1−x. (3)
à l’ordre 4en 0de √1−x+√1 + x. (4)
à l’ordre 4en 0de cos(x) ln(1 + x).(5)
à l’ordre 4en 0de (ln(1 + x))2.(6)
à l’ordre 3en π
4de sin(x).(7)
à l’ordre 3en 0de ln x2+ 1
x+ 1 .(8)
à l’ordre 3en 0de ln(1 + sin x).(9)
à l’ordre 3en 1de cos(ln(x)).(10)
à l’ordre 3en 0de ln(1 + ex).(11)
à l’ordre 3en 0de ln(2 + sin x).(12)
à l’ordre 3en 0de e√1+x.(13)
à l’ordre 3en 0de ln(1 + √1 + x).(14)
à l’ordre 3en 0de ln(3ex+e−x).(15)
à l’ordre 2en 0de (1 + x)1/x.(16)
à l’ordre 4en 0de ln sin x
x.(17)
à l’ordre 3en 0de ln(1 + x)
ex−1.(18)
à l’ordre 2en 0de arctan x
tan x.(19)
à l’ordre 2en 1de x−1
ln x.(20)
Exercice 10 Déterminer les limites en 0des expressions suivantes
esin x−etan x
sin x−tan x(21)
ax+bx
21
x
(22)
2x
ln 1+x
1−x.(23)
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