Probabilités et Statistiques: Correction Contrôle Continu 2

Probabilités et Statistiques: Correction Contrôle
Continu 2
Jeudi 6 Mai 2010
Dure : 2h. Le total de points est sur 21 (hors bonus). Toutes les réponses
doivent être justifiées. Les documents sont interdits mais les calculatrices sont
autorisées.
Exercice 1 : Fonction de densité
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité est :
c(1 − x2 ) − 1 < x < 1
f (x) =
0
sinon
1) Déterminer la valeur de c. (2 points)
R
On sait que R f (x) dx = 1, on obtient donc c par le calcul suivant :
1
Z 1
4
3
x3
=1⇔c× =1⇔c=
c(1 − x2 ) dx = 1 ⇔ c x −
3 −1
3
4
−1
2) Déterminer la fonction de répartition de X. (2 points)
La fonction de répartition s’obtient en intégrant la densité sur ] − ∞; x].
Z x
Z x
- si x < −1 :
f (x) dx =
0 dx = 0
−∞
Z
−∞
x
Z
1
3
- si x > 1 :
f (x) dx =
(1 − x2 ) dx = 1
−∞
−1 4
x
Z x
Z x
3
3
x3
3
x3
1
2
- si −1 < x < 1 :
f (x) dx =
(1−x ) dx =
x−
=
x−
+
4
4
3
4
3
2
−∞
−1
−1
d’où :
F (x) =


 0
3
4


si x < −1
x−
x3
3
+
1
1
2
si − 1 < x < 1
si x > 1
3) Calculer l’espérance et la variance de X. (2 points)
Z +∞
Z 1
Z
3
3 1
2
E(X) =
x × f (x) dx =
x(1 − x ) dx =
x − x3 dx
4 −1
−∞
−1 4
1
1
3 x2
x4
3 1 1
1 1
−
=
− −
−
=0
4 2
4 −1
4 2 4
2 4
Z
Z +∞
Z 1
3 2
3 1 2
x − xt dx
E(X 2 ) =
x2 × f (x) dx =
x (1 − x2 ) dx =
4 −1
−∞
−1 4
1
3 x3
x5
3 1 1
1 1
1
=
−
=
− − − +
=
4 3
5 −1
4 3 5
3 5
5
=
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 =
1
5
Exercice 2 : Fonction de répartition
Soit F la fonction définie sur R par :
x α
1 − e−( θ ) x > 0
F (x) =
0
sinon
avec (θ, α) ∈ R∗+ × R∗+
1) Montrer que F est une fonction de répartition d’une variable aléatoire absolument continue X. (2 points)
F est continue sur R, dérivable sur R∗ et croissante sur R. (à démontrer dans
une copie !)
De plus lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
Donc F est une fonction de répartition d’une variable aléatoire absolument
continue.
2) Donner une densité de la loi de probabilité de X. (1.5 points)
La densité s’obtient en dérivant F :
α
α x α−1 −( x
e θ) x > 0
θ θ
f (x) =
0
sinon
Exercice 3 : Loi uniforme
Deux étudiants se rendent la bibliothèque. L’heure d’arrivée du premier suit
une loi uniforme sur [12, 18] et celle du second une loi uniforme sur [14, 17].
Exceptionnellement la bibliothèque ferme à 16 heures. Quelle est la probabilité
qu’aucun des deux étudiants n’ai pu entrer ? (2.5 points)
Soit X l’heure d’arrivée du premier étudiant et Y celle du second. Les deux
évènement sont indépendants. La probabilité qu’aucun des deux étudiants n’ait
pu entrer est P (X > 16 ∩ Y > 16).
P (X > 16∩Y > 16) = P (X > 16)×P (Y > 16) = (1−P (X < 16))×(1−P (Y < 16))
16 − 12
16 − 14
1
= (1 − FX (16)) × (1 − FY (16)) = 1 −
× 1−
=
18 − 12
17 − 14
9
2
Exercice 4 : Loi normale (1)
On suppose que L la longueur en millimètre d’un os donné chez un adulte
est une variable aléatoire telle que L ∼ N (60, 100).
1) Quelle est la probabilité pour que la longueur d’un os soit supérieure à 65mm ?
(1 point)
65 − 60
L − 60
L − 60
L − 60
>
=P
> 0.5 = 1−P
< 0.5
P (L > 65) = P
10
10
10
10
= 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085
2) Le corps humain compte deux cents os, combien sont de longueur supérieure
à 65mm ? (0.5 point)
200 × 0.3085 = 61.7
3) Quelle est la probabilité que la longueur d’un os soit comprise entre 55mm
et 65mm ? (1.5 points)
55 − 60
L − 60
65 − 60
L − 60
P (55 < L < 65) = P
<
<
= P −0.5 <
< 0.5
10
10
10
10
= Φ(0.5)−Φ(−0.5) = Φ(0.5)−(1−Φ(0.5)) = 2Φ(0.5)−1 = 2×0.6915−1 = 0.383
4) Les 10% des os les plus petits souffrent de malformation. En-dessous de quelle
longueur ont-ils cette malformation ? (1 point)
l − 60
l − 60
L − 60
P (L < l) = 0.10 ⇔ P
>
= 0.10 ⇔ Φ
= 0.10
10
10
10
L − 60
60 − l
= 0.90 ⇔
= 1.28 ⇔ l = 60 − 10 × 1.28 ⇔ l = 47.2
⇔Φ
10
10
Exercice 5 : Loi normale (2)
Une étude statistique portant sur les revenus annuels français en 2009 montre
que le salaire (en KE) suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ. On
dispose des données suivantes : 47% des français ont un salaire inférieur à 30KE
et 13% ont un salaire compris entre 30KE et 50KE.
1) Déterminer les paramètres m et σ. (3 points)
X −m
30 − m
On a P (X < 30) = 0.47 ⇔ P
<
= 0.47
σ
σ
30 − m
−30 + m
−30 + m
⇔Φ
= 0.47 ⇔ Φ
= 0.53 ⇔
= 0.08
σ
σ
σ
30 − m
X −m
50 − m
et P (30 < X < 50) = 0.13 ⇔ P
<
<
= 0.13
σ
σ
σ
3
⇔Φ
30 − m
50 − m
−Φ
= 0.13 ⇔ Φ
− 0.47 = 0.13
σ
σ
50 − m
50 − m
= 0.60 ⇔
= 0.25
⇔Φ
σ
σ
50 − m
σ
On doit donc résoudre le système suivant :
m−30
= 0.08
σ
50−m
= 0.25
σ
d’où :
m = 34.85
σ = 60.61
2) Quel pourcentage de français ont un salaire supérieur à 70KE ? (1 point)
70 − 35
X − 35
70 − 35
X − 35
>
=1−P
<
P (X > 70) = P
61
61
61
61
= 1 − Φ(0.57) = 1 − 0.71566 = 0.28434
Exercice Bonus
Une variable aléatoire suit une loi de Cauchy de paramètres (0, 1) si elle
admet pour densité :
1
f (x) =
, ∀x ∈ R.
π(1 + x2 )
1) Vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité.
1
> 0 ∀x ∈ R
π(1 + x2 )
Z
+∞
−∞
1
1
dx =
π(1 + x2 )
π
Z
+∞
−∞
1
1
1 π π 1
+∞
dx
=
[arctan(x)]
=
− −
= ×π = 1
−∞
(1 + x2 )
π
π 2
2
π
avec y = tan(x) ⇔ x = arctan(y)
2) Montrer qu’elle n’admet pas d’espérance.
Z
+∞
x × f (x) dx =
E(X) =
−∞
1
π
Z
+∞
−∞
+∞
1 1
x
2
dx
=
ln(1
+
x
)
= +∞
(1 + x2 )
π 2
−∞
3) La loi de X = |Y |, où Y suit une loi de Cauchy est appelée loi de Lorentz.
Déterminer la densité de cette loi.
FX (t) = P (X < t) = P (−t < Y < t) = FY (t) − FY (−t)
fX (x) =
FX (x)
= fY (x) − fY (−x) = 2fY (x) car Y est paire
dx
2
fX =
, ∀x ≥ 0
π(1 + x2 )
4