MM2, groupe 1M1ECO – DM 2 Matrices. N. Laillet laillet@math

MM2, groupe 1M1ECO – DM 2
Matrices.
N. Laillet
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DM 2
Le DM est à rendre le 10 février 2014.
Exercice 1 Pour chacune de ces matrices, discuter suivant les valeurs du réel msi elle est
inversible, et donner le cas échéant son inverse.
1 1 m
1 0 m
m−1m−2 1 −m
,
m1 1
1m1
1 1 m
Exercice 2 On considère la matrice A=
−1 1 1
−1−1 0
1 0 −1
.
a. Calculer (A+I)3.
b. En déduire :
(a) l’expression de Anpour n∈N∗.
(b) que Aest inversible. Donner son inverse.
Exercice 3 (BONUS) On dit qu’une matrice Mde Mn(R)est nilpotente s’il existe un entier
ptel que Mp= 0.
a. Soit A=
010
001
000
. Calculer A2,A3et en déduire que Aest nilpotente.
b. Montrer que An’est pas inversible.
Les deux questions suivantes ont pour but de généraliser le résultat précédent.
c. Montrer qu’une matrice nilpotente n’est jamais inversible.
d. Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle est nilpotente.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/