TD1a - IMJ-PRG

LM1 – TD 1
Noms et propositions.
N. Laillet
[email protected]
TD 1 : noms et propositions.
Exercice 1 Déterminer si les expressions suivantes sont des noms ou des
propositions.
1. 2x+y=−3.
2. Les multiples de 7.
3. AM2+BM 2=−12.
4. {x|f(x) = a}.
5. x7→ Zx
1
tdt.
6. 
eiθ  = 1
7. gest une fonction décroissante.
8. La suite de terme général n2.
9. b×
3
X
n=1
a
n
10. x=y2.
11. {x∈R|∃y∈R, x =y2}.
12.
f(x) = xsi x≥0
−xsi x < 0
13.
f:
R→R
x7→ xsi x≥0
−xsi x < 0
14. Si un entier naturel nest divisible par 4, alors il est divisible par 2.
15. L’ensemble des solutions de l’équation x2−xy = 0 d’inconnues réelles x
et y.
16. aest solution de l’équation x2−xy = 0 d’inconnue réelle x.
17. Toute fonction dérivable sur Iest continue sur I.
18. Toute fonction dérivable sur I.
19. La suite (un)n∈Ndéfinie, pour tout entier naturel n, par un=1
n+ 1
20. Le cercle de diamètre [AB]est l’ensemble des points Mdu plan vérifiant
−−→
AM.−−→ BM = 0.
Les feuilles de TD sont disponibles à la page http://www.math.jussieu.fr/∼laillet/

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N. Laillet
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Exercice 2 Quelle propriété semble vouloir démontrer l’auteur des lignes
suivantes ?
fune fonction croissante sur R
kun réel négatif
x, x0∈R
x≤x0
f(x)≤f(x0)
kf(x)≥kf(x0)
Compléter le texte de cette démonstration.
Exercice 3 Pour un objet mathématique donné, il y a souvent plusieurs
manières de le définir : à l’aide de mots, de symboles, de manière plus ou moins
explicite. Par exemple, pour une fonction (d’un sous-ensemble Ade Rdans R),
la façon la plus classique est de la définir ainsi :
f:x7→ une expression dépendant de x. (1)
Ainsi, « la fonction carrée » et x7→ x2sont des expressions synonymes. Trouver
pour chacune des expressions suivantes un synonyme.
a. La fonction inverse.
b. f:x7→ √x.
c. La fonction affine d’ordonnée à l’origine 1et dont la courbe passe par le
point (3,7).
d. (difficile) La fonction qui a un réel xassocie le plus grand entier qui lui est
inférieur.
Devoir maison à rendre le 1er octobre.
Exercice 4 Donner trois noms et trois propositions.
Exercice 5 Déterminer si les expressions suivantes sont synonymes ou
non (justifier).
1. « X4−1=0» est/n’est pas synonyme de « X= 1 ou X=−1».
2. « La dérivée de la fonction exponentielle en 0» est/n’est pas synonyme
de « 1».
3. « x−3» est/n’est pas synonyme de « y−3».
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Noms et propositions.
N. Laillet
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4. « LM =AE » est/n’est pas synonyme de « le quadrilatère LAM E est un
rectangle ».
5. « L’ensemble des entiers naturels impairs » est/n’est pas synonyme de
«{2n−1|n∈N}».
6. « L’équation x2+ 3x+b= 0 d’inconnue réelle x» est/n’est pas synonyme
de « L’equation y2+ 3y+b= 0 d’inconnue réelle y».
7. «
n
X
k=1
k2» est/n’est pas synonyme de « n(n+ 1)(2n−1)
6».
Exercice 6 (Bonus)
a. En utilisant seulement des variables astreintes à R∗
+, le symbole d’égalité
=, le symbole d’inégalité <, les connecteurs propositionnels NON, OU, ET, ⇒,
⇔, les quantificateurs ∀,∃, écrire une proposition synonyme de :
Il n’existe pas de nombre réel strictement positif plus petit que tous les nombres
réels strictement positifs.
b. Montrer que cette proposition est vraie.
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