Probabilités et Statistiques: Correction Contrôle Continu 2

Probabilités et Statistiques: Correction Contrôle
Continu 2
Jeudi 6 Mai 2010
Dure : 2h. Le total de points est sur 21 (hors bonus). Toutes les réponses
doivent être justifiées. Les documents sont interdits mais les calculatrices sont
autorisées.
Exercice 1 : Fonction de densité
Soit Xune variable aléatoire dont la fonction de densité est :
f(x) = c(1 −x2)−1<x<1
0sinon
1) Déterminer la valeur de c. (2 points)
On sait que RRf(x)dx = 1, on obtient donc cpar le calcul suivant :
Z1
−1
c(1 −x2)dx = 1 ⇔cx−x3
31
−1
= 1 ⇔c×4
3= 1 ⇔c=3 4
2) Déterminer la fonction de répartition de X. (2 points)
La fonction de répartition s’obtient en intégrant la densité sur ]− ∞;x].
- si x < −1 : Zx
−∞
f(x)dx =Zx
−∞
0dx = 0
- si x > 1 : Zx
−∞
f(x)dx =Z1
−1
3
4(1 −x2)dx = 1
- si −1<x<1 : Zx
−∞
f(x)dx =Zx
−1
3
4(1−x2)dx =3 4x−x3 3x
−1
=3
4x−x3 3+1 2
d’où :
F(x) = 
0si x < −1
3
4x−x3 3+1 2si −1<x<1
1si x > 1
3) Calculer l’espérance et la variance de X. (2 points)
E(X) = Z+∞
−∞
x×f(x)dx =Z1
−1
3
4x(1 −x2)dx =3 4Z1
−1
x−x3dx
1

=3
4x2 2−x4 41
−1
=3
41 2−1 4−1 2−1 4= 0
E(X2) = Z+∞
−∞
x2×f(x)dx =Z1
−1
3
4x2(1 −x2)dx =3 4Z1
−1
x2−xt dx
=3
4x3 3−x5 51
−1
=3
41 3−1 5−−1 3+1 5=1 5
V(X) = E(X2)−E(X)2=1
5
Exercice 2 : Fonction de répartition
Soit Fla fonction définie sur Rpar :
F(x) = 1−e−(x
θ)αx > 0
0sinon
avec (θ, α)∈R∗
+×R∗ +
1) Montrer que Fest une fonction de répartition d’une variable aléatoire abso-
lument continue X. (2 points)
Fest continue sur R, dérivable sur R∗et croissante sur R. (à démontrer dans
une copie !)
De plus lim
x→−∞
F(x)=0et lim
x→+∞
F(x)=1.
Donc Fest une fonction de répartition d’une variable aléatoire absolument
continue.
2) Donner une densité de la loi de probabilité de X. (1.5 points)
La densité s’obtient en dérivant F:
f(x) = α
θx θα−1e−(x
θ)αx > 0
0sinon
Exercice 3 : Loi uniforme
Deux étudiants se rendent la bibliothèque. L’heure d’arrivée du premier suit
une loi uniforme sur [12,18] et celle du second une loi uniforme sur [14,17].
Exceptionnellement la bibliothèque ferme à 16 heures. Quelle est la probabilité
qu’aucun des deux étudiants n’ai pu entrer ? (2.5 points)
Soit Xl’heure d’arrivée du premier étudiant et Ycelle du second. Les deux
évènement sont indépendants. La probabilité qu’aucun des deux étudiants n’ait
pu entrer est P(X > 16 ∩Y > 16).
P(X > 16∩Y > 16) = P(X > 16)×P(Y > 16) = (1−P(X < 16))×(1−P(Y < 16))
= (1 −FX(16)) ×(1 −FY(16)) = 1−16 −12
18 −12×1−16 −14 17 −14=1 9
2

Exercice 4 : Loi normale (1)
On suppose que Lla longueur en millimètre d’un os donné chez un adulte
est une variable aléatoire telle que L∼ N (60,100).
1) Quelle est la probabilité pour que la longueur d’un os soit supérieure à 65mm ?
(1 point)
P(L > 65) = PL−60
10 >65 −60 10 =PL−60 10 >0.5= 1−PL−60 10 <0.5
= 1 −Φ(0.5) = 1 −0.6915 = 0.3085
2) Le corps humain compte deux cents os, combien sont de longueur supérieure
à65mm ? (0.5 point)
200 ×0.3085 = 61.7
3) Quelle est la probabilité que la longueur d’un os soit comprise entre 55mm
et 65mm ? (1.5 points)
P(55 <L<65) = P55 −60
10 <L−60 10 <65 −60 10 =P−0.5<L−60 10 <0.5
= Φ(0.5)−Φ(−0.5) = Φ(0.5)−(1−Φ(0.5)) = 2Φ(0.5)−1=2×0.6915−1 = 0.383
4) Les 10% des os les plus petits souffrent de malformation. En-dessous de quelle
longueur ont-ils cette malformation ? (1 point)
P(L < l)=0.10 ⇔PL−60
10 >l−60 10 = 0.10 ⇔Φl−60 10 = 0.10
⇔Φ60 −l
10 = 0.90 ⇔L−60 10 = 1.28 ⇔l= 60 −10 ×1.28 ⇔l= 47.2
Exercice 5 : Loi normale (2)
Une étude statistique portant sur les revenus annuels français en 2009 montre
que le salaire (en KE) suit une loi normale de moyenne met d’écart-type σ. On
dispose des données suivantes : 47% des français ont un salaire inférieur à 30KE
et 13% ont un salaire compris entre 30KE et 50KE.
1) Déterminer les paramètres met σ. (3 points)
On a P(X < 30) = 0.47 ⇔PX−m
σ<30 −m σ= 0.47
⇔Φ30 −m
σ= 0.47 ⇔Φ−30 + m σ= 0.53 ⇔−30 + m σ= 0.08
et P(30 < X < 50) = 0.13 ⇔P30 −m
σ<X−m σ<50 −m σ= 0.13
3

⇔Φ50 −m
σ−Φ30 −m σ= 0.13 ⇔Φ50 −m σ−0.47 = 0.13
⇔Φ50 −m
σ= 0.60 ⇔50 −m σ= 0.25
On doit donc résoudre le système suivant :
m−30
σ= 0.08
50−m
σ= 0.25
d’où : m= 34.85
σ= 60.61
2) Quel pourcentage de français ont un salaire supérieur à 70KE ? (1 point)
P(X > 70) = PX−35
61 >70 −35 61 = 1 −PX−35 61 <70 −35 61 
= 1 −Φ(0.57) = 1 −0.71566 = 0.28434
Exercice Bonus
Une variable aléatoire suit une loi de Cauchy de paramètres (0,1) si elle
admet pour densité :
f(x) = 1
π(1 + x2),∀x∈R.
1) Vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité.
1
π(1 + x2)>0∀x∈R
Z+∞
−∞
1
π(1 + x2)dx =1 πZ+∞
−∞
1
(1 + x2)dx =1 π[arctan(x)]+∞
−∞ =1
ππ 2−−π 2=1 π×π= 1
avec y= tan(x)⇔x= arctan(y)
2) Montrer qu’elle n’admet pas d’espérance.
E(X) = Z+∞
−∞
x×f(x)dx =1
πZ+∞
−∞
x
(1 + x2)dx =1 π1 2ln(1 + x2)+∞
−∞
= +∞
3) La loi de X=|Y|, où Ysuit une loi de Cauchy est appelée loi de Lorentz.
Déterminer la densité de cette loi.
FX(t) = P(X < t) = P(−t<Y <t) = FY(t)−FY(−t)
fX(x) = FX(x)
dx =fY(x)−fY(−x) = 2fY(x)car Y est paire
fX=2
π(1 + x2),∀x≥0
4