TD 1 – Révisions d`algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels et

MP3 – TD 1
Révisions d’algèbre linéaire.
N. Laillet
[email protected]
TD 1 – Révisions d’algèbre linéaire.
1 Espaces vectoriels et applications linéaires.
Exercice 1 (Exemples en dimension 2 et 3)
a. Les familles suivantes sont-elles des familles libres de R3?
{(0,2,4),(0,4,2),(0,7,3)}(1)
{(1,2,4),(0,4,2),(0,7,3),(6,5,2)}(2)
{(1,2,4),(0,4,2),(0,7,3)}(3)
b. Compléter la famille libre {(1,2,3),(3,2,3)}en une base de R3.
Exercice 2 Soient H={(x1, x2, . . . , xn)∈Rn|x1+x2+· · · +xn= 0}
et u= (1,...,1) ∈Rn.
Montrer que Het Vect(u)sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
Rn.
Exercice 3 Comparer Vect(A∩B)et Vect(A)∩Vect(B).
Exercice 4 (Algèbre linéaire et polynômes)
Soit R[X]l’ensemble des polynômes à coefficients réels.
a. Montrer que R[X], muni de l’addition usuelle des polynômes et de la mul-
tiplication par des réels, est un espace vectoriel. Est-il de dimension finie ?
On se place maintenant dans l’espace vectoriel E=R2[X]des polynômes de
degré inférieur ou égal à 2.
b. Soit Fl’ensemble des fonctions affines, et Gl’ensemble des polynômes de
Etels que P(1) = 1. Ces deux ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels de
E?
c. Soient f,get hles applications suivantes
f:E→E g :F→E h :F→E
P7→ P0P(X)7→ (X+ 1)P(X)P7→ P2
Ces applications sont-elles linéaires ? Dans le cas où elle le sont, déterminer leur
noyau et leur image.
d. Vérifier que BE= (1; x;x2)est une base de E, et à partir de ces vec-
teurs constituer une base BFde F. (*)Écrire les matrices Aet Breprésentant
respectivement fet gdans les bases BEet BF.
Soit Rn[X]l’ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur
ou égal à n.
e. Montrer que Rn[X]est un sous-espace vectoriel de R[X]. Quelle est sa di-
mension ? En exhiber une base.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/

MP3 – TD 1
Révisions d’algèbre linéaire.
N. Laillet
[email protected]
f. Soient P0, P1,...Pnn+1 polynômes de Rn[X], tels que deg(P0)<deg(P1)<
· · · <deg(Pn). Montrer que (P0, P1,...Pn)est une base de Rn[X]. On dit qu’une
telle famille est échelonnée.
Exercice 5 (Algèbre linéaire et fonctions)
a. Soit ϕ:C∞(R,R)→ C∞(R,R)définie par ϕ(f) = f0+ 2f.
Montrer que ϕest un endomorphisme et préciser son noyau.
b. Soient F=f∈ C1(R,R)|f(0) = f0(0) = 0et G=x7→ ax +b|(a, b)∈R2.
Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C1(R,R).
2 Un peu de matrices...
Exercice 6 On note (e1, e2, e3)la base canonique de R3. On définit les
vecteurs suivants : f1=e1+e2+e3,f2=e1+e2−2e3et f3=e1−e3.
a. Vérifier que (f1, f2, f3)constitue une base de R3.
b. Soit x=x1e1+x2e2+x3e3(x1, x2, x3∈R) un vecteur quelconque de R3.
Calculer ses coordonnées dans la base (f1, f2, f3).
c. Soit fl’application linéaire de R3dans R3, dont la matrice dans la base
canonique est
A=
433
343
334
(4)
Déterminer la matrice Bde fdans la base (f1, f2, f3).
d. 4. Calculer, pour tout n∈N∗, la matrice Bn. En déduire la matrice An.
Exercice 7 Soient Aet Bdeux matrices de Mn(R)semblables, c’est-à-
dire telles qu’il existe P∈ Mn(R)inversible vérifiant A=P BP −1.
a. Montrer que si l’une des deux matrices Aou Best inversible, alors l’autre
aussi.
b. Montrer que si l’une des deux matrices A ou B est nilpotente (il existe un
entier ntel que An= 0), alors l’autre aussi.
c. Montrer que si B=λI (λ∈R), alors A=B.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/

MP3 – TD 1
Révisions d’algèbre linéaire.
N. Laillet
[email protected]
3 Devoir maison à rendre pour le 24 septembre
Exercice 8 Soit T=R3[X]l’espace vectoriel constitué des polynômes de
degré inférieur ou égal à trois.
a. Donner une base de T.
b. Soit l’application ϕdéfinie par
ϕ:T→E
P7→ (1 −X)P00 (X),
où Eest l’espace vectoriel des polynômes de degré 2. Montrer que ϕest linéaire,
déterminer son image et son noyau.
Exercice 9 Soit E={f∈ C(R,R)/f(0) = f(1)}.
a. Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de C(R,R)(l’ensemble des
fonctions continues de Rdans R).
b. Déterminer un supplémentaire de Edans C(R,R).
Exercice 10 Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des
applications linéaires suivantes :
a. f:(R3→R2
(x, y, z)7→ (2x−y, y +x+z)
b. g:(R3→R3
(x, y, z)7→ (y+z, z +x, x +y)
c. h:(R3[X]→R3[X]
P7→ P(X+ 1)
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/