TD 16 2017-03-07 Integrales-Proba continues

Ξ
2B TD de Maths n°16 7 Mars 2017
Lois continues à densité
1/ Une loi de probabilité à densité sur
[
]
0,1
a/ Soient n et k deux naturels tels que 0
k n
. On pose
( )
1
,0
1
n k
k
n k
I x x dx
−
= −
∫
Calculer
,
n k
I
par récurrence.
b/ On pose
( )
( ) 1
n k
k
p x x x λ
−
= − . Trouver
λ
pour que
p
soit la densité de probabilité
d’une variable aléatoire
X
à valeur dans l’intervalle
[
]
0,1
.
c/ Calculer alors
(
)
E X
,
(
)
2
E X
et la variance
(
)
Var X
d/ pour
5 et 2
n k
= =
, calculer la fonction de répartition
( )
F x
et tracer les graphes de p et F .
2/ Loi de
Y u X v
= +
.
Soit
X
une variable aléatoire continue à valeur dans
[
]
,
a b
(i.e.
[
]
[
]
Prob Prob 0
X a X b
< = > =
),
de densité
( )
p x
et de fonction de répartition
( )
F x
.
Soient u et v deux constantes réelles telles que
0
u
>
.
On étudie la variable aléatoire
Y u X v
= +
, on note
( )
q y
sa densité et
( )
G y
sa fonction de répartition.
a/ Dans quel intervalle la variable aléatoire
Y
a-t-elle ses valeurs ?
b/ Soit
y u x v
= +
. Calculer
( )
G y
en fonction de
( )
F x
. En déduire
( )
q y
en fonction de
( )
p x
.
c/ Calculer l’espérance de Y en fonction de celle de X , la variance de Y en fonction de celle de X.
3/ Loi uniforme.
1. Le temps d’attente (en minutes) pour accéder à un service téléphonique suit une loi uniforme sur [1 , 6].
Déterminer la probabilité d’attendre au moins 4 minutes.
Déterminer le temps d’attente moyen.
2. Un arrêt de bus est desservi tous les quart d’heures à partir de 7 h du matin (inclus). Un passager arrive à
l’arrêt à un instant aléatoire de loi uniforme sur [7 h ; 7 h 30]. Quelle est la probabilité qu’il attende moins
de 5 mn pour un bus ? plus de 10 mn ?
Intégrales impropres
1/ Soient
( )
2
0
ln sin( )
I t dt
π
=
∫
et
( )
2
0
ln cos( )
J t dt
π
=
∫
a/ Montrer l’existence de ces intégrales.
b/ Montrer que I = J
c/ Montrer que
( )
2
0
ln sin(2 )
t dt I
π
=
∫
d/ En déduire I et J.
2/a/ Montrer la convergence de
( )
2
12
0
arctan x
K dx
x
∞
=
∫
b/ Comparer
1 2 2
0
arctan
et
(1 )
x
K K dx
x x
∞
=+
∫
c/ Comparer
2
2 3 0
et tan( )
K K d
π
θ
θ
θ
=
∫
d/ Comparer
2
3 4 0
et ln(sin( ))
K K d
π
θ θ
=
∫
e/ Conclure.
3/ 1/ Soit
( )
03
1
n
n
dx
J
x
∞
=+
∫
pour
1
n
a/ Montrer la convergence de cette intégrale.
b/ Donner une relation de récurrence sur
n
J
c/ Montrer par un changement de variables,
que
13
0
1
1
t
J dt
t
∞
+
=+
∫
. Simplifier, puis calculer
1
J
d/ En déduire
n
J
Un jour, j'apprends qu'un bruit court.
Je me lance à sa poursuite.
J'étais sur le point de l'attraper.
Quelqu'un a fait : « Chut ! »
Et le bruit a disparu.
Je n'en ai plus jamais entendu parler.
Raymond Devos