1) Nombre dérivé.

Exposé 71 : Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples
Pré requis :
- limite et continuité d’une fonction numérique.
- limite a gauche, limite a droite.
- développement limite a l’ordre 1.
Dans toute la leçon, I est un intervalle de
non réduit a un point, a є I et :f I
→
1) Nombre dérivé.
a) définition
On dit que
f
est dérivable en a si la fonction T
a
, appelée taux d’accroissement de
f
en a , définie sur I\{a} par
a
x
afxf
xT
a
−
−
=)()( )( possède une limite finie en a.
Cette limite s’appelle nombre dérivée de
f
en a et se note
f
’(a).
Rq :
-
unicité de nombre dérivé car unicité de la limite
-
a est un point non isolé de I (i.e
∀
ouvert O de I, O
∩
I
≠
0)
-
f est dérivable en a
⇔
la fonction définie par { }
h
afhaf
Ixaxh )()( ,
−
+
∈−∈  a
une limite finie en 0.
Exemples : 1)
f
: x x
α β
∈ +
,
f
’(a) =
α
.
2) Pour tout réels a, sin ‘(a) = cos (a).
En effet
+
=2 cos
2
b-a
sin 2 bsin asin : ba
D’où
−
+
−
=
+
−
−
=
−
−
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2)sin()sin(
ax
axax
axax
axax
ax
Or 1
)sin(
0
→
→t
t
t (mesure en radians)
Donc
( )
a
aa
ax
ax
ax
cos
2
cos
)sin()sin( =
+
 →
−
−
→
.
3)
: .
f x x
+
∈ a
afa 2
1
)(, =
′
ℜ∈∀
+
.
ax
xT
a
+
=1 )( . f n’est pas dérivable en 0 car de limite
∞
+
.

b) Théorèmes fondamentaux
Théorème : f est dérivable en a
⇔
f admet un D.L a l’ordre 1.
Preuve :
(
⇒
) : Si
f
est dérivable en a alors il existe un réel l tel que
l
a
x
afxf
ax
=
−
−
→
)()(
lim donc )()()()()( xaxaxlafxf
ε
−
+
−
+
=
avec
0)(lim =
→
x
ax
ε .
 (
⇐
) : Si )()()()(
10
xaxaxaaxf ε −+−+= avec 0)(lim =
→
x
ax
ε
On a
0
)(lim axf
ax
=
→
,
0
)( aaf = et )(
)()(
1
xa
a
x
afxf
ε +=
−
−
d’où
f
est dérivable
(par passage a la limite)
Théorème : si
f
est dérivable en a alors
f
’(a) existe .
Preuve : (On utilise le développement limité a l’ordre 1)
c) Dérivée a gauche et dérivée a droite.
Définition : Si la restriction de f à I
[
[
+∞∩ ,a est dérivable à droite en a, le nombre
dérivée de cette restriction se note
' ( )
d
f a
et est appelé nombre dérivée a droite de
f
en a .
On a la même définition a gauche avec
' ( )
g
f a
.
Exemples :
Soit
: .
f x x
∈
f
dérivable à droite, à gauche en a.
On a
' (0) 1
d
f
=
et
' (0) 1
g
f
= −
.
Théorème : Lorsque a n’est pas une borne de I, on a
f
est dérivable en a
⇔
f
est dérivable a gauche et a droite en a
et
' ( ) ' ( ) '( )
d g
f a f a f a
= = .
Preuve : propriété des limites
 (
⇒
) : Si
'( )
f a
existe, alors
'( ) ' ( )
g
f a f a
= et
'( ) ' ( )
d
f a f a
=
d’où
' ( )
d
f a
et
' ( )
g
f a
existent et sont égales.
 (
⇐
) : Si
' ( )
g
f a
et
' ( )
d
f a
existent et
' ( ) ' ( )
d g
f a f a
= alors
'( )
f a
existe
Et
'( ) ' ( ) ' ( )
d g
f a f a f a
= =

Exemples : -Soit
: .
f x x
∈
f
n’est pas dérivable en 0.
-soit
2
:
0 0
0
gsi x
xx si x
→
≤
>
On a ,
0
( ) (0)
0, 0
( ) ( )
0, 0
h
g h g
si h h
h
g h g a
si h h
+
→
−
> = →
−
< =
Donc g est dérivable en 0 et
'(0) 0
g
=
.
2) Interprétation graphique
Fixons un repère orthonormé directe
( , , )
O i j
et soit
f
C
la courbe représentative de
f
dans ce repère.
a) Description
Soit
f
une fonction dérivable en a .
Soit
t
un réel.
Soient les points
(
)
(
)
, ( ) , ( )
A a f a et M t f t
La droite
(
)
AM
a pour équation
( ) ( )
( ) ( )
f t f a
y x a f a
t a
−
= − +
−
Or, ( ) ( )
lim ( )
x a
f t f a
f a
t a
→
−
′
=
−

b) Interprétation
Définition : Si
f
est dérivable en a, on appelle tangente au point
(
)
, ( )
A a f a
la
droite qui passe par
A
et qui a pour coefficient directeur
( )
f a
′
, d’équation
( ) ( ) ( )
y f a x a f a
′
= − +
Rq :
- Si ( ) ( )
lim
x a
f t f a
t a
→
−
= ±∞
− alors
f
C
admet une tangente verticale en a.
- Si
f
est dérivable à gauche et à droite en a et que
' ( ) ' ( )
d g
f a f a
≠, alors on dira
que
f
C
admet deux demie tangentes en
A
.
Exemple :
-
2
0
:
0
x si x
g x
x si x
≤
∈
>
-
3
:
f x x
∈ ( on part de la fonction cube qui a une tangente horizontale
en 0. La fonction réciproque ,
f
, a donc une tangente verticale en 0 donc n’est pas
dérivable en 0