1 Nombres dérivés 2 Dérivées de fonctions usuelles

CHAPITRE 7– CALCULS DE DÉRIVÉES
Exercices
1 Nombres dérivés
Exercice 1 — La fonction définie sur Rpar f(x)=x
1+|x|est-elle dérivable en 0 ?
Exercice 2 — Déterminer les limites suivantes :
(i) lim
x→0
tan3x
x;(ii) lim
x→0
p3x2−4x+1−1
x.
Exercice 3 — Soit fla fonction définie par :
f:
R−→ R
x7−→ 
cos2x−1
xsi x6=0
0 si x=0
(i) Montrer que pour tout x6=0, on a :
f(x)
x=−2µsin x x¶2
.
(ii) En déduire que fest dérivable en 0.
Exercice 4 — Soit fet gdeux fonctions dérivables en un point a. Calculer :
lim
x→a
g(x)f(a)−g(a)f(x)
x−a.
Exercice 5 — Soit fla fonction définie sur Rpar f(1) =0 et f(x)=arctanµ1+x
1−x¶si x6=1.
(i) Étudier la continuité de f.
(ii) Montrer que fest dérivable sur R\{1}.
(iii) Montrer que f0(x) admet une limite lorsque xtend vers 1. La fonction fest-elle dérivable en 1 ?
Exercice 6 — Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=x2|x|. Discuter de la dérivabilité à tout ordre de cette fonction f.
Exercice 7 — Soit fune fonction définie dans un voisinage de 0.
1. Montrer que si fest dérivable en 0, alors lim
x→0
f(x)−f(−x)
2x=f0(0).
2. Étudier la réciproque : si lim
x→0
f(x)−f(−x)
2x=L∈R, alors fest-elle dérivable en à avec f0(0) =L ?
2 Dérivées de fonctions usuelles
Les formules apparaissant dans ce paragraphe sont classiques et donc à savoir retrouver très rapidement.
Exercice 8 — Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction racine cubique et déterminer sa dérivée.
Exercice 9 —
1. Calculer les dérivées des fonctions arcsin, arctan.
2. Soit uune fonction dérivable. Sans se soucier de l’ensemble de définition, dériver les fonctions suivantes :

(a) x7→cos(u(x)) ;
(b) x7→sin(u(x)) ;
(c) x7→tan(u(x)) ;
(d) x7→arccos(u(x)) ;
(e) x7→arcsin(u(x)) ;
(f) x7→arctan(u(x)) ;
(g) x7→ln(|u(x)|) ;
(h) x7→eu(x);
(i) x7→pu(x) ;
(j) x7→uα(x) ;
(k) x7→ 1
px.
3 Dérivées
Exercice 10 — Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x)=|1+x|−|1−x|
|1+x|+|1−x|.
Étudier la dérivabilité de la fonction f.
Exercice 11 — Pour chacune des fonctions réelles suivantes, déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble sur lequel la fonc-
tion est dérivable, puis calculer sa dérivée.
(i) f:x7→exln(sin x) ;
(ii) g:x7→2arctanµr1−x
1+x¶;
(iii) h:x7→ln(¯¯x2−3x+2¯¯) ;
(iv) k:x7→lnµxx−1
xx+1¶;
(v) l:x7→q¯¯1−x2¯¯.
4 Étude de fonctions
Exercice 12 — Soit (p,q) un couple d’entiers naturels non nuls. On considère les fonctions fet gdéfinies sur R+par :
f:(R+−→ R+
x7−→ x
p
qet g:(R+−→ R+
x7−→ x
q
p.
1. Montrer que fet gsont réciproques l’une de l’autre. En déduire que ces deux fonctions sont bijectives
2. Montrer que fet gsont des bijections par une étude de leurs variations.
Exercice 13 — Quel est le rectangle de plus grande surface pour un périmètre donné ?
Exercice 14 —
1. Factoriser cosx−sin x.
2. Déterminer le maximum et le minimum sur Rde la fonction f:x7−→2cosx−2sin x+1.
Exercice 15 — Soit fla fonction cosinus hyperbolique définie pour réel xpar :
f(x)=ex−e−x
ex+e−x.
1. Démontrer que fest une bijection de Rsur un intervalle Imf. Décrire l’image de f. Que peut-on dire de f−1?
2. Démontrer que f0(x)=1−f2(x) pour tout xréel. Montrer que f−1est dérivable sur Imfet déterminer (f−1)0.
3. Déterminer explicitement f−1et calculer la dérivée (f−1)0.