TD1a - IMJ-PRG

LM1 – TD 1
Noms et propositions.
N. Laillet
[email protected]
TD 1 : noms et propositions.
Exercice 1
propositions.
Déterminer si les expressions suivantes sont des noms ou des
1. 2x + y = −3.
9. b ×
2. Les multiples de 7.
3
X
a
n
n=1
10. x = y 2 .
2
2
3. AM + BM = −12.
4. {x | f (x) = a}.
Z
12.
x
5. x 7→
11. {x ∈ R|∃y ∈ R, x = y 2 }.
tdt.
1
f (x) =
6. eiθ = 1
7. g est une fonction décroissante.
8. La suite de terme général n2 .
x
−x
si x ≥ 0
si x < 0
13.
R →
f:
x 7→
R
x
−x
si x ≥ 0
si x < 0
14. Si un entier naturel n est divisible par 4, alors il est divisible par 2.
15. L’ensemble des solutions de l’équation x2 − xy = 0 d’inconnues réelles x
et y .
16. a est solution de l’équation x2 − xy = 0 d’inconnue réelle x.
17. Toute fonction dérivable sur I est continue sur I.
18. Toute fonction dérivable sur I.
19. La suite (un )n∈N définie, pour tout entier naturel n, par un =
1
n+1
20. Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan vérifiant
−−→ −−→
AM .BM = 0.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
LM1 – TD 1
Noms et propositions.
Exercice 2
suivantes ?
N. Laillet
[email protected]
Quelle propriété semble vouloir démontrer l’auteur des lignes
f une fonction croissante sur R
k un réel négatif
x, x0 ∈ R
x ≤ x0
f (x) ≤ f (x0 )
kf (x) ≥ kf (x0 )
Compléter le texte de cette démonstration.
Exercice 3 Pour un objet mathématique donné, il y a souvent plusieurs
manières de le définir : à l’aide de mots, de symboles, de manière plus ou moins
explicite. Par exemple, pour une fonction (d’un sous-ensemble A de R dans R),
la façon la plus classique est de la définir ainsi :
f : x 7→ une expression dépendant de x.
(1)
Ainsi, « la fonction carrée » et x 7→ x2 sont des expressions synonymes. Trouver
pour chacune des expressions suivantes un synonyme.
a. La fonction inverse.
b.
f : x 7→
√
x.
c. La fonction affine d’ordonnée à l’origine 1 et dont la courbe passe par le
point (3, 7).
d. (difficile) La fonction qui a un réel x associe le plus grand entier qui lui est
inférieur.
Devoir maison à rendre le 1er octobre.
Exercice 4
Donner trois noms et trois propositions.
Exercice 5 Déterminer si les expressions suivantes sont synonymes ou
non (justifier).
1. « X 4 − 1 = 0 » est/n’est pas synonyme de « X = 1 ou X = −1 ».
2. « La dérivée de la fonction exponentielle en 0 » est/n’est pas synonyme
de « 1 ».
3. « x − 3 » est/n’est pas synonyme de « y − 3 ».
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/
LM1 – TD 1
Noms et propositions.
N. Laillet
[email protected]
4. « LM = AE » est/n’est pas synonyme de « le quadrilatère LAM E est un
rectangle ».
5. « L’ensemble des entiers naturels impairs » est/n’est pas synonyme de
« {2n − 1 |n ∈ N} ».
6. « L’équation x2 + 3x + b = 0 d’inconnue réelle x » est/n’est pas synonyme
de « L’equation y 2 + 3y + b = 0 d’inconnue réelle y ».
7. «
n
X
k 2 » est/n’est pas synonyme de «
k=1
Exercice 6
n(n + 1)(2n − 1)
».
6
(Bonus)
a. En utilisant seulement des variables astreintes à R∗+ , le symbole d’égalité
=, le symbole d’inégalité <, les connecteurs propositionnels NON, OU, ET, ⇒,
⇔, les quantificateurs ∀, ∃, écrire une proposition synonyme de :
Il n’existe pas de nombre réel strictement positif plus petit que tous les nombres
réels strictement positifs.
b.
Montrer que cette proposition est vraie.
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