1 Nombres dérivés 2 Dérivées de fonctions usuelles

CHAPITRE 7 – C ALCULS DE DÉRIVÉES
Exercices
1 Nombres dérivés
Exercice 1 — La fonction définie sur R par f (x) =
x
est-elle dérivable en 0 ?
1 + |x|
Exercice 2 — Déterminer les limites suivantes :
p
3x 2 − 4x + 1 − 1
(ii) lim
.
x→0
x
tan 3x
;
x→0
x
(i) lim
Exercice 3 — Soit f la fonction définie par :

R −→ R




 cos 2x − 1
f :

x
−
7
→
x


0
si x 6= 0
si x = 0
(i) Montrer que pour tout x 6= 0, on a :
µ
¶
sin x 2
f (x)
.
= −2
x
x
(ii) En déduire que f est dérivable en 0.
Exercice 4 — Soit f et g deux fonctions dérivables en un point a. Calculer :
lim
x→a
g (x) f (a) − g (a) f (x)
.
x −a
Exercice 5 — Soit f la fonction définie sur R par f (1) = 0 et f (x) = arctan
µ
¶
1+x
si x 6= 1.
1−x
(i) Étudier la continuité de f .
(ii) Montrer que f est dérivable sur R \ {1}.
(iii) Montrer que f 0 (x) admet une limite lorsque x tend vers 1. La fonction f est-elle dérivable en 1 ?
Exercice 6 — Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 |x|. Discuter de la dérivabilité à tout ordre de cette fonction f .
Exercice 7 — Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0.
f (x) − f (−x)
1. Montrer que si f est dérivable en 0, alors lim
= f 0 (0).
x→0
2x
f (x) − f (−x)
2. Étudier la réciproque : si lim
= L ∈ R, alors f est-elle dérivable en à avec f 0 (0) = L ?
x→0
2x
2 Dérivées de fonctions usuelles
Les formules apparaissant dans ce paragraphe sont classiques et donc à savoir retrouver très rapidement.
Exercice 8 — Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction racine cubique et déterminer sa dérivée.
Exercice 9 —
1. Calculer les dérivées des fonctions arcsin, arctan.
2. Soit u une fonction dérivable. Sans se soucier de l’ensemble de définition, dériver les fonctions suivantes :
(a) x 7→ cos(u(x)) ;
(d) x 7→ arccos(u(x)) ;
(g) x 7→ ln(|u(x)|) ;
(j) x 7→ u α (x) ;
(b) x 7→ sin(u(x)) ;
(e) x 7→ arcsin(u(x)) ;
(k) x 7→
(c) x 7→ tan(u(x)) ;
(f) x 7→ arctan(u(x)) ;
(h) x 7→ e u(x) ;
p
(i) x 7→ u(x) ;
p1 .
x
3 Dérivées
Exercice 10 — Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) =
|1 + x| − |1 − x|
.
|1 + x| + |1 − x|
Étudier la dérivabilité de la fonction f .
Exercice 11 — Pour chacune des fonctions réelles suivantes, déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble sur lequel la fonction est dérivable, puis calculer sa dérivée.
µ
(i) f : x 7→ e x ln(sin x) ;
¶
µr
1−x
;
(ii) g : x 7→ 2 arctan
1+x
¯ 2
¯
(iii) h : x 7→ ln(¯x − 3x + 2¯) ;
(iv) k : x 7→ ln
(v) l : x 7→
¶
xx − 1
;
xx + 1
q¯
¯
¯1 − x 2 ¯.
4 Étude de fonctions
Exercice 12 — Soit (p, q) un couple d’entiers naturels non nuls. On considère les fonctions f et g définies sur R+ par :
( +
( +
R −→ R+
R −→ R+
p et g :
q .
f :
x 7−→ x q
x 7−→ x p
1. Montrer que f et g sont réciproques l’une de l’autre. En déduire que ces deux fonctions sont bijectives
2. Montrer que f et g sont des bijections par une étude de leurs variations.
Exercice 13 — Quel est le rectangle de plus grande surface pour un périmètre donné ?
Exercice 14 —
1. Factoriser cos x − sin x.
2. Déterminer le maximum et le minimum sur R de la fonction f : x 7−→ 2 cos x − 2 sin x + 1.
Exercice 15 — Soit f la fonction cosinus hyperbolique définie pour réel x par :
f (x) =
e x − e −x
.
e x + e −x
1. Démontrer que f est une bijection de R sur un intervalle Im f . Décrire l’image de f . Que peut-on dire de f −1 ?
2. Démontrer que f 0 (x) = 1 − f 2 (x) pour tout x réel. Montrer que f −1 est dérivable sur Im f et déterminer ( f −1 )0 .
3. Déterminer explicitement f −1 et calculer la dérivée ( f −1 )0 .