LOI DES GRANDS NOMBRES THEOREMES DE CONVERGENCE

Loi des grands nombres – Théorèmes de convergence 203
LOI DES GRANDS NOMBRES
THEOREMES DE CONVERGENCE
MARCHE D’APPROCHE
1. INEGALITE DE BIENAYME- CHEBYCHEV
etc.....
«C’est presque toujours par vanité
qu’on montre ses limites. »
André GIDE
9

Chapitre 9
206
3. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES
3. 1. Enoncé
A1, A2, A3,..., A
n désignent une suite d’expériences aléatoires identiques, et
indépendantes les unes des autres. A chaque expérience aléatoire Ai est associée
une variable aléatoire Xi. Les variables aléatoires Xi ont toutes la même espérance
mathématique, notée µ
µµ
µ , et la même variance, notée σ
σσ
σ
2. Soit Xn la variable
aléatoire définie, pour tout entier n non nul, par XnX
ni
i
n
=
==
=F
H
GI
K
J
=
==
=
∑
∑∑
∑
1
1.
Soit ε
εε
ε un réel strictement positif donné. Alors lim
nn
pX
→
→→
→+∞
+∞+∞
+∞ −
−−
−≤
≤≤
≤=
==
= µ
µµ
µε
εε
ε
di
1
3. 2. Démonstration
! Les variables aléatoires Xi étant indépendantes :
E(Xn) = 11
1
nEX nn
i
i
n() ()
=
∑
L
N
M
M
O
Q
P
P==
µµ
et VX nVX nnn
ni
i
n
() () ( )
=L
N
M
M
O
Q
P
P==
=
∑
11
21222
σσ
Appliquons l’inégalité de Bienaymé-Chebychev à la variable aléatoire Xn.
Il vient : pX t
nt
n−>
F
H
GI
K
J≤
µσ
1
2.
En posant εσ =t
n on a t =
εσ n, d’où 1
2
2
2
t
n
=
ε
σ
. Alors :
Cette inégalité généralise le théorème de Bernoulli.
! L’événement Xn−≤
µε est l’événement contraire de Xn−> µε , donc :
pX pX
nn
−≤=− −> µε µε
didi
1.
Puisque pX n
n−>≤
µε σε
di
2
2 on a 11
2
2
−−>≥−pX n
n
µε σε
di
, d’où finalement :
Or toute probabilité est inférieure à 1, on a donc l’encadrement :
11
2
2
−≤ −≤≤
σεµε
npX
n
di
, duquel on déduit immédiatement :
pX n
n−
−−
−>
>>
>≤
≤≤
≤
µ
µµ
µε
εε
εε
εε
ε
di
σ
σσ
σ
2
2(GN 1)
pX n
n−
−−
−≤
≤≤
≤≥
≥≥
≥−
−−
−
µ
µµ
µε
εε
εε
εε
ε
di
12
2
σ
σσ
σ
(GN 2)
lim
nn
pX
→
→→
→+∞
+∞+∞
+∞ −
−−
−≤
≤≤
≤=
==
= µ
µµ
µε
εε
ε
di
1(GN 3)

Loi des grands nombres – Théorèmes de convergence 207
3. 3. Etude d’un exemple
On réalise n lancers successifs d’un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numéro-
tées de 1 à 6.
! On note Xi la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de points marqués
lors du ième jet. La moyenne de Xi est µ = 1
6123456 7 2
()+++++ = . Sa variance est
σ
2 = E(Xi2) – m2, d’où
σ
22
1
6149162536 7 2
= +++ + + −
F
H
GI
K
J
( ) , soit σ
2 = 35
12 .
! Soit Xn la variable aléatoire qui prend pour valeurs la moyenne des points marqués
au cours des n jets : XnX
ni
i
n
==
∑
1
1
. On se propose de déterminer un nombre de jets
suffisants pour que l’événement Xn−≤ µ 01, ait au moins huit chances sur dix d’être
réalisé, soit pX
n−≤ ≥
µ 01 08,,
di
.
D’après l’énoncé (GN 2) de la loi des grands nombres, nous savons que :
pX n
n−≤≥−
µε σε
di
12
2. Il suffit donc de choisir
ε = 0,1 et d’assurer 108
2
2
−≥
σε
n,,
c’est à dire :13500
12 08−≥ n, , soit n ≥ 500 35
12
F
H
GI
K
J. Or 500 35
12
F
H
GI
K
J≈1458,3 et n est un entier.
Il suffit donc d’effectuer au moins 1459 jets pour que pX
n−≤ ≥
µ 01 08,,
di
.
4. THEOREME DE BOREL
Au cours d’une expérience aléatoire, la probabilité d’un événement A est p.
On réalise successivement, de façon indépendante, n expériences du type précédent
et on note Fn la fréquence de l’événement A au cours de ces n expériences. Soit ε
εε
ε
un nombre réel strictement positif donné. Alors : lim
nn
pF p
→
→→
→+∞
+∞+∞
+∞ −
−−
−<
<<
<=
==
= ε
εε
ε
ch
1
Ce théorème n’est qu’un cas particulier de la loi des grands nombres mais il justifie
l’introduction « fréquentiste » de la notion de probabilité. Il peut également être consi-
déré comme un corollaire du théorème de Bernoulli.
4. 1. Démonstration
La probabilité de l’événement Fp
n−<
ε s’écrit : pF p pF p
nn
−<=− −≥ εε
chch
1.
D’après le théorème de Bernoulli pF p pq
n
n−≥≤
εε
ch2, donc :
11
2
−−≥≥−pF p pq
n
n
εε
ch et, par suite : 11
2
−≤ −≥≤
pq
npF p
n
εε
ch. Cet encadrement
montre que : lim
nn
pF p
→+∞ −<=
ε
ch
1.