TD3 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD3. Variables aléatoires discrètes et suites
d’événements.
1. Dans une population de noiseaux, on en capture mque l’on bague puis que l’on
relâche. Un peu plus tard, on en capture à nouveau m.
a) Soit k∈ {0, . . . , n}. Quelle est la probabilité que parmi les moiseaux capturés, k
soient bagués ?
b) Pour quelle valeur de kla probabilité calculée ci-dessus est-elle maximale ?
2. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N. Pour tout n≥0, on note pn=P(X=n)
et on suppose pn>0. Soit λ > 0un réel. Montrer que les deux assertions suivantes sont
équivalentes.
1. La variable aléatoire Xsuit la loi de Poisson de paramètre λ.
2. Pour tout n≥1, on a pn
pn−1
=λ
n.
3. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Nadmettant une espérance E[X]. Montrer
qu’on a l’égalité
E[X] = X
n≥1
P(X≥n).
4. Soient X, Y : (Ω,F,P)→Rdeux variables à valeurs dans N. Montrer de deux façons
différentes que
X
n≥0
nP(X=n) + X
n≥0
nP(Y=n) = X
n≥0
nP(X+Y=n).
5. On étudie des variables aléatoires qui ont une propriété d’absence de mémoire. Soit T
une variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose que pour tous n, m ≥0entiers, on a
P(T≥n+m) = P(T≥n)P(T≥m).
Que peut on dire sur la loi de T?
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6. On considère l’espace de probabilités ([0,1[,B[0,1[,Leb). Pour tout n≥1, on définit
une variable Xnà valeurs réelles en posant
∀x∈[0,1[, Xn(x) = b2{2n−1x}c.
a) Représenter le graphe de X1, X2, X3vues comme fonctions de [0,1[ dans R.
b) Déterminer la loi de Xnpour tout n≥1.
c) Soit n≥1un entier. Soient ε1, . . . , εn∈ {0,1}. On pose a=Pn
k=1 2−kεket b=
a+ 2−n. Montrer que
{x∈[0,1[: X1(x) = ε1, . . . , Xn(x) = εn}= [a, b[.
En déduire la loi de la variable aléatoire (X1, . . . , Xn)à valeurs dans {0,1}n.
La suite des variables aléatoires (Xn)n≥1, définie sur l’espace de probabilités ([0,1[,B[0,1[,Leb),
constitue donc un jeu de pile ou face infini.
7. Un chimpanzé tape à la machine à écrire en appuyant chaque seconde sur une touche
choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’il parvienne à écrire Hamlet, c’est-à-dire
qu’à un certain moment il écrive d’une traite le texte de cette pièce ?
8. Soit Ωun ensemble. Soit (Xn)n≥1une suite de fonctions à valeurs entières définies sur
Ω.
a. Décrire en français et sans utiliser les expressions "quelque soit" ni "il existe" les parties
suivantes de Ω:
A=[
a∈N[
b∈N\
n≥1
{ω∈Ω : a≤Xn(ω)≤b},
B=[
N≥1\ n≥N\
m≥n
{ω∈Ω : Xn(ω)−Xm(ω)≥0},
C=[
k≥1\
N≥1[ n≥N[ m≥Nω∈Ω : |Xn(ω)−Xm(ω)|>1
k.
b. Faire l’opération de traduction inverse pour les parties suivantes de Ω:
L’ensemble des ω∈Ωtels que la suite (Xn(ω))n≥1...
D... ne soit pas bornée supérieurement,
E... tende vers +∞,
9. Soit Ωun ensemble. Soit (An)n≥1une suite de parties de Ω. Déterminer les relations
d’inclusion qui existent toujours entre les parties suivantes de Ω:
[
N≥1\ n≥N
An,\
N≥1[ n≥N
An,[
n≥1
An,\
n≥1
An,Ω,∅.
Montrer par un exemple que ces six parties peuvent être deux à deux distinctes.
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