DEVOIR DE SYNTHESE N°2 MATHEMATIQUES 4SC-EXP 3H 13/03/2023 Lycée Abou Ishak :Jebeniana EXERCICE N°1 (11 points) Les questions suivantes sont indépendantes : 1- Calculer « A » l’aire colorée entre les deux fonctions y 2cos x et y 2sin x 2- Donner une primitive pour chacune de fonctions suivantes : a ) f ( x) 2x x 2 1 3 b) g(x) = x 2 x3 2 I= I= 0;+ - - d) k(x)=tan 2 x I= ; 2 2 -x 2 1 3- Calculer le volume v du solide de révolution S engendré par la rotation de l’arc AB M x; y /1 x y et y 2 x 1 autour de l’axe des abscisses a2 x I dx 4- Soit a un réel de 0;1 et soit a 1 x3 Quel est le signe de I ? Justifier la réponse c) h(x)= x I= -1;1 5- Calculer les intégrales suivantes J 2 x sin x dx 0 2 L x7 cos x dx 2 2 K 2 sin 2 x dx 0 M 2sin x dx 1 6- La courbe ci-dessous est celle de la fonction f (t ) cos2 t Tracer un rectangle d’aire exactement égale à l’aire hachurée (Annexe page 3 ) EXERCICE N°2 (9 points) Soit la fonction f définie sur 0; par : f ( x) 1 x2 1 . 1) Calculer lim f x puis interpréter le résultat graphiquement. x 2) a) Montrer que f est dérivable sur 0; et que f '( x) x x2 1 3 b) Montrer que l’équation f ( x) x admet une solution unique et que 0,7;0,8 c) Etudier les variations de f . d) Tracer C f la courbe de f ainsi que la demi tangente au point d’abscisse 0. (Annexe page 3) 3) a) Monter que f réalise une bijection de 0; sur un intervalle J à déterminer. b) La fonction réciproque f 1 est-elle dérivable à gauche en 1 ? Justifier la réponse c) Expliciter f 1 ( x) pour tout réel x de J d) Tracer C f 1 dans le même repère que C f (Annexe page 3) 4) Soit la fonction G définie sur [0 ; tan x 1 dt [ par G( x) 2 0 t 1 2 a) Monter que G est dérivable sur [0 ; [ et que G’(x) =1. 2 b) Calculer G(0) puis déterminer l’expression de G . 1 c) Calculer x 0 2 1 dx 1 . d) En déduire le volume du solide de révolution engendré par la rotation de partie de la courbe de f sur [0 ;1] autour de l’axe des abscisses. 2 Nom ……………………….Prénom……………………….……………….. Annexe ( Question 6 – exercice 1 ) Annexe ( Problème courbes C f et C f 1 ) 3