LOI DES GRANDS NOMBRES THEOREMES DE CONVERGENCE

Loi des grands nombres – Théorèmes de convergence
9
203
LOI DES GRANDS NOMBRES
THEOREMES DE CONVERGENCE
«C’est presque toujours par vanité
qu’on montre ses limites. »
André GIDE
MARCHE D’APPROCHE
1. INEGALITE DE BIENAYME- CHEBYCHEV
etc.....
206
Chapitre 9
3. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES
3. 1. Enoncé
A1, A2, A3,..., An désignent une suite d’expériences aléatoires identiques, et
indépendantes les unes des autres. A chaque expérience aléatoire Ai est associée
une variable aléatoire Xi. Les variables aléatoires Xi ont toutes la même espérance
2
mathématique, notée µ, et la même variance, notée σ . Soit X n la variable
F
GH
I
JK
1 n
aléatoire définie, pour tout entier n non nul, par X n =
∑ Xi .
n i =1
d
i
Soit ε un réel strictement positif donné. Alors lim p X n − µ ≤ ε = 1
n→ +∞
3. 2. Démonstration
Les variables aléatoires Xi étant indépendantes :
!
LM
OP 1
OP 1
1 L
M
E
(
X
)
(
n
)
et
V
(
X
)
V
(
X
)
=
µ
=
µ
=
n MN∑
MN∑ PQ n
PQ = n (nσ
Appliquons l’inégalité de Bienaymé-Chebychev à la variable aléatoire X .
tσ I 1
F
Il vient :
pG X − µ >
J≤ .
H
nK t
n
1
E( X n ) =
n
n
i
n
i =1
i
2
i =1
2
2
σ2
)=
n
n
n
2
tσ
ε n
1 nε 2
on a t =
, d’où 2 = 2 . Alors :
σ
n
t
σ
En posant ε =
d
i
p Xn − µ > ε ≤
σ2
nε 2
Cette inégalité généralise le théorème de Bernoulli.
!
d
(GN 1)
L’événement X n − µ ≤ ε est l’événement contraire de X n − µ > ε , donc :
i
d
σ
Puisque pd X − µ > ε i ≤
nε
i
p Xn − µ ≤ ε = 1− p Xn − µ > ε .
2
n
2
d
i
on a 1 − p X n − µ > ε ≥ 1 −
d
i
p Xn − µ ≤ ε ≥ 1 −
σ2
σ2
, d’où finalement :
nε 2
(GN 2)
nε 2
Or toute probabilité est inférieure à 1, on a donc l’encadrement :
σ2
1 − 2 ≤ p X n − µ ≤ ε ≤ 1 , duquel on déduit immédiatement :
nε
d
i
d
i
lim p X n − µ ≤ ε = 1
n→ +∞
(GN 3)
207
Loi des grands nombres – Théorèmes de convergence
3. 3. Etude d’un exemple
On réalise n lancers successifs d’un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note Xi la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de points marqués
1
7
ème
lors du i
jet. La moyenne de Xi est µ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = . Sa variance est
6
2
2
35
1
7
2
2
2
2
.
σ = E(Xi ) – m , d’où σ 2 = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) −
, soit σ =
12
6
2
!
FG IJ
HK
Soit X n la variable aléatoire qui prend pour valeurs la moyenne des points marqués
!
1
au cours des n jets : X n =
n
n
∑ Xi . On se propose de déterminer un nombre de jets
i =1
suffisants pour que l’événement X n − µ ≤ 0,1 ait au moins huit chances sur dix d’être
d
i
réalisé, soit p X n − µ ≤ 0,1 ≥ 0,8 .
D’après l’énoncé (GN 2) de la loi des grands nombres, nous savons que :
σ2
σ2
p X n − µ ≤ ε ≥ 1 − 2 . Il suffit donc de choisir ε = 0,1 et d’assurer 1 − 2 ≥ 0,8 ,
nε
nε
3500
35
35
≥ 0,8 , soit n ≥ 500
. Or 500
≈ 1458,3 et n est un entier.
c’est à dire :1 −
12n
12
12
d
i
FG IJ
H K
FG IJ
H K
Il suffit donc d’effectuer au moins 1459 jets pour que pd X n − µ ≤ 0,1i ≥ 0,8 .
4. THEOREME DE BOREL
Au cours d’une expérience aléatoire, la probabilité d’un événement A est p.
On réalise successivement, de façon indépendante, n expériences du type précédent
et on note Fn la fréquence de l’événement A au cours de ces n expériences. Soit ε
un nombre réel strictement positif donné. Alors : lim p Fn − p < ε = 1
n→ +∞
c
h
Ce théorème n’est qu’un cas particulier de la loi des grands nombres mais il justifie
l’introduction « fréquentiste » de la notion de probabilité. Il peut également être considéré comme un corollaire du théorème de Bernoulli.
4. 1. Démonstration
c
h
c
h
La probabilité de l’événement Fn − p < ε s’écrit : p Fn − p < ε = 1 − p Fn − p ≥ ε .
c
h
et, par suite : 1 −
pq
D’après le théorème de Bernoulli p Fn − p ≥ ε ≤
c
h
1 − p Fn − p ≥ ε ≥ 1 −
pq
nε 2
montre que : lim p Fn − p < ε = 1 .
n →+∞
c
h
nε 2
pq
nε 2
c
, donc :
h
≤ p Fn − p ≥ ε ≤ 1 . Cet encadrement