TD 7 – Point de bascule 1 Des probabilités discrètes

Processus aléatoires ENS Paris, 2013/2014
Bastien Mallein
Bureau V2
TD 7 – Point de bascule
24 mars 2014
1 Des probabilités discrètes
Exercice 1 (Une minoration classique).Soit Xune variable aléatoire intégrale à valeurs dans Z+. Montrer
que
P(X > 0) ≥E(X)2
E(X2).
Discuter les cas d’égalité.
Exercice 2 (Dérangement).Soit Tune variable aléatoire à valeurs dans Ntelle que P(T=n)décroit.
Montrer que pour toute injection σ:N→N, on a
E(σ(T)) ≥E(T).
Exercice 3 (Dés truqués).On rappelle que la fonction génératrice d’une variable aléatoire est GX(s) =
EsX.
1. Déterminer la fonction génératrice de la loi uniforme sur {2,...,12}.
2. Montrer qu’on ne peut pas simuler la loi uniforme sur {2,...,12}avec deux dés pipés indépendants.
Exercice 4 (Entropie).Soit Ωun ensemble fini. L’entropie d’une probabilité Psur Ωest définie comme
H(P) = X
ω∈Ω−P(ω) log P(ω).
L’entropie relative de Ppar rapport à Qest définie par
D(P||Q) = (+∞si ∃ω∈Ω : P(ω)>0 = Q(ω)
Pω∈ΩP(ω) log P(ω)
Q(ω)sinon.
1. Montrer grâce à l’inégalité de Jensen que D≥0, et que D= 0 implique P=Q.
2. Soit Ula mesure uniforme sur Ω, déterminer à l’aide de Hla valeur de D(P||U).
3. En déduire la loi qui maximise l’entropie.
Exercice 5 (Propagation de la rumeur).On suppose que des individus (Ij, j ∈N)transmettent une in-
formation binaire de façon exacte avec probabilité pj, et inexacte avec probabilité 1−pj. On part d’une
information 1donnée à I1, qui la transmet à I2, qui la transmet à I3, etc. Déterminer la probabilité qkque
l’information transmise par l’individu ksoit 1.
Donner une expression simplifiée de qklorsque pk=p∈(0,1), et déterminer limk→+∞qk.
Qu’observe-t-on lorsque P1−pk<+∞?
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2 Des inégalités
Exercice 6 (Inégalité de Paley-Zygmund).Soit Xune variable aléatoire positive de carré intégrable.
1. Montrer que pour tout a∈(0,1), on a
(1 −a)E(X)≤EX1{X≥aE(X)}.
2. En conclure que pour tout a∈(0,1),
P(X≥aE(X)) ≥(1 −a)2E(X)2
E(X2).
Exercice 7 (Inégalité de Jensen).Soit fune fonction convexe, et Xune variable aléatoire réelle. On rappelle
l’inégalité de Jensen
E(f(X)) ≥f(E(X)).
Montrer que si fest strictement convexe, et que E(f(X)) = f(E(X)), alors Xest une variable aléatoire
constante presque sûrement.
Exercice 8 (Lemme de Hoeffding).Soit Xune variable aléatoire réelle telle que E(X) = 0 et P(a≤X≤
b)=1. Montrer que pour tout λ > 0
EeλX ≤exp λ2(b−a)2
8.
Indication. On pourra montrer dans un premier temps que
EeλX ≤beλa
b−a−aeλb b−a.
Soit (Xn)une suite de variables aléatoires i.i.d. de même loi que X, montrer que pour tout  > 0,
P(Xn≥n)≤e−n42
(b−a)2.
3 Des convergences
Exercice 9. Soit (Xn)des variables aléatoires i.i.d. de loi gaussienne centrée réduite. Pour h∈N, on note
Yn(h) = Pn
j=1 sin(hXj). Déterminer la limite en loi de 1
√n(Yn(1),...Yn(k)).
Exercice 10. Soit (Xn)des variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans {0, . . . , r}telles que P(X1=i) = pi.
Identifier la limite en loi de
Yn=1
n
r
X
j=1 1
√pj
n
X
i=1
1{Xi=j}−pj!2
Exercice 11. Soit p∈(0,2) et Xune variable aléatoire réelle telle que E(eitX ) = e−|t|p. Montrer que PajXj
converge en loi si et seulement si P|aj|p<+∞.
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