Principaux résultats de dérivation Terminale S Dérivées des

Principaux résultats de dérivation Terminale S
Dérivées des fonctions usuelles
fonction fdérivée f0Domaine de dérivabilité
f(x) = k(kconstante) f0(x)=0 R
f(x) = x f0(x)=1 R
f(x) = x2f0(x)=2xR
f(x) = x3f0(x)=3x2R
f(x) = xn(nentier >0) f0(x) = nxn−1R
f(x) = 1
xf0(x) = −1
x2]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = 1
x2f0(x) = −2
x3]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = 1
xn(nentier >0) f0(x) = −n
xn+1 ]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = √xf0(x) = 1
2√x]0 ; +∞[
f(x) = sin x f 0(x) = cos xR
f(x) = cos x f0(x) = −sin xR
f(x) = |x|(f0(x)=1 si x > 0
f0(x) = −1si x < 0]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
Opérations sur les fonctions dérivées
Opération Dérivée Conditions
d’utilisation
Somme de deux fonctions u+v u0+v0uet vdérivables sur I
Multiplication par une constante ku ku0udérivable sur I
Produit de deux fonctions uv u0v+uv0uet vdérivables sur I
Inverse d’une fonction 1
v−v0
v2
uet vdérivables sur I
Pour tout x∈I,v(x)6= 0
Quotient de deux fonctions u
v
u0v−uv0
v2
uet vdérivables sur I
Pour tout x∈I,v(x)6= 0
Dérivée d’une fonction composée
Théorème : Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet gune fonction dérivable sur un intervalle J
telles que, pour tout x∈I,f(x)∈J/
Alors la fonction hdéfinie par h(x) = g◦f(x) = g(f(x)) est dérivable sur Iet, pour tout x∈I:
h0(x) = f0(x)×g0(f(x))
Quelques cas particuliers importants :
Soit uune fonction dérivable sur un intervalle I.
– La fonction cos uest dérivable sur Iet (cos u)0=−u0sin u.
– La fonction sin uest dérivable sur Iet (sin u)0=u0cos u.
– Pour tout entier naturel nnon nul, la fonction unest dérivable sur Iet (un)0=nu0un−1.
– Si pour tout x∈I,u(x)6= 0, La fonction 1
unest dérivable sur Iet 1 un0=−nu
0
un+1 .
– Si pour tout x∈I,u(x)>0, La fonction √uest dérivable sur Iet (√u)0=u
0
2√u.