Annales Corrigées de l`Année 2003-2004

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
IFP Année 2003-2004
Annales Corrigées
de l’Année 2003-2004
Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et Probabilités

I.F.P. 2003–2004
Ce polycopié regroupe les devoirs à la maison, D.S. et examens donnés en I.F.P. au
cours de l’année universitaire 2003–2004. Tous les énoncés sont accompagnés de solutions
entièrement rédigées. Il va de soi que ces corrigés ne pourront être utiles qu’aux lecteurs
ayant déjà cherché à résoudre par eux-mêmes les questions posées.
Je remercie tous mes collègues de l’équipe enseignante d’I.F.P. 2003–04, pour leur
contribution à ce travail et pour m’avoir donné leur accord pour l’inclusion des énoncés
et corrigés correspondants dans ces annales. Le D.M. no2 a été pris en charge par Sandra
Delaunay et François Recher, le D.M. no3 par Raymond Moché et Gijs Tuynman.
L’ensemble du document est disponible sur Internet à l’URL
http://math.univ-lille1.fr/~suquet/
Les remarques, critiques et questions des lecteurs seront les bienvenues.
Villeneuve d’Ascq, le 8 septembre 2004
Charles Suquet
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I.F.P. 2003–2004
Index thématique
– Aire : Exm1, Pb. ; Exm2, Ex. 3.
– Atome : D.M. 2, Ex. 3.
– Borel Cantelli : D.M. 2, Ex. 1 ; D.M. 4, Ex. 4.
– Calcul d’intégrale multiple : Exm1, Pb.
– Conditionnement : D.M. 4, Ex. 1.
– Conservation de la mesure : D.S., Ex. 2.
– Continuité : D.S., Ex. 1.
– Continuité et dérivabilité sous R: Exm2, Ex. 2.
– Convergence p.s. : D.M. 4, Ex. 4.
– Coordonnées polaires : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm1, Pb.
– Covariance : D.M. 4, Ex. 3.
– Dénombrabilité : D.M. 2, Ex. 2 ; D.M. 2, Ex. 3 ; D.S., Pb.
– Densité (d’une mesure) : D.S., Ex. 3.
– Densité (d’une loi) : D.M. 4, Ex. 1 ; D.M. 4, Ex. 2 ; D.M. 4, Ex. 3 ; Exm1, Pb. ;
Exm2, Ex. 3.
– Ensembles négligeables : D.M. 2, Ex. 2 ; D.M. 2, Ex. 3 ; D.S., Ex. 3 ; D.S., Pb..
– Fonction définie par une intégrale (ou une espérance) : Exm2, Ex. 2.
– Fonctions étagées : D.M. 3, Pb.
– Fonction de répartition : D.S., Pb. ; D.M. 4, Ex. 1.
– Indépendance : D.M. 1, Ex. 1 ; D.S., Pb. ; D.M. 4, Ex. 1 ; Exm1, Pb. ;
– Intégrabilité : D.M. 3, Ex. 1. ; Exm1, Ex. 1 ; Exm2, Ex. 2.
– Intégrale de Riemann : D.M. 3, Ex.1 ; Exm2, Ex. 1.
– Interversion limite-intégrale : D.M. 3, Ex. 1. ; Exm2, Ex. 2.
– Interversion série-espérance, série-intégrale : D.S., Pb. ; Exm2, Ex. 1.
– Lemme de Fatou : D.M. 1, Ex. 2 ; D.M. 3, Pb. ; Exm1, Ex. 2 ; Exm2, Ex. 2.
– Loi binomiale : Exm1, Ex. 3.
– Loi de Cauchy : D.M. 4, Ex. 2.
– Loi faible des grands nombres : D.M. 4, Ex. 4.
– Loi forte des grands nombres : D.M. 4, Ex. 4 ; D.M. 4, Ex. 5 ; Exm1, Ex. 3 ; Exm1,
Pb. ; Exm2, Ex. 4.
– Loi géométrique : Exm1, Pb.
– Loi singulière : D.S., Pb.
– Lois symétriques : Exm2, Ex. 2.
– Lois uniformes : D.M. 4, Ex. 1 ; D.M. 4, Ex. 5 ; Exm1, Ex. 3 ; Exm1, Pb. ; Exm2,
Ex. 3 ; Exm2, Ex. 4.
– Mesurabilité : D.M. 2, Ex. 2 ; D.S., Ex. 2 ; D.S., Pb. ; Exm1, Ex. 1 ; Exm1, Pb. ;
Exm2, Ex. 2.
– Mesure : D.M. 2, Ex. 3 ; D.S., Ex. 3 ; D.S., Pb.
– Mesure de Lebesgue : D.M. 2, Ex. 2.
– Modélisation : D.M. 1, Ex. 1.
– Rejet (algorithme du) : Exm1, Pb. ;
– Séries et familles sommables : D.M. 1, Ex. 2.
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I.F.P. 2003–2004
– Simulation : Exm1, Pb. ; Exm2, Ex. 3.
– Temps d’attente : Exm1, Pb.
– Théorème de Beppo Levi : D.S., Pb. ; D.M. 3, Pb. ; Exm1, Ex. 2.
– Théorème de convergence dominée : D.M. 3, Ex. 2. ; D.M. 3, Pb. ; D.M. 4, Ex. 5 ;
Exm1, Ex. 1 ; Exm1, Ex. 2 ; Exm2, Ex. 2.
– Théorème de Fubini : D.M. 4, Ex. 3.
– Théorème de Poincaré : D.S., Ex. 2.
– Tribu : D.M. 2, Ex. 3 ; D.S., Ex. 2.
– Variable aléatoire : D.S., Pb. ; D.M. 4, Ex. 1.
– Variance : D.M. 4, Ex. 4.
– Vecteur aléatoire : D.M. 4, Ex. 2 ; D.M. 4, Ex. 3 ; Exm1, Pb. ; Exm2, Ex. 3.
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Sujet du D.M. no1 I.F.P. 2003–2004
Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
IFP Année 2003-04
Devoir no1
À rendre dans la semaine du 13 octobre 2003
Ex 1. Probabilité de gagner un jeu sur son service au tennis
On considère le modèle simplifié suivant du jeu de tennis 1: le joueur Aest au service
et affronte B. Un « jeu » est constitué d’un certain nombre d’ « échanges » et à la fin
de chaque « échange », celui des deux joueurs qui a gagné l’échange marque un point.
Le joueur qui gagne le « jeu » est le premier à totaliser au moins 4points avec au moins
deux points d’avance sur son adversaire. Apeut donc gagner le jeu sur le score de 4à
0,4à1,4à2,5à3,6à4,. . . On suppose que tous les échanges sont indépendants2et
que lors de chaque échange la probabilité pour Ade gagner le point reste constante et
vaut p. Notre objectif est de calculer en fonction de pla probabilité que Aremporte le
jeu. On introduit les notations d’événements suivantes.
G={Agagne le jeu},
An={Agagne le n-ième échange },
Bn={Bgagne le n-ième échange },
Ei,j ={Au bout de i+jéchanges, Aaipoints et Ben a j}.
1) Expliquez la décomposition
G=E4,0∪E4,1∪E4,2∪+∞
∪
k=3 Ek+2,k.
2) Calculer P(E4,0),P(E4,1)et P(E4,2).Indication : on remarquera que E4,1=
A5∩E3,1et E4,2=A6∩E3,2et on utilisera l’indépendance des échanges.
3) Expliquer pourquoi pour tout k≥3,ona:
Ek+2,k =E3,3∩k
∩
j=4 Cj∩A2k+1 ∩A2k+2,
où l’on a posé Cj:= (A2j−1∩B2j)∪(B2j−1∩A2j).
4) Calculer P(E3,3), puis r=P(Cj). En déduire P(Ek+2,k).
1. Il n’est pas nécessaire de connaître les règles classiques du tennis pour faire cet exercice. Elles sont
rappelées dans l’énoncé sous une forme permettant de simplifier les écritures.
2. Cette hypothèse est faite pour des raisons de simplification, on pourra en discuter la pertinence
après avoir résolu l’exercice.
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