TD 16 2017-03-07 Integrales-Proba continues

Ξ2 B
TD de Maths n°16
7 Mars 2017
Lois continues à densité
1/ Une loi de probabilité à densité sur [ 0,1]
1
a/ Soient n et k deux naturels tels que 0 k n . On pose I n ,k = ∫ x k (1 − x )
n−k
dx
0
Calculer I n ,k par récurrence.
b/ On pose p ( x) = λ x k (1 − x )
n−k
. Trouver λ pour que p soit la densité de probabilité
d’une variable aléatoire X à valeur dans l’intervalle [ 0,1] .
( )
c/ Calculer alors E ( X ) , E X 2 et la variance Var ( X )
d/ pour n = 5 et k = 2 , calculer la fonction de répartition F ( x) et tracer les graphes de p et F .
2/ Loi de Y = u X + v .
Soit X une variable aléatoire continue à valeur dans [ a, b] (i.e. Prob [ X < a ] = Prob [ X > b] = 0 ),
de densité p ( x) et de fonction de répartition F ( x) .
Soient u et v deux constantes réelles telles que u > 0 .
On étudie la variable aléatoire Y = u X + v , on note q ( y ) sa densité et G ( y ) sa fonction de répartition.
a/ Dans quel intervalle la variable aléatoire Y a-t-elle ses valeurs ?
b/ Soit y = u x + v . Calculer G ( y ) en fonction de F ( x) . En déduire q ( y ) en fonction de p ( x) .
c/ Calculer l’espérance de Y en fonction de celle de X , la variance de Y en fonction de celle de X.
3/ Loi uniforme.
1. Le temps d’attente (en minutes) pour accéder à un service téléphonique suit une loi uniforme sur [1 , 6].
Déterminer la probabilité d’attendre au moins 4 minutes.
Déterminer le temps d’attente moyen.
2. Un arrêt de bus est desservi tous les quart d’heures à partir de 7 h du matin (inclus). Un passager arrive à
l’arrêt à un instant aléatoire de loi uniforme sur [7 h ; 7 h 30]. Quelle est la probabilité qu’il attende moins
de 5 mn pour un bus ? plus de 10 mn ?
Intégrales impropres
1/ Soient I = ∫
π
ln ( sin(t ) ) dt
2
0
et J = ∫
π
0
a/
b/
c/
2
Montrer l’existence de ces intégrales.
Montrer que I = J
Montrer que
∫
2
0
( arctan x )
x2
0
ln ( cos(t ) ) dt
π
2/a/ Montrer la convergence de K1 = ∫
∞
ln ( sin(2t ) ) dt = I
b/ Comparer K1 et K 2 = ∫
∞
0
π
c/
Comparer K 2 et K 3 = ∫ 2
0
2
dx
arctan x
dx
x(1 + x 2 )
θ
tan(θ )
dθ
π
d/ Comparer K 3 et K 4 = ∫ 2 ln(sin(θ )) dθ
d/ En déduire I et J.
0
e/
3/ 1/ Soit J n = ∫
∞
0
dx
(1 + x3 )
n
Conclure.
pour n 1
a/ Montrer la convergence de cette intégrale.
b/ Donner une relation de récurrence sur J n
c/ Montrer par un changement de variables,
∞ 1+ t
que J1 = ∫
dt . Simplifier, puis calculer J1
0 1+ t3
d/ En déduire J n
Un jour, j'apprends qu'un bruit court.
Je me lance à sa poursuite.
J'étais sur le point de l'attraper.
Quelqu'un a fait : « Chut ! »
Et le bruit a disparu.
Je n'en ai plus jamais entendu parler.
Raymond Devos