TD 2 Calculs 1 Sommes et produits - IMJ-PRG

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TD 2
Calculs
1 Sommes et produits
Exercice 1. G### Calculer les sommes suivantes
Sn=
n
X
k=1
k2(n−k), Tn=
n
X
k=1
2k−3k
4k+1
Correction de l’exercice 1. Tout d’abord, séparons Snen deux sommes :
Sn=
n
X
k=1
k2(n−k)
=
n
X
k=1
k2n−
n
X
k=1
k3
=n
n
X
k=1
k2−
n
X
k=1
k3
=nn(n+ 1)(2n+ 1)
6−n(n+ 1) 2,par les théorèmes du cours.
=n2(n+ 1)(2n+ 1)
6−n2(n+ 1)2 4
=n2(n+ 1) 2n+ 1
6−n+ 1 4
=n2(n+ 1) 6n+ 3 −2(n+ 1)
12
=n2(n+ 1) 4n+ 4
12
=n2(n+ 1)2
3.

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Pour Tn, faisons de même :
Tn=
n
X
k=1
2k−3k
4k+1
=
n
X
k=1
2k
4k+1 −
n
X
k=1
3k
4k+1
=1
4
n
X
k=1 1
2k
−1
4
n
X
k=1 3
4k
=1
4
1
2
1−1
2n
1−1
2−1
4
3
4
1−3
4n
1−3
4
=1
41−1 2n−3 41−3 4n
=−1
2+3 4n+1
−1
2n+2
.
Exercice 5. G## Calculer les sommes suivantes
Sn=X
1≤i<j ≤n
ij, Un=X
1≤i<j ≤n
(j−i) [avec n > 1]
Correction de l’exercice 2. Écrivons Sncomme une somme double :
Sn=
n−1
X
i=1
n
X
j=i+1
ij
=
n−1
X
i=1
i
n
X
j=i+1
j
=
n−1
X
i=1
in+i+ 1
2
=1
2
n
X
i=1
i(n+i+ 1)
=n+ 1
2
n−1
X
i=1
i+1
2
n−1
X
i=1
i2
=(n−1)n(n+ 1)
4+(n−1)n(2n−1) 12
=n(n−1)(5n+ 2)
12 .

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Pour Un, on va séparer la somme en deux !
Un=X
1≤i<j ≤n
j−X
1≤i<j ≤n
i
=
n−1
X
i=1
n
X
j=i+1
j−
n−1
X
i=1
n
X
j=i+1
i
=
n−1
X
i=1
i+ 1 + n
2−
n−1
X
i=1
i(n−i)
=1
2
n−1
X
i=1
i+1 + n
2
n−1
X
i=1
1−n
n−1
X
i=1
i+
n−1
X
i=1
i2
=n(n−1)
4+(1 + n)(n−1) 2−n2(n−1) 2+(n−1)n(2n−1) 6.
2 Coefficients binomiaux
Exercice 11. # Montrer que pour tous entiers net p,
p
X
k=0 n+k
n=p+n+ 1
n+ 1 .
[ATTENTION erreur d’énoncé, il fallait lire p+n+ 1
n+ 1 au lieu de p+n+ 1
p+ 1 ]
Correction de l’exercice 3. Conseil : lorsqu’on a un résultat déjà donné, il faut l’utiliser ! Soit Ppla
proposition
∀n∈N,
p
X
k=0 n+k
n=p+n+ 1
n+ 1 .(Pp)
Initialisation. Pour p= 0,
0
X
k=0 n+k
n= 1,
et 0 + n+ 1
n+ 1 = 1.
Hérédité. Supposons Ppvraie pour un certain p. Alors
p+1
X
k=0 n+k
n=
p
X
k=0 n+k
n+n+p+ 1
n
=p+n+ 1
n+ 1 +n+p+ 1
n,par hypothèse de récurrence.
=p+n+ 2
n+ 1 .
D’où Pp+1.
Conclusion. Héréditaire et vraie au rang 0, la proposition Ppest vraie pour tout entier naturel p
par le principe de récurrence.

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Exercice 12. G#
Montrer que pour tous entiers net pnon nuls tels que p≤n,
p
X
k=0 n
kn−k
p−k= 2pn
p.
En déduire de la même manière une formule pour
p
X
k=0
(−1)kn
kn−k p−k.
Correction de l’exercice 4. a. Utilisons les définitions des coefficients binomiaux : pour p≤n
deux entiers et 0≤k≤p,
n
kn−k
p−k=n!
k!(n−k)!
(n−k)!
(p−k)!(n−p)!
=n!
k!(p−k)!(n−p)!
=p!
k!(p−k)!
n!
p!(n−p)!
=p
kn
p.
Donc
p
X
k=0 n
kn−k
p−k=
p
X
k=0 p
kn
p
=n
pp
X
k=0 p
k
=n
p2p,par le binôme de Newton.
b. De même,
p
X
k=0
(−1)kn
kn−k p−k=
p
X
k=0
(−1)kp
kn p
=n
pp
X
k=0
(−1)kp
k
=(0,si p > 0,par le binôme de Newton.
1,si p= 0.
Exercice 13. G# Déterminer le coefficient de x17 dans le développement de (1 + x5+x7)20.

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Correction de l’exercice 5. Développons (1 + x5+x7)20 par la formule du binôme de Newton :
(1 + x5+x7)20 =
20
X
k=0 20
k(x5+x7)k
=
20
X
k=0 20
kk
X
l=0 k
lx5lx7(k−l)
=
20
X
k=0
k
X
l=0 20
kk
lx5lx7(k−l).
Pour obtenir x17, il faut avoir 5l+ 7(k−l) = 17. Ceci n’est possible que si l= 2 et k−l= 1. Donc
le coefficient de x17 est 20
33
2= 3420.
3 Systèmes linéaires
Exercice 17. G## Résoudre en fonction du paramètre m∈R, les systèmes suivants d’inconnues
complexes :
(a) 
x−y+z=m
x+my −z= 1
x−y−z= 1
. (b) 
mx +y+z= 1
x+my +z=m
x+y+mz =m2
.
Correction de l’exercice 6.
mx +y+z= 1
x+my +z=m
x+y+mz =m2⇔
x+y+mz =m2
x+my +z=m
mx +y+z= 1
(L1↔L3)
⇔
x+y+mz =m2
(m−1)y+ (1 −m)z=m(1 −m)L2←L2−L1
(1 −m)y+ (1 −m2)z= 1 −m2= (1 + m)(1 −m)L3←L3−mL1
Remarquez que j’ai le droit de faire L3←L3−mL1sans condition sur malors que je n’ai pas le
droit de faire L1←L3−mL1sans supposer que m6= 0 ! !
Si m= 1, le système devient l’équation x+y+z= 1, il est alors équivalent à
x= 1 −t−s
y=s
z=t
L’ensemble des solutions est donc
{(1,0,0) + s(−1,1,0) + t(−1,0,1)|s, t ∈R}.