Exposé 71 : Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples Pré requis : - limite et continuité d’une fonction numérique. - limite a gauche, limite a droite. - développement limite a l’ordre 1. Dans toute la leçon, I est un intervalle de non réduit a un point, a є I et f : I → 1) Nombre dérivé. a) définition On dit que f est dérivable en a si la fonction Ta , appelée taux d’accroissement de f ( x) − f (a) possède une limite finie en a. f en a , définie sur I\{a} par Ta ( x) = x−a Cette limite s’appelle nombre dérivée de f en a et se note f ’(a). Rq : - unicité de nombre dérivé car unicité de la limite - a est un point non isolé de I (i.e ∀ ouvert O de I, O ∩ I ≠ 0) - f est dérivable en a ⇔ la fonction définie par h ∈ {x − a, x ∈ I } f ( a + h) − f ( a ) a h une limite finie en 0. Exemples : 1) f : x ∈ α x + β , f ’(a) = α . 2) Pour tout réels a, sin ‘(a) = cos (a). a -b a+b En effet : sin a sin b = 2 sin cos 2 2 x−a x+a sin cos sin( x) − sin( a ) 2 x − a x + a 2 2 = sin cos = D’où x−a x−a x−a 2 2 2 sin(t ) t→ 1 (mesure en radians) Or →0 t sin( x) − sin( a ) a+a Donc x → cos = cos(a ) . →a x−a 2 1 3) f : x ∈ + x . ∀a ∈ ℜ + , f ′(a ) = . 2 a 1 Ta ( x) = . f n’est pas dérivable en 0 car de limite + ∞ . x+ a b) Théorèmes fondamentaux Théorème : f est dérivable en a ⇔ f admet un D.L a l’ordre 1. Preuve : ( ⇒ ) : Si f est dérivable en a alors il existe un réel l tel que f ( x) − f ( a ) = l donc f ( x) = f (a ) + l ( x − a ) + ( x − a )ε ( x) lim x→a x−a avec lim ε ( x) = 0 . x→a ( ⇐ ) : Si f ( x) = a 0 + a1 ( x − a ) + ( x − a )ε ( x) avec lim ε ( x) = 0 x→a On a lim f ( x) = a 0 , f (a ) = a 0 et x→a f ( x) − f (a) = a1 + ε ( x) d’où f est dérivable x−a (par passage a la limite) Théorème : si f est dérivable en a alors f ’(a) existe . Preuve : (On utilise le développement limité a l’ordre 1) c) Dérivée a gauche et dérivée a droite. Définition : Si la restriction de f à I ∩ [a,+∞[ est dérivable à droite en a, le nombre dérivée de cette restriction se note f 'd (a ) et est appelé nombre dérivée a droite de f en a . On a la même définition a gauche avec f ' g (a ) . Exemples : Soit f : x ∈ x . f dérivable à droite, à gauche en a. On a f 'd (0) = 1 et f ' g (0) = −1 . Théorème : Lorsque a n’est pas une borne de I, on a f est dérivable en a ⇔ f est dérivable a gauche et a droite en a et f 'd (a ) = f ' g (a ) = f '(a ) . Preuve : propriété des limites ( ⇒ ) : Si f '(a) existe, alors f '(a ) = f ' g (a ) et f '(a ) = f 'd (a ) d’où f 'd (a ) et f ' g (a ) existent et sont égales. ( ⇐ ) : Si f ' g ( a ) et f 'd (a ) existent et f 'd (a ) = f 'g (a ) alors f '(a) existe Et f '(a ) = f 'd (a ) = f 'g (a ) Exemples : -Soit f : x ∈ x . f n’est pas dérivable en 0. → -soit g : 0 si x ≤ 0 x 2 x si x > 0 g (h) − g (0) = h →0 h → 0+ h On a , g ( h) − g ( a ) si h < 0, =0 h si h > 0, Donc g est dérivable en 0 et g '(0) = 0 . 2) Interprétation graphique Fixons un repère orthonormé directe (O, i, j ) et soit C f la courbe représentative de f dans ce repère. a) Description Soit f une fonction dérivable en a . Soit t un réel. Soient les points A ( a, f (a) ) et M ( t , f (t ) ) La droite ( AM ) a pour équation f (t ) − f (a ) ( x − a) + f (a) t−a f (t ) − f (a ) = f ′(a ) Or, lim x→a t −a y= b) Interprétation Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente au point A ( a, f (a ) ) la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur f ′(a ) , d’équation y = f ′(a ) ( x − a ) + f (a ) Rq : f (t ) − f (a ) = ±∞ alors C f admet une tangente verticale en a. x→a t−a - Si f est dérivable à gauche et à droite en a et que f 'd (a ) ≠ f ' g (a ) , alors on dira - Si lim que C f admet deux demie tangentes en A . Exemple : x 2 si x ≤ 0 - g : x∈ x si x > 0 - f : x ∈ 3 x ( on part de la fonction cube qui a une tangente horizontale en 0. La fonction réciproque , f , a donc une tangente verticale en 0 donc n’est pas dérivable en 0