Fonctions usuelles Pré-requis : – définition du nombre dérivé d’une fonction (voir 8.1) – savoir calculer une dérivée – lien entre le signe de f 0 ( x) et les variations de f (voir théorème 9) – savoir calculer des primitives simples (polynômes, racines, exponentielles. . . ) – trigonométrie (voir 9) – algorithme de dichotomie – convergence d’une suite (voir 10), Suite adjacentes Objectifs : – fonctions injectives, surjectives et bijection (à travers des exemples simples et fct circulaires, hyperboliques) – «maîtriser» la définition de la continuité d’une fonction (à l’aide de suites) – connaître l’idée de la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires et savoir démontrer ses corollaires – savoir encadrer une fonction en utilisant sa dérivée – connaître les fonctions réciproques usuelles qui serviront pour le calcul de primitives. Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan. Dans ce chapitre il s’agit d’ajouter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth. Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la physique. Par exemple lorsqu’un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu entre deux mains) alors la courbe dessinée est une chaînette dont l’équation fait intervenir le cosinus hyperbolique et un paramètre a (qui dépend de la longueur du fil et de l’écartement des poteaux) : ³x´ y = a ch a 1. Compléments sur les Fonctions • Une fonction f : D f → R, c’est la donnée pour chaque élément x ∈ D f d’un unique élément de R noté f ( x). Exemple 1 – Si f est la fonction racine carrée, alors D f = R+ . – Si g est la fonction logarithme népérien, alors D g = R+∗ . – Si h est la fonction cosinus, alors D h = R. Sur l’illustration ci-dessous, l’ensemble de départ (ou source) et celui d’arrivée (ou but) sont schématisés par un ovale ses éléments par des points. L’association x 7→ f ( x) est représentée par une flèche. f x f ( x) R Df 1 2 Une autre représentation, plus communément utilisée, est celle vue au lycée. L’ensemble de départ R est représenté par l’axe des abscisses et celui d’arrivée par l’axe des ordonnées. Pour un x fixé, l’association x 7→ f ( x) est représentée par le point ( x, f ( x)). Le processus ainsi répété pour chaque x de l’ensemble de définition de f construit la courbe représentative C f de f . y f ( x) x x • Égalité. Deux fonctions f , g sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de définition E et si pour tout x ∈ E , f ( x) = g( x). On note alors f = g. • Le graphe 1 de f : D f → R est n¡ o ¢ C f = x, f ( x) ∈ R2 | x ∈ D f y Cf x • Soient f : E → F et g : F → G avec E, F,G des sous-ensemble de R, alors la composée de f par g que l’on note ¡ ¢ g ◦ f : E → G est la fonction définie par g ◦ f ( x) = g f ( x) . g f E −−−−→ F −−−−→ G g◦ f • Enfin, rappelons un théorème donnant la dérivée d’une fonction composée : Si g est une fonction dérivable sur un intervalle J et si u est une fonction dérivable sur un intervalle I tel que, pour tout x de I , u( x) appartient à J . Alors dans ces conditions la fonction f = g ◦ u définie par f ( x) = g[ u( x)] est dérivable sur I et : f 0 = u0 × g0 ◦ u autrement dit : ∀ x ∈ I, f 0 ( x) = u0 ( x) × g0 [ u( x)] Exercice 1 La fonction f définie sur R par f ( x) = p x2 + 3 est une fonction composée de la forme g ◦ u. 1. Identifiez g et u. 2. En utilisant la formule f 0 ( x) = u0 ( x) × g0 [ u( x)], calculez f 0 . 3. En utilisant le même raisonnement que précédemment, calculez les dérivées de f 1 ( x) = exp( x3 + 1) et de f 2 ( x) = cos( x2 + x). 1.1. Antécédents Dans ce qui suit, f est toujours une fonction définie sur D f à valeurs réelles. ( f : D f → R). Soit y ∈ R. Tout élément x ∈ D f tel que f ( x) = y est un antécédent de y. Un réel y peut ainsi avoir 0, 1, ou plusieurs antécédents. Cet ensemble soit vide ou contenant un ou plusieurs éléments est noté f −1 ({ y}). Sur les dessins suivants, l’élément y admet 3 antécédents par f . Ce sont x1 , x2 , x3 . 1. ou courbe représentative 3 f y E F x3 x1 x2 y y x x1 x2 x3 Exercice 2 1. f et g sont deux fonctions définies sur un ensemble E , rappelez la définition de f = g puis donnez la négation de f = g ? 2. Représentez le graphe de f : N → R définie par n 7→ 4 n+1 . 3. Soient f , g, h : R → R définies par f ( x) = x2 , g( x) = 2 x + 1, h( x) = x3 − 1. (a) Calculez f ◦ g puis g ◦ f . A-t-on f ◦ g = g ◦ f ? (b) Calculez f ◦ ( g ◦ h) puis ( f ◦ g) ◦ h. A-t-on f ◦ ( g ◦ h) = ( f ◦ g) ◦ h ? (c) Complétez la phrase suivante : «La composition est une opération qui n’est pas mais qui est .» 4. Pour la fonction f : R → R définie par x 7→ x2 représentez et calculez les ensembles a suivants : f ([0, 1[), f (R), f (] − 1, 2[), f −1 ({9}), f −1 ({0}), f −1 ({5}), f −1 ({−4}), f −1 ([1, 2[), f −1 ([−1, 1]). a. L’image d’un ensemble A par une fonction f : R → R, est l’ensemble des réels qui ont au moins un antécédent par f dans A . On note f ( A ) cet ensemble. Et on a f ( A ) = { y ∈ R, ∃ x ∈ A, f ( x) = y} 1.2. Injection, surjection Soit E, F deux ensembles et f : E → F une fonction. Définition 1 f est injective si pour tout x, x0 ∈ E avec f ( x) = f ( x0 ) alors x = x0 . Autrement dit : ∀ x, x0 ∈ E ¡ f ( x) = f ( x0 ) =⇒ x = x0 ¢ Définition 2 f est surjective si pour tout y ∈ F , il existe x ∈ E tel que y = f ( x). Autrement dit : ∀y ∈ F ∃x ∈ E ¡ y = f ( x) ¢ Une autre formulation : f est surjective si et seulement si f (E ) = F . Les fonctions f représentées sont injectives : y f ) E F F x E Les fonctions f représentées sont surjectives : 4 f y E F F x E Remarque Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Une autre façon de formuler l’injectivité et la surjectivité est d’utiliser les antécédents. • f est injective si et seulement si tout élément y de F a au plus 1 antécédent (et éventuellement aucun). • f est surjective si et seulement si tout élément y de F a au moins 1 antécédent. Ou les équations • f est injective si et seulement si pour tout élément y de F , l’équation f ( x) = y a au plus 1 solution (et éventuellement aucune). • f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F , l’équation f ( x) = y a au moins 1 solution. Remarque Voici deux fonctions non injectives : f y E F x x0 y y x x x0 Ainsi que deux fonctions non surjectives : y f F y E ) F x E Exemple 2 1. Soit f 1 :] − 1; +∞[→ R+∗ définie par f 1 ( x) = 1+1 x . Montrons que f 1 est injective : soit x, x0 ∈] − 1; +∞[ tels que f 1 ( x) = f 1 ( x0 ). Alors 1+1 x = 1+1x0 , donc 1 + x = 1 + x0 et donc x = x0 . Ainsi f 1 est injective. Par contre f 1 n’est pas surjective. Il s’agit de trouver un élément y qui n’a pas d’antécédent par f 1 . Ici il est facile de voir que l’on a toujours f 1 ( x) É 1 et donc par exemple y = 2 n’a pas d’antécédent. Ainsi f 1 n’est pas surjective. 2. Soit f 2 : R → R définie par f 2 ( x) = x2 . Alors f 2 n’est pas injective. En effet on peut trouver deux éléments x, x0 ∈ R différents tels que f 2 ( x) = f 2 ( x0 ). Il suffit de prendre par exemple x = 2, x0 = −2. f 2 n’est pas non plus surjective, car −1 n’a aucun antécédent. 3. Soit f 3 : R → R+ définie par f 3 ( x) = x2 est en revanche surjective mais non injective. 4. Soit f 4 : R+ → R+ est elle surjective et injective. On dira juste après qu’elle est bijective. 5 1.3. Bijection Définition 3 f est bijective si elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E tel que y = f ( x). Autrement dit : ∀y ∈ F ∃! x ∈ E ¡ ¢ y = f ( x) L’existence du x vient de la surjectivité et l’unicité de l’injectivité. Autrement dit, tout élément de F a un unique antécédent par f . Remarque 1 Ainsi pour démontrer qu’une fonction est bijective, on peut démontrer que pour tout y ∈ F , l’équation y = f ( x) a une solution unique dans E : y est donnée et x est l’inconnue. y f E F F x E Proposition 1 Soit E, F des ensembles et f : E → F une fonction. 1. La fonction f est bijective si et seulement si il existe une fonction g : F → E telle que pour tout x ∈ F , ( f ◦ g)( x) = x et pour tout x ∈ E , ( g ◦ f )( x) = x. 2. Si f est bijective alors la fonction g est unique et elle aussi est bijective. La fonction g s’appelle la ¡ ¢−1 bijection réciproque de f et est notée f −1 . De plus f −1 = f. Remarque • La fonction réciproque est celle qui donne la solution x = f −1 ( y) à l’équation y = f ( x), où y est donnée et x l’inconnue. • Par exemple f : R+ → R+ définie par f ( x) = x2 est bijective, sa bijection réciproque est g : R+ → R+ définie p p p par g( y) = y. Nous avons bien ∀ x Ê 0, ( x)2 = x et ∀ x Ê 0, x2 = x. • Par exemple f : R →]0, +∞[ définie par f ( x) = exp( x) est bijective, sa bijection réciproque est g :]0, +∞[→ ¡ ¡ ¢ ¢ R définie par g( y) = ln( y). Nous avons bien exp ln( y) = y, pour tout y ∈]0, +∞[ et ln exp( x) = x, pour tout x ∈ R. • On peut aussi démontrer que dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f −1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice (droite d’équation y = x). f = exp y y=x f −1 = ln x 6 Démonstration 1. • Sens ⇒. Supposons f bijective. Nous allons construire une fonction g : F → E. Comme f est surjective alors ¡ ¢ pour chaque y ∈ F, il existe un x ∈ E tel que y = f (x) et on pose g(y) = x. On a f g(y) = f (x) = y, ceci pour tout y ∈ F et donc f ◦ g = idF . On compose à droite avec f donc f ◦ g ◦ f = idF ◦ f . Alors pour tout x ∈ E on a ¡ ¢ f g ◦ f (x) = f (x) or f est injective et donc g ◦ f (x) = x. Ainsi g ◦ f = idE . Bilan : f ◦ g = idF et g ◦ f = idE . • Sens ⇐. Supposons que g existe et montrons que f est bijective. ¢ ¡ – f est surjective : en effet soit y ∈ F alors on note x = g(y) ∈ E ; on a bien : f (x) = f g(y) = f ◦ g(y) = idF (y) = y, donc f est bien surjective. – f est injective : soient x, x0 ∈ E tels que f (x) = f (x0 ). On compose par g (à gauche) alors g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 ) donc idE (x) = idE (x0 ) donc x = x0 ; f est bien injective. 2. • Si f est bijective alors g est aussi bijective car g ◦ f = idE et f ◦ g = idF et on applique ce que l’on vient de démontrer avec g à la place de f . Ainsi g−1 = f . • Si f est bijective, g est unique : en effet soit h : F → E une autre application telle que h ◦ f = idE et f ◦ h = idF ¡ ¢ ¡ ¢ ; en particulier f ◦ h = idF = f ◦ g, donc pour tout y ∈ F, f h(y) = f g(y) or f est injective alors h(y) = g(y), ceci pour tout y ∈ F ; d’où h = g. Exercice 3 1. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? • f 1 : N → N, x 7→ x2 . • f 2 : Z → Z, x 7→ x − 7. • f 3 : R → [0, +∞[, x 7→ | x|. 2. Montrer que la fonction f 4 : ]1, +∞[→]0, +∞[ définie par f 4 ( x) = réciproque. 1 x−1 est bijective. Calculer sa bijection 2. Continuité 2.1. Continuité en un point Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle de R. Définition 4 Soit f : I → R une fonction et x0 un point de I . • On dit que f est continue en x0 si pour toute suite ( u n ) qui converge vers x0 , la suite ( f ( u n )) converge vers f ( x0 ). • On dit que f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout x0 ∈ I . Voici des fonctions qui ne sont pas continues en x0 : y y x0 x y x0 x x0 Voici une fonction continue en x0 : y f ( x0 ) x0 x x 7 Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle, si on peut tracer son graphe «sans lever le crayon», c’est-à-dire si elle n’a pas de saut. Remarque 2 Vous verrez au second semestre (de façon rigoureuse) une définition équivalente de la continuité. Sans rentrer dans les détails, la voici : On dit que f est continue en x0 si lim f ( x) = f ( x0 ). x → x0 ¡ ¢ Elle s’exprime ainsi : ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀ x ∈ D f , | x − x0 | < δ ⇒ | f ( x) − f ( x0 )| < ε Exemple 3 Les fonctions suivantes sont continues : • une fonction constante sur un intervalle, p • la fonction racine carrée x 7→ x sur [0, +∞[, • les fonctions sin et cos sur R, • la fonction valeur absolue x 7→ | x| sur R, • la fonction exp sur R, • la fonction ln sur ]0, +∞[. Par contre, la fonction partie entière a E n’est pas continue aux points a ∈ Z. Démontrons ce point : Soit a ∈ Z, l’idée de ce qui suit est donc de trouver au moins une suite ( xn ) convergent vers a ∈ Z dont les images (E ( xn )) ne convergent pas vers E (a) = a. 1 1 Pour cela on va utiliser le fait que pour n Ê 1, a − 1 É a − < a. Ainsi on définit la suite ( xn )nÊ1 par xn = a − . n n ¶ µ ¶ µ 1 1 = E (a) − 1 = a − 1 car ∀ n Ê 1, E a − = E (a) − 1. Cette suite a pour limite a mais lim E a + n→+∞ n n Ainsi E ( xn ) n’a pas pour limite E (a) = a. a. Si vous ne connaissez pas cette fonction, je vous invite à consulter http://www.geogebratube.org/student/m215353 Des propriétés sur les limites de suites, on déduit : Proposition 2 Soient f , g : I → R deux fonctions continues en un point x0 ∈ I . Alors • λ · f est continue en x0 (pour tout λ ∈ R), • f + g est continue en x0 , • f × g est continue en x0 , • si f ( x0 ) 6= 0, alors 1f est continue en x0 . Exemple 4 La proposition précédente permet de vérifier que d’autres fonctions usuelles sont continues : • les fonctions puissance x 7→ x n sur R (comme produit x × x × · · · ), • les polynômes sur R (somme et produit de fonctions puissance et de fonctions constantes), P ( x) • les fractions rationnelles x 7→ Q ( x) sur tout intervalle où le polynôme Q ( x) ne s’annule pas. La composition conserve la continuité (mais il faut faire attention en quels points les hypothèses s’appliquent). Proposition 3 Soient f : I → R et g : J → R deux fonctions telles que f ( I ) ⊂ J . Si f est continue en un point x0 ∈ I et si g est continue en f ( x0 ), alors g ◦ f est continue en x0 . 8 2.2. Continuité sur un intervalle Théorème 1. Théorème des valeurs intermédiaires Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle. Pour tout réel y compris entre f (a) et f ( b), il existe c ∈ [a, b] tel que f ( c) = y. y f ( b) y f ( b) y y f ( a) a c1 c2 c3 b x f ( a) a b x Démonstration Montrons le théorème dans le cas où f (a) < f (b). On considère alors un réel y tel que f (a) É y É f (b) et on veut montrer qu’il a au moins un antécédent par f . a+b On pose alors a 0 = a, b 0 = b et m 0 = . 2 On définit ensuite par récurrence les suites (a n ), (b n ) et (m n ) de la façon suivante : a n+1 + b n+1 • si f (m n ) < y alors a n+1 = m n , b n+1 = b n et m n+1 = . 2 • si f (m n ) = y alors a n+1 = b n+1 = m n+1 = m n a n+1 + b n+1 . • si f (m n ) > y alors a n+1 = a n , b n+1 = m n et m n+1 = 2 Illustration : Utilisez la figure ci-dessous pour comprendre la construction des suites (a n ) et (b n ). Placez les 5 premiers termes. y f ( b) y f ( a) a b x On a ainsi construit deux suites (a n ) et (b n ) telles que : • (a n ) est croissante et f (a n ) É y • (b n ) est décroissante et f (b n ) Ê y b−a • 0 É bn − an É n 2 Autrement dit, les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes. Elles sont donc convergentes. Soit c leur limite. De plus, f est continue en c ∈ I donc lim f (a n ) = f (c) et lim f (b n ) = f (c). n→+∞ n→+∞ Or f (a n ) É y ⇒ f (c) É y et f (b n ) Ê y ⇒ f (c) Ê y. Conclusion : f (c) = y, autrement dit, y a au moins un antécédent par f . 9 Applications du théorème des valeurs intermédiaires Voici la version la plus utilisée du théorème des valeurs intermédiaires. Corollaire 1 Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un segment. Si f (a) · f ( b) < 0, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ( c) = 0. y f ( b) > 0 a c b x f ( a) < 0 Démonstration Il s’agit d’une application directe du théorème des valeurs intermédiaires avec y = 0. L’hypothèse f (a) · f (b) < 0 signifiant que f (a) et f (b) sont de signes contraires. Exemple 5 Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. y x 7→ P ( x) x En effet, un tel polynôme s’écrit P ( x) = a n x n + · · · + a 1 x + a 0 avec n un entier impair. On peut supposer que le coefficient a n est strictement positif. Alors on a lim P = −∞ et lim P = +∞. En particulier, il existe deux x→−∞ x→+∞ réels a et b tels que f (a) < 0 et f ( b) > 0 et on conclut grâce au corollaire précédent. 10 Corollaire 2 Soit f : I → R une fonction continue sur un intervalle I . Alors f ( I ) est un intervalle. Attention ! Il serait faux de croire que l’image par une fonction f de l’intervalle [a, b] soit l’intervalle [ f (a), f ( b)]. y f ( b) f ([a, b]) f ( a) a x b Démonstration Avant de démontrer ce corollaire, rappelons qu’un ensemble E est un intervalle si et seulement si ∀a, b ∈ E, a É c É b ⇒ c ∈ E Soient y1 , y2 ∈ f (I), y1 É y2 . Montrons que si y ∈ [y1 , y2 ], alors y ∈ f (I). Par hypothèse, il existe x1 , x2 ∈ I tels que y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ) et donc y est compris entre f (x1 ) et f (x2 ). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme f est continue, il existe donc x ∈ I tel que y = f (x), et ainsi y ∈ f (I). 3. Fonctions monotones et bijections A partir de la fonction carré, on a défini sa fonction réciproque : la fonction racine. A partir de la fonction exponentielle, on a défini sa fonction réciproque, la fonction logarithme. Voici un résultat important qui va nous permettre de définir de nouvelles fonctions réciproques. Théorème 2. Théorème de la bijection - admis Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I de R. Si f est continue et strictement monotone sur I , alors 1. f établit une bijection de l’intervalle I dans l’intervalle image J = f ( I ), 2. la fonction réciproque f −1 : J → I est continue et strictement monotone sur J et elle a le même sens de variation que f . Si de plus f est dérivable en x ∈ I avec f 0 ( x) 6= 0 alors sa fonction réciproque g est dérivable en y = f 0 ( x) et on a : 1 g0 ( y) = 0 f ( g( y)) y y=x f −1 f J = f (I ) I x 11 En pratique, si on veut appliquer ce théorème à une fonction continue f : I → R, on découpe l’intervalle I en sous-intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone. Exemple 6 Considérons la fonction carrée définie sur R par f ( x) = x2 . La fonction f n’est pas strictement monotone sur R, d’ailleurs, on voit bien qu’elle n’est pas injective. Cependant, en restreignant son ensemble de définition à ] − ∞, 0] d’une part et à [0, +∞[ d’autre part, on définit deux fonctions strictement monotones (les ensembles de départ sont différents) : ( ( ] − ∞, 0] −→ [0, +∞[ [0, +∞[−→ [0, +∞[ f1 : et f2 : x 7−→ x2 x 7−→ x2 On remarque que f (] − ∞, 0]) = f ([0, +∞[) = [0, +∞[. D’après le théorème précédent, les fonctions f 1 et f 2 sont des bijections. Déterminons leurs fonctions réciproques f 1−1 : [0, +∞[→] − ∞, 0] et f 2−1 : [0, +∞[→ [0, +∞[. Soient deux réels x et y tels que y Ê 0. Alors y = f ( x) ⇔ y = x2 p ⇔x= y p x = − y, ou p c’est-à-dire y admet deux antécédents, l’un dans [0, +∞[ et l’autre dans ] − ∞, 0]. Et donc f 1−1 ( y) = − y et p f 2−1 ( y) = y. On retrouve bien que chacune des deux fonctions f 1 et f 2 a le même sens de variation que sa réciproque. y y=x f1 f2 y f 2−1 p − y p x y f 1−1 On remarque que la courbe totale en pointillée (à la fois la partie bleue et la verte), qui est l’image du graphe de f par la symétrie par rapport à la première bissectrice, ne peut pas être le graphe d’une fonction : c’est une autre manière de voir que f n’est pas bijective. Généralisons l’exemple précédent. Exemple 7 Soit n Ê 1. Soit f : [0, +∞[→ [0, +∞[ définie par f ( x) = x n . Alors f est continue et strictement croissante. 1 Comme lim x→+∞ f = +∞ alors f est une bijection. Sa bijection réciproque f −1 est notée : x 7→ x n (ou aussi p x 7→ n x) : c’est la fonction racine n-ième. Elle est continue et strictement croissante. Exercice 4 1. Montrer que chacune des hypothèses « continue » et « strictement monotone » est nécessaire dans l’énoncé du théorème. 2. Soit f : R → R définie par f ( x) = x3 + x. Montrer que f est bijective, tracer le graphe de f et de f −1 . 3. Soit n Ê 1. Montrer que f ( x) = 1 + x + x2 + · · · + x n définit une bijection de l’intervalle [0, 1] vers un intervalle à préciser. 12 4. Existe-t-il une fonction continue : f : [0, 1[→]0, 1[ qui soit bijective ? f : [0, 1[→]0, 1[ qui soit injective ? f : [0, 1[→]0, 1[ qui soit surjective ? 4. Vers de Nouvelles Fonctions 4.1. Fonctions puissance et racine Si x est un nombre réel (ou complexe), alors on pose déf x1 = x, et déf x n+1 = x n · x Par exemple : x3 = x · x · x. Si x 6= 0, alors on pose aussi déf 1 xn déf x− n = x0 = 1, pour tout x ∈ N∗ . pour tout x ∈ N∗ . Par exemple : x−1 = 1x . Pour tout n ∈ Z strictement positif, la fonction f ( x) = x n , x ∈ [0, +∞[, est strictement croissante sur [0, +∞[ et satisfait : f (0) = 0, lim f ( x) = +∞. x→+∞ Donc f |[0,+∞[ est une bijection croissante de [0, +∞[ sur [0, +∞[. Pour tout n ∈ Z strictement négatif, la fonction f ( x) = x n , x ∈ R∗ , est strictement décroissante sur ]0, +∞[ et satisfait : lim f ( x) = +∞, lim f ( x) = 0. x→+∞ x→0+ Donc f |]0,+∞[ est une bijection décroissante de ]0, +∞[ sur ]0, +∞[. Dans les deux cas, nous avons comme définition Définition Pour n ∈ Z, la fonction ]0, +∞[→]0, +∞[ réciproque de la fonction x 7→ x n est notée x 7→ x1/n . Elle s’étend à [0, +∞[ lorsque n > 0 en posant 01/n = 0. 6. y=x h( x) = x2 5. 4. k( x) = x10 3. 1 g ( x) = x 2 = p x 2. 1 1. −1. O f ( x) = x 10 A 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. −1. On note souvent x1/n = p n x. On a ainsi, pour x et y dans ]0, +∞[, x1/n = y ⇐⇒ yn = x. On a 7. 8. 9. 13 Proposition 4 Pour tout couple d’entiers relatifs ( p, q) avec q 6= 0, et pour tout réel x > 0 ( x p )1/ q = ( x1/ q ) p . Cette fonction ne dépend que du rapport p/ q et est notée x p/ q . Démonstration Rappelons que pour tous les nombres réels y et tous les entiers relatifs p et q, on a (y p ) q = (y q ) p = y pq . Considérons alors a = (x p )1/ q et b = (x1/ q ) p . Pour démontrer que a = b, il suffit de voir que a q = b q . Mais, en utilisant la définition de la fonction réciproque, nous avons (x q )1/ q = (x1/ q ) q = x, d’où ¡ ¢q ¡ ¢p a q = (x1/ q ) p = (x1/ q ) q = x p , tandis que ¡ ¢q b q = (x p )1/ q = x p . p Maintenant, pour voir que le rapport ne dépend que de q , il suffit de voir que, pour tout entier a, (xap )1/aq = (x p )1/ q , exercice que nous laissons au lecteur. Définition 1 Pour tout rationnel r ∈ Q, la fonction x 7→ x r est définie sur ]0, +∞[ comme ( x p ) q , pour n’importe quelle p représentation r = q du rationnel r . Elle se prolonge à [0, +∞[ lorsque r > 0 en posant 0r = 0. Quelques propriétés élémentaires qui découlent de ces définitions Proposition 5 1. Pour tout x ∈ R, et pour tout r ∈ Q, exp( x)r = exp( rx). 2. Pour x > 0, on a x r = exp( r ln x). 0 0 3. x r x r = x r+r . 0 0 0 4. ( x r )r = ( x r )r = x rr . 5. Si r > 0, x r Ê 1 ⇐⇒ x Ê 1. 6. si r < 0, x r Ê 1 ⇐⇒ x É 1. 7. Si r > 0, lim x r = +∞ et lim x r = 0. x→+∞ x →0 8. Si r < 0, lim x r = 0 et lim x r = +∞. x→+∞ x →0 r 9. x 7→ x est dérivable sur ]0, +∞[ et sa dérivée est x 7→ rx r−1 . Démonstration • Commençons par le premier point. Nous avons déjà vu que pour tout n ∈ Z, exp(x)n = exp(nx). Montrons par ailleurs que, pour tout p ∈ N, p > 0, exp(x)1/ p = exp( px ). Il suffit pour cela d’élever les deux membres à la puissance p pour obtenir exp(x) = exp( px ) p = exp(x), d’après la formule précédente. • Il suffit de choisir x = exp(y) (c’est à dire y = ln(x)) pour se ramener aussi au premier point. • Les autres s’ensuivent : 0 0 x r x r = exp(r ln(x)) exp(r 0 ln(x)) = exp((r + r 0 ) ln(x)) = x r+r . • De même, 0 0 0 (x r )r = exp(r ln(x))r = exp(r 0 r ln(x)) = x rr . 14 • Aussi, si r > 0 et x Ê 1, r ln(x) Ê 0 et exp(r ln(x)) Ê 1. De même, si r > 0 et 0 < x É 1, r ln(x) É 0 et x r = exp(r ln(x)) É 1. Le cas où r < 0 se traite de même. • Concernant les points 7 et 8, si r > 0, r ln(x) tend vers +∞ si x → +∞, et donc par composition des limites, x r = exp(r ln(x)) tend aussi vers +∞. Le convergence vers 0 se traite de même, ainsi que le cas où r < 0. r r • Enfin pour r 6= 0, x r = exp(r ln(x)) qui est de la forme exp(u) donc (x r )0 = exp(r ln(x)) = x r = rx r−1 . On x x remarque que si r = 0, le résultat final reste vrai. La propriété x r = exp( r ln( x)) nous permet maintenant de définir la fonction xa sur ]0, +∞[ pour tout a réel. Définition Pour tout a réel, la fonction xa est définie pour a > 0 par xa = exp(a ln( x)). Lorsque a Ê 0, on peut aussi la définir en x = 0 par 0a = 0. Elle n’est pas définie en x = 0 pour a < 0. Toutes les propriétés énoncées dans la Proposition 5 restent vraies lorsque r et r 0 sont deux réels quelconques. (voir la remarque suivante) Remarque La définition de xa pour a réel est telle que cette définition est un “prolongement par continuité”. Pour x fixé, la fonction a 7→ xa est ainsi continue. En particulier, lorsqu’une suite r n de rationnels converge vers un nombre réel a, rationnel ou non, et si x > 0, alors x r n converge vers xa . Remarque Le lecteur aura remarqué que la fonction x r n’est définie que pour x > 0. Cependant, lorsque n est un entier positif impair, alors la fonction x 7→ x n est une fonction croissante qui est une bijection de R dans R, et nous pourrions ainsi définir x1/n , pour x < 0 et n impair. Mais cette définition peut être source de confusion, en particulier par exemple si nous voulons écrire x5/3 = ( x1/3 )5 = ( x5 )1/3 = x10/6 . Dans la première formule, nous utilisons des entiers impairs, et dans la seconde des entiers pairs, pour lesquels la fonction x1/n n’est définie que pour x > 0. Pour éviter les confusions, nous nous limiterons donc aux puissances rationnelles de nombres positifs. 5. Fonctions circulaires inverses 5.1. Arccosinus Considérons la fonction cosinus cos : R → [−1, 1], x 7→ cos x. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l’intervalle [0, π]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction cos|[0,π] : [0, π] → [−1, 1] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus : arccos : [−1, 1] → [0, π] y π arccos x y +1 π 2 x −π −π 2 0 π 2 π x −1 cos x −1 0 1 15 On a donc, par définition de la bijection réciproque : ¡ ¢ cos arccos( x) = x ¡ ¢ arccos cos( x) = x ∀ x ∈ [−1, 1] ∀ x ∈ [0, π] Autrement dit : x ∈ [0, π] Si cos( x) = y ⇐⇒ x = arccos y Terminons avec la dérivée de arccos : −1 arccos0 ( x) = p 1 − x2 ∀ x ∈] − 1, 1[ Démonstration On démarre de l’égalité cos(arccos x) = x que l’on dérive : cos(arccos x) = x =⇒ − arccos0 (x) × sin(arccos x) = 1 −1 sin(arccos x) −1 =⇒ arccos0 (x) = p 1 − cos2 (arccos x) −1 =⇒ arccos0 (x) = p 1 − x2 =⇒ arccos0 (x) = (∗) Le point crucial (∗) se justifie ainsi : on démarre de l’égalité cos2 y + sin2 y = 1, en substituant p y = arccos x on obtient cos2 (arccos x) + sin2 (arccos x) = 1 donc x2 + sin2 (arccos x) = 1. On en déduit : sin(arccos x) = + 1 − x2 (avec le signe + car arccos x ∈ [0, π]). 5.2. Arcsinus La restriction π π sin| : [− , + ] → [−1, 1] 2 2 est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arcsinus : π π arcsin : [−1, 1] → [− , + ] 2 2 y π 2 arcsin x y +1 x sin x −1 0 x −π −π 2 0 π π 2 −π 2 −1 ¡ ¢ sin arcsin( x) = x ¡ ¢ arcsin sin( x) = x Si x ∈ [− π2 , + π2 ] ∀ x ∈ [−1, 1] ∀ x ∈ [− π2 , + π2 ] sin( x) = y ⇐⇒ x = arcsin y 1 16 1 arcsin0 ( x) = p 1 − x2 ∀ x ∈] − 1, 1[ 5.3. Arctangente La restriction π , + [→ R 2 2 est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arctangente : tan| :] − π arctan : R →] − y π π ,+ [ 2 2 tan x −π π −π 2 π 2 x 3π 2 π 2 y arctan x 0 −π 2 ¡ ¢ tan arctan( x) = x ¡ ¢ arctan tan( x) = x Si x ∈] − π2 , + π2 [ ∀x ∈ R ∀ x ∈] − π2 , + π2 [ tan( x) = y ⇐⇒ x = arctan y arctan0 ( x) = 1 1 + x2 ∀x ∈ R Exercice 5 p p p 1. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0, 1, 12 , 22 , 23 . Idem pour arctan en 0, 1, 3 et p1 . 3 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ 2. Calculer arccos cos 73π . Idem avec arcsin sin 73π et arctan tan 73π (attention aux intervalles !) 3. Calculer cos(arctan x), cos(arcsin x), tan(arcsin x). ³ ´ 4. Calculer la dérivée de f ( x) = arctan p x 2 . En déduire que f ( x) = arcsin x, pour tout x ∈] − 1, 1[. 1− x 5. Montrer que arccos x + arcsin x = π2 , pour tout x ∈ [−1, 1]. Exercice 6 On a représenté ci-dessous la fonction x 7→ arccos(cos( x)). x 17 π y = arccos(cos( x)) −π −2π π 0 2π 1. Représentez la fonction x 7→ cos(arccos( x)). 2. Représentez la fonction x 7→ arcsin(sin( x)) et x 7→ sin(arcsin( x)). 3. Représentez la fonction x 7→ arctan(tan( x)) et x 7→ tan(arctan( x)). 6. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 6.1. Cosinus hyperbolique et son inverse Pour x ∈ R, le cosinus hyperbolique est : ch x = e x + e− x 2 La restriction ch| : [0, +∞[→ [1, +∞[ est une bijection. Sa bijection réciproque est Argch : [1, +∞[→ [0, +∞[. y ch x sh x y 1 argsh x argch x 0 1 1 x 0 x 1 6.2. Sinus hyperbolique et son inverse Pour x ∈ R, le sinus hyperbolique est : sh x = e x − e− x 2 sh : R → R est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant lim sh x = −∞ et lim sh x = +∞, c’est donc une bijection. Sa bijection réciproque est Argsh : R → R. x→−∞ x→+∞ 18 Proposition 6 ch2 x − sh2 x = 1. ch0 x = sh x, sh0 x = ch x. Argsh : R → R est strictement croissante et continue. Argsh est dérivable et Argsh0 x = p 12 . x +1 p ¢ ¡ • Argsh x = ln x + x2 + 1 . • • • • Démonstration £ ¤ £ ¤ • ch2 x − sh2 x = 14 (e x + e− x )2 − (e x − e− x )2 = 41 (e2 x + 2 + e−2 x ) − (e2 x − 2 + e−2 x ) = 1. x −x x −x d d e +e • dx (ch x) = dx = e −2e = sh x. Idem pour la dérivée de sh x. 2 • Car c’est la réciproque de sh. • Comme la fonction x 7→ sh0 x ne s’annule pas sur R alors la fonction Argsh est dérivable sur R. On calcule la dérivée par dérivation de l’égalité sh(Argsh x) = x : Argsh0 x = 1 1 1 =q =p ch(Argsh x) x2 + 1 sh2 (Argsh x) + 1 p ¡ ¢ • Notons f (x) = ln x + x2 + 1 alors 1 + p x2 1 x +1 =p = Argsh0 x f (x) = p 2 x+ x +1 x2 + 1 0 Comme de plus f (0) = ln(1) = 0 et Argsh 0 = 0 (car sh 0 = 0), on en déduit que pour tout x ∈ R, f (x) = Argsh x. 6.3. Tangente hyperbolique et son inverse Par définition la tangente hyperbolique est : th x = sh x ch x La fonction th : R →] − 1, 1[ est une bijection, on note Argth :] − 1, 1[→ R sa bijection réciproque. y argth x y 1 0 −1 −1 th x x 0 1 x 19 6.4. Trigonométrie hyperbolique Propriétés algébriques Dérivées des fonctions hyperboliques Formules explicites à partir du logarithme ch0 x = sh x 2 2 ch x − sh x = 1 sh0 x = ch x ch(a + b) = ch a · ch b + sh a · sh b ch(2a) = ch2 a + sh2 a sh(a + b) = sh a · ch b + sh b · ch a sh(2a) = 2 sh a · ch a th(a + b) = th a + th b 1 + th a · th b 1 th0 x = 1 − th2 x = Argch0 x = p ch x 1 ( x > 1) x2 − 1 Argsh0 x = p Argth0 x = 2 1 1 − x2 1 x2 + 1 p ¢ ¡ Argch x = ln x + x2 − 1 ( x Ê 1) p ¡ ¢ Argsh x = ln x + x2 + 1 ( x ∈ R) ¶ µ 1 1+ x (−1 < x < 1) Argth x = ln 2 1− x (| x| < 1) Exercice 7 On appelle courbe paramétrée une application f définie sur un intervalle I de R prenant ses valeurs dans R2 . Géométriquement, une courbe paramétrée est donc l’ensemble des points M du plan de coordonnées ( x( t), y( t)) avec t ∈ I . 1. Dessinez les courbes paramétrées t 7→ (cos t, sin t) et t 7→ (ch t, sh t). a Pourquoi cos et sin s’appellent des fonctions trigonométriques circulaires alors que ch et sh sont des fonctions trigonométriques hyperboliques ? 2. Prouvez par le calcul la formule ch(a + b) = . . . ix − ix En utilisant que cos x = e +2e retrouvez la formule pour cos(a + b). 3. Résolvez l’équation sh x = 3. 4. Montrez que sh(2 x) 1+ch(2 x) = th x. 5. Calculez les dérivées des fonctions définies par : th(1 + x2 ), ln(ch x), Argch(exp x), Argth(cos x). a. Aide : Afin de comprendre ce qu’il se passe, lancez Géogébra. Créez un curseur t variant entre −10 et 10 avec un incrément de 0.1. Dans la barre de saisie, définissez le point M de coordonnées ( cos( t), sin( t)) à l’aide de la commande M = ( cos( t), sin( t)). A l’aide d’un clic droit sur le point M , activez la trace du point M . Faîtes varier le curseur t. 7. Exercices de Synthèse Exercice 8 a) f désigne une fonction définie sur R à valeurs réelles. Si A est un sous-ensemble de R, "rappelez" ce que désigne f ( A ). b) g désigne la fonction carré, que vaut g([−3; 5]) ? que vaut g(R) ? Exercice 9 On note f ◦ g la fonction résultant le l’enchaînement des fonctions g puis f . Autrement dit, ( f ◦ g)( x) = f ( g( x)). On appelle f ◦ g la composée de g par f . a) Si f est la fonction carré et g la fonction exponentielle, donnez l’expression de f ◦ g et de g ◦ f . A-t’on f ◦ g = g◦ f ? b) Si f est la fonction logarithme népérien et g la fonction cube, donnez l’expression de f ◦ g et de g ◦ f . c) Dans chaque cas, identifiez les fonctions de références f et g telles que : p 1 • ( f ◦ g)( x) = 2 x + 1 pour tout x Ê − 2 20 1 , ∀ x ∈ R∗ x2 • ( f ◦ g)( x) = e5 x−8 , ∀ x ∈ R • ( f ◦ g)( x) = Exercice 10 Soient f : x 7→ p p x2 ( x2 − 1) et g : x 7→ | x| x2 − 1. Ces fonctions sont-elles égales ? Exercice 11 En utilisant le théorème des gendarmes, démontrez que la fonction f ( x) = x cos 1x admet une limite en 0. Que vaut-elle ? Exercice 12 Démontrez que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Exercice 13 Montrez que tout polynôme de degré pair et positif sur R est somme de carrés de polynômes. (Indication : traiter d’abord le cas de degré 2, puis raisonner par récurrence en faisant apparaître les racines complexes conjuguées du polynôme). Exercice 14 Calculez les dérivées des fonctions x 7→ exp(tan2 ( x2 )), x 7→ ln(cos2 ( x)), x 7→ sin(exp(arctan( x)). Exercice 15 1. Calculez les dérivées premières et secondes de e−1/ x . 2. Montrez que pour tout n Ê 1, la dérivée n-ième de cette fonction s’écrit sous la forme H n ( x) = P n ( x) −1/ x e . x2 n 3. Montrez que pour tout n Ê 1, la limite lim x→0,x>0 H n ( x) = 0. 4. Que vaut la limite lim x→0,x<0 H1 ( x) ? Exercice 16 1. Montrez que pour tout x ∈] − 1, ∞[, ln(1 + x) É x. (Indication : on traitera séparément les cas x > 0 et −1 < x < 0, et on comparera les dérivées). 2. En déduire que e Ê 2. p 3. En appliquant l’inégalité à 1/ e − 1, montrez aussi que e É 4. Exercice 17 En s’inspirant de la méthode de l’exercice précédent, montrez que pour tout x ∈ [0, ∞[, x− x2 x3 x2 + Ê ln(1 + x) Ê x − . 2 3 2 Exercice 18 1. Montrez que, pour tout x ∈ R, e x Ê 1 + x. 21 2. En déduire que pour x É 1, e x É 1 1− x x (indication : appliquer la première inégalité en changeant de signe). 3. En déduire que pour 0 É x É 1, e É 1 − ln(1 − x). Exercice 19 2 1. Démontrez que pour tout x Ê 0, e x Ê 1 + x + x2 . (Indication : on pourra utiliser le résultat de l’exercice 18). 2. Démontrez par récurrence que, pour tout n Ê 0 et pour tout x Ê 0, ex Ê 1 + x + x2 xn +···+ . 2 n! n 2 3. On appelle u n la fonction e x − (1 + x + x2 + · · · + xn! ). Démontrez par récurrence que, pour 0 É x É 1, (1 − x) u n É x n+1 . ( n + 1)! (On pourra utiliser le résultat de la deuxième question de l’exercice 18.) 4. Déduisez-en la majoration, pour x ∈ [0, 1[ ex É 1 + x + · · · + xn x n+1 + . n! (1 − x)( n + 1)! Exercice 20 n 2 On appelle P n ( x) le polynôme 1 + x + x2 + · · · + xn! . 1. Calculez P n0 . Montrez que P n n’a pas de racines doubles. 2. Démontrez que P2 est toujours positif. 3. Démontrez que pour tout x É 0, e x É P2 ( x). (Indication : utilisez l’inégalité e x Ê P1 ( x) démontrée dans l’exercice 18). 4. Démontrez que pour tout x É 0, P3 ( x) É e x . (Indication : utilisez la question précédente) 5. Démontrez par récurrence que pour tout x É 0, et pour tout n Ê 1, on P2n−1 ( x) É e x É P2n ( x). (Indication : raisonnez par récurrence, en alternant les cas pair et impair). 6. Déduisez-en une approximation à 10−2 près de 1/ e par des nombres rationnels. 7. Démontrez que pour tout n pair, P n ( x) n’a pas de racines réelles. Exercice 21 Soit f ( x) = p | x|. La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Exercice 22 Déterminez a, b de manière que la fonction f définie sur ]0, +∞[ par (p f ( x) = soit dérivable sur son ensemble de définition. x 2 si 0 < x É 1, ax + bx + 1 sinon 22 Exercice 23 Démontrez que si f est dérivable sur R et paire, alors f 0 est impaire. Exercice 24 1. Démontrez que si f , g : R → R sont deux fonctions telles que f 0 = f et g0 = g, alors la fonction x 7→ f ( x) g(− x) est constante. 2. Déduisez-en que s’il existe une fonction f : R → R telle que f 0 = f et f (0) = 1, alors telle f est unique. Exercice 25 On considère la fonction définie par f ( x) = e( x 2 −1) . 1. Quel est le domaine de définition de f ? La fonction f , est-elle dérivable sur son domaine de définition ? 2. Calculez la dérivée de f et étudier ses variations. 3. Donnez un intervalle de R sur lequel la fonction est strictement décroissante. On note I cet intervalle. 4. Démontrez que f est une bijection de I sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque. 5. La fonction g est-elle monotone sur J ? 6. La fonction g est-elle dérivable sur J ? 7. Donnez l’expression de g. 8. Représentez graphiquement ces deux fonctions. Exercice 26 Démontrez que l’équation x = cos x admet une solution dans l’intervalle [0, π/2]. Est-ce que l’équation sin x = x admet une solution dans le même intervalle ? Exercice 27 Démontrez successivement (en calculant les dérivées) les inégalités suivantes pour tout x Ê 0 1. sin x É x. 2 2. cos x Ê 1 − x2 . 3 3. sin x Ê x − x3! . 2 4 4. cos x É 1 − x2! + x4! . 3 5. Donnez une majoration de sin x avec un polynôme de degré 5 qui commence par x − x3! . 2 4 6. Donnez une minoration de cos x par un polynôme de degré 6 qui commence par 1 − x2! + x4! . Exercice 28 1. Exprimez cos(2 x) et sin(2 x) en fonction de tan( x). P P p q 2. Un polynôme à deux variables est une expression P ( X , Y ) de la forme np=0 m q=0 a p,q X Y . Montrez que pour tout polynôme à deux variables, P (cos x, sin x) s’exprime comme une fraction rationnelle de tan( x/2). Exercice 29 1. En comparant les dérivées, démontrez que pour 0 É x É 1, arctan( x) Ê 21 ln(1 + x2 ). 2. Déduisez-en une comparaison entre π et log(2). 23 3. En comparant les dérivées sur [a, 1], montrez aussi que pour tout a ∈]0, 1], on a π 4 − arctan(a) É 1 2 ). log( 2a 1 + a2 Exercice 30 p 1. En comparant les dérivées, montrez que pour tout x ∈]0, 1[, on a arcsin( x) Ê 1 − 1 − x2 . p 2. Montrez de même que π2 − arcsin( x) Ê 1 − x2 . p 3. En appliquant avec x = 1/ 2, donnez ainsi deux minorations de π, et comparez les inégalités obtenues. p 4. Même question avec x = 1/2, x = 3/2. Exercice 31 1. Calculez la dérivée n-ième de cosh x. 2. Calculez la dérivée n-ième de sinh(2 x). Exercice 32 En suivant la méthode de l’exercice 27, donnez des minorations de sinh( x) et cosh( x) par des polynômes de degré 1,2,3,4,5. Comparez avec les encadrements correspondants des fonctions cos x et sin x. Exercice 33 ¡ ¢n 1. Montrez que cosh( nx) + sinh( nx) = cosh( x) + sinh( x) . 2. Exprimez cosh( nx) + sinh( nx) comme un polynôme en cosh( x) et sinh x. ¡ ¢ 3. En utilisant la formule pour x et − x, montrez que cosh( nx) = P n cosh( x) , où P n est un polynôme de degré n. 4. Comparez avec la formule qui exprime cos( nx) comme un polynôme de cos x. Exercice 34 1. Calculez arcsin arctan tan 3. p 3 −1 −1 5π 5π p 2 , arccos 2 , arctan 3 , arcsin sin 6 , arccos cos 6 , sin arcsin 1, arcsin sin 1, tan arctan 3, π 2. Calculez arccos(sin 32π ), arcsin(sin 117π ), arcsin(cos 17 ), et arctan(tan − 175π ). Exercice 35 1. Démontrez que pour tout x ∈ [−1, 1], arcsin x + arccos x = π2 . 2. Démontrez que pour tout x ∈ R∗ , arctan x + arctan 1x = sign( x) π2 . Exercice 36 Soit f ( x) = arctan x 0 −1/ x e si x < 0, si x = 0, si x > 0. Étudiez la continuité et déterminez l’ensemble des réels tel que f soit dérivable en x. 24 Exercice 37 Calculez les dérivées des fonctions suivantes après avoir indiqué sur quels intervalles elles sont dérivables : f ( x) = ecos sin x , g( x) = ln(ln( x)), h( x) = 1 − cosh( x) . 2 + sinh( x) Exercice 38 2 1 On considère la fonction définie par f ( x) = arcsin( xx2 − ). +1 1. Démontrez que f est dérivable sur R∗ et calculer sa dérivée. (On simplifiera au maximum l’expression de f 0 .) 2. Déduisez-en une autre expression de f par une fonction usuelle du cours. Exercice 39 On considère la fonction définie par : ax + b si x ∈] − ∞, − 12 [, 1 + x + arctan x2 si x ∈ [− 12 , +∞[. ( f ( x) = . 1. Trouvez les réels a et b de sorte que f soit continue et dérivable sur R. 2. Calculez la dérivée de f et étudier ses variations. 3. Démontrez que l’équation f ( x) = 0 a une solution unique dans R. 4. Démontrez que f est une bijection de R sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque. 5. Donnez le tableau de variation de g. 6. Calculez g0 ( y0 ) pour g( y0 ) = − 12 . Exercice 40 On considère la fonction définie par f ( x) = e(cos x+sin 2 x) . 1. Démontrez que f est définie et dérivable sur R. 2. Calculez la dérivée de f et étudier son signe sur l’intervalle I = [0, 2π]. 3. Déduisez-en le tableau de variations de f sur l’intervalle I . 1 4. Combien l’équation f ( x) = e( 2 ) a-t-elle de solutions dans l’intervalle I ? Exercice 41 On considère la fonction définie par g( x) = arctan p1x . 1. Démontrez que g est continue sur I =]0, +∞[. 2. Calculez lim x→0+ g( x) et démontrez qu’on peut prolonger g par continuité en 0. 3. Démontrez que g est dérivable sur I et calculez g0 . 4. Démontrez que g est une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle J à déterminer. 5. La fonction g−1 est-elle croissante, décroissante ? 6. En utilisant la relation arctan y + arctan( 1y ) = π2 , pour y > 0, démontrez que g n’est pas dérivable en 0. 25 8. Rappels la dérivée Motivations p Nous souhaitons calculer 1, 01 ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme 1, 01 est proche de 1 et p p que 1 = 1 on se doute bien que 1, 01 sera proche de 1. Peut-on être plus précis ? Si l’on appelle f la fonction p définie par f ( x) = x, alors la fonction f est une fonction continue en 1. La continuité nous affirme que pour x suffisamment proche de 1, f ( x) est proche de f (1). Cela revient à dire que pour x au voisinage de 1 on approche f ( x) par la constante f (1). y y = ( x − 1) 12 + 1 y= x y=1 1 0 p x 1 Nous pouvons faire mieux qu’approcher notre fonction par une droite horizontale ! Essayons avec une droite quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe de f autour de x0 ? Elle doit passer par le point ( x0 , f ( x0 )) et doit «coller» le plus possible au graphe : c’est la tangente au graphe en x0 . Une équation de la tangente est y = ( x − x0 ) f 0 ( x0 ) + f ( x0 ) où f 0 ( x0 ) désigne le nombre dérivé de f en x0 . p 1 On sait que pour f ( x) = x, on a f 0 ( x) = 2p . Une équation de la tangente en x0 = 1 est donc y = ( x − 1) 12 + 1. x p Et donc pour x proche de 1 on a f ( x) ≈ ( x − 1) 12 + 1. Qu’est ce que cela donne pour notre calcul de 1, 01 ? On 0,01 pose x = 1, 01 donc f ( x) ≈ 1 + 21 ( x − 1) = 1 + 2 = 1, 005. Et c’est effectivement une très bonne de approximation p p de 0, 01 = 1, 00498 . . .. En posant h = x − 1 on peut reformuler notre approximation en : 1 + h ≈ 1 + 12 h qui est valable pour h proche de 0. Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu’est la dérivée d’une fonction, et établir les formules des dérivées des fonctions usuelles. Enfin, pour connaître l’erreur des approximations, il nous faudra travailler beaucoup plus afin d’obtenir le théorème des accroissements finis. 8.1. Dérivée Dérivée en un point Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction. Soit x0 ∈ I . Définition 5 f est dérivable en x0 si le taux d’accroissement f ( x)− f ( x0 ) x − x0 a une limite finie lorsque x tend vers x0 . La f ( x ) − f ( x0 ) limite s’appelle alors le nombre dérivé de f en x0 et est noté f 0 ( x0 ). Ainsi f 0 ( x0 ) = lim x → x0 x − x0 De plus, si f est dérivable en tout point x0 ∈ I on dit que f est dérivable sur I et la fonction x 7→ f 0 ( x) est la df fonction dérivée de f ,elle se note f 0 ou d x . Le lien suivant est une illustration de la définition précédente. Vous observerez en particulier que les sécantes ( AB) se rapprochent de la tangente à C f lorsque h tend vers 0 : https://www.geogebratube.org/material/ show/id/129960 26 Exercice 42. ** En utilisant la définition précédente, aidez-vous (si besoin) de l’animation précédente pour calculer le nombre dérivé de g0 (1) avec g( x) = x3 + x. Tangente f ( x)− f ( x ) La droite qui passe par les points distincts ( x0 , f ( x0 )) et ( x, f ( x)) a pour coefficient directeur x− x0 0 . à la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente est f 0 ( x0 ). Une équation de la tangente au point ( x0 , f ( x0 )) est donc : y = ( x − x0 ) f 0 ( x0 ) + f ( x0 ) M0 M x0 x Exercice 43. * y 1. Déterminez les valeurs de f (−2), f (−1), f (0) ainsi que les valeurs de f 0 (−2), f 0 (0), f 0 (2). 2. Donnez l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse 0 puis au point d’abscisse 2. 1 3. Soit g la fonction définie sur R par g( x) = x2 + 3 x + 4. Donnez l’équation de la tangente ∆ à C g au point d’abscisse x = 2. 0 4. Déterminez la position relative de C g et ∆. x 1 Cf Autres écritures de la dérivée Voici deux autres façons de formuler la dérivabilité de f en x0 . Proposition 7 f ( x0 + h ) − f ( x0 ) existe et est finie. h • f est dérivable en x0 si et seulement s’il existe ` ∈ R (qui sera f 0 ( x0 )) et une fonction ε : I → R telle que ε( x) −−−−→ 0 avec • f est dérivable en x0 si et seulement si lim h→0 x → x0 f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 )` + ( x − x0 )ε( x). 27 Démonstration Il s’agit juste de reformuler la définition de f 0 (x0 ). Par exemple, après division par x − x0 , la deuxième écriture devient f (x) − f (x0 ) = ` + ε(x). x − x0 Exercice 44. * Afin de comprendre l’intérêt de la seconde formulation, je vous laisse la réécrire en utilisant comme dans p p l’introduction f ( x) = x, x = . . . et h = . . . ainsi on obtient 1, 01 ≈ . . . Proposition 8. Lien entre Dérivabilité et Continuité Soit I un intervalle ouvert, x0 ∈ I et soit f : I → R une fonction. • Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0 . • Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I . Remarque La réciproque est fausse : par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0 : y y = | x| 1 0 1 x Proposition 9 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I . • f est croissante sur I si et seulement si f 0 ( x) Ê 0. • f est décroissante sur I si et seulement si f 0 ( x) É 0. De plus, • Si f 0 ( x) > 0 ou si f 0 ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs alors f est strictement croissante sur I . • Si f 0 ( x) < 0 ou si f 0 ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs alors f est strictement décroissante sur I . Exercice 45. * Ci-dessous, une fonction f a été représentée avec ses deux premières dérivées. Identifiez C f , C f 0 et C f 00 . 28 y 1 x 0 1 C2 C3 C1 9. Rappels sur les fonctions trigonométriques • à tout nombre réel positif x, on associe l’unique position du point M telle que la distance parcourue par M , lorsqu’il parcourt le cercle trigonométrique dans le sens direct, soit égale à x. • De même à tout nombre réel négatif x, on associe l’unique position du point M telle que la distance parcourue par M , lorsqu’il parcourt le cercle trigonométrique dans le sens indirect, soit égale à − x. • Le cosinus de x est par définition l’abscisse du point M . Ainsi : −1 É cos( x) É 1 pour tout x réel. • Le sinus de x est par définition l’ordonnée du point M . Ainsi : −1 É sin( x) É 1 pour tout x réel. • En appliquant le théorème de Pythagore, il vient immédiatement la relation : cos( x)2 + sin( x)2 = 1. y M ( cos( x), sin( x)) Cercle de Rayon 1 longueur x sin( x) x x O cos( x) Sens Positif Définition 6 • La fonction cosinus, est la fonction définie sur R qui à tout x réel, associe le nombre cos( x) selon le procédé défini ci-dessus. • La fonction sinus, est la fonction définie sur R qui à tout x réel, associe le nombre sin( x) selon le procédé défini ci-dessus. 9.1. Dérivabilité des Fonctions Cosinus et Sinus - Conséquences Proposition 10. Admise Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R, et pour tout x ∈ R on a : cos0 ( x) = − sin( x) sin0 ( x) = cos( x) Remarque 3 • Comme les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R, elles sont aussi . . . • D’après le théorème vu sur la dérivée des fonctions composées, on obtient également : ( cos( u( x)))0 = ( sin( u( x)))0 = 29 Exercice 46 Calculez les dérivées des fonctions suivantes : 2 • f 3 ( x) = sin(3 µ x + x +¶1) 3π • f 4 ( x) = cos x2 + 6 • f 1 ( x) = cos(3 ³ πx + 4) ´ • f 2 ( x) = sin + 2x 2 Exercice 47 1. Dressez le tableau de variations des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [0; 2π]. £ ¤ ¡ ¢ 2. Etudiez la fonction f définie sur 0; π2 par f ( x) = cos 3 x + π4 . Exercice 48 En utilisant la définition du nombre dérivé, calculez lim x →0 sin( x) . (ce résultat est à connaître !) x 9.2. Parité et Périodicité des Fonctions Sinus et Cosinus Définition 7 • Pour tout réel x, cos( x) = cos(− x) et sin(− x) = − sin( x). On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. • Pour tout réel x, cos( x + 2π) = cos( x) et sin( x + 2π) = sin( x). On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. On dit aussi qu’elles sont 2π-périodiques. Exercice 49 On donne ci-dessous la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [0; π]. 1. En utilisant la parité de ces fonctions, complétez la représentation ci-dessous pour la prolonger sur l’intervalle [−π; π]. 2. En utilisant la parité de ces fonctions, complétez la représentation ci-dessous pour la prolonger sur l’intervalle [−2π; 2π]. y 1 sin( x) −2π −3π 2 −π −π 2 π π 2 O −1 cos( x) 9.3. Fonction Tangente x 3π 2 2π 30 Définition 8 Pour tout x 6= π 2 [π], on définit la fonction tangente par tan( x) = sin( x) . cos( x) Exercice 50 i π πh Dressez le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle − ; . On calculera les limites aux 2 2 bornes de l’intervalle. Voici une représentation graphique de la fonction tangente sur laquelle on peut observer les asymptotes verticales π d’équation x = + kπ avec k un entier relatif. 2 y tan( x) O −2π −3π 2 −π −π 2 π π 2 3π 2 x 2π 9.4. Formules de Trigonométrie Proposition 11. Formules d’Addition Pour tous a, b ∈ R on a : • cos(a + b) = cos(a) cos( b) − sin(a) sin( b) • sin(a + b) = sin(a) cos( b) + cos(a) sin( b) • cos(a − b) = cos(a) cos( b) + sin(a) sin( b) • sin(a − b) = sin(a) cos( b) − cos(a) sin( b) Exercice 51 1. Complétez : En utilisant les formules d’additions dans le cas où a = b, on obtient les formules du duplication cos(2a) = sin(2a) = 2. En utilisant le cercle trigonométrique ou les formules d’addition, complétez la figure suivante : y ³ π´ cos α + = 2 ³ π´ sin α + = 2 α+ π 2 α x O cos (α + π) = sin (α + π) = α+π α− π 2 ³ π´ cos α − = 2 ³ π´ sin α − = 2 31 Exercice 52 Donnez les valeurs exactes de ¶ 2π = µ 3 ¶ 2π = • sin µ 3 ¶ 10π • cos = µ 3 ¶ 11π • sin − = 6 µ • tan ³π´ p µ ¶ 5+1 9π • cos = = donc cos 5 4 5 p ¶ µ ³π´ 5+1 7π • cos = = donc sin 5 4 10 p ³π´ ³π´ 5+1 • cos = donc sin = 5 4 5 = µ4 ¶ 3π • tan = µ 4 ¶ 201π • cos = µ 4 ¶ 11π • cos − = 6 • cos ³π´ Exercice 53 Soit f la fonction définie sur R par f ( x) = cos(2 x). 1. f est-elle paire ? impaire ? 2. Quelle est la période de f ? 3. Prolongez autant que possible la représentation graphique ci-dessous : y 1 x −2π −3π 2 −π −π 2 π 2 O π 3π 2 2π −1 cos(2 x) 10. Rappels sur la Convergence de suite 10.1. Comportement global d’une suite Définition 9 • Une suite u = ( u n )nÊ0 est croissante si ∀ n ∈ N, u n É u n+1 . • Une suite u = ( u n )nÊ0 est décroissante si ∀ n ∈ N, u n Ê u n+1 . Exercice 54. * Donnez une suite u croissante, une suite v décroissante et une suite w qui ne soit ni croissante, ni décroissante. • u: • v: • w: Définition 10 • Une suite u = ( u n )nÊ0 est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante M appelée majorant. Ainsi, pour tout entier n Ê 0, u n É M . • Une suite u = ( u n )nÊ0 est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante m appelée minorant. Ainsi, pour tout entier n Ê 0, u n Ê m. • Une suite u = ( u n )nÊ0 est bornée lorsque qu’elle est à la fois majorée par une constante M et minorée 32 par une constante m. Ainsi,pour tout entier n Ê 0, m É u n É M . Exercice 55. * Complétez les phrases suivantes avec les adjectifs : croissante, décroissante, minorée, majorée, bornée. • La suite u définie pour tout n Ê 0 par u n = sin( n) est . . . • La suite v définie pour tout n Ê 0 par vn = n2 est . . . 1 • La suite w définie pour tout n Ê 1 par wn = est . . . n 10.2. Limite d’une Suite Dans tout ce paragraphe, ( u n ) désigne une suite de nombres réels. Le cas d’une limite infinie Définition 11 On dit que la suite ( u n ) tend vers +∞ lorsque tout intervalle de la forme [ A ; +∞[ avec A ∈ R contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. On note : lim u n = +∞ ou u n → +∞ n→+∞ n→+∞ Exercice 56. ** 1. Proposez une définition pour lim u n = −∞ n→+∞ 2. Représentez graphiquement une suite qui a pour limite +∞. 3. Est-ce qu’une suite non majorée tend nécessairement vers +∞ ? Vous pouvez justifier votre réponse en vous appuyant sur un graphique. Le cas d’une limite finie Définition 12 On dit que la suite ( u n ) admet pour limite le réel l lorsque, tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs u n à partir d’un certain rang p. Dans ce cas, on dit aussi que ( u n ) converge. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Je vous invite à consulter l’animation http ://tube.geogebra.org/material/show/id/17527 qui illustre la définition d’une suite convergente. Pour comprendre cette animation, faîtes varier les deux curseurs à tour de rôle. Exercice 57. ** Dites si chaque proposition est vraie au fausse. ä Si l’intervalle ]4, 99; 5, 01[ contient tous les termes de ( u n ) à partir du centième alors ( u n ) converge vers 5. ä Si aucun des mille premiers termes de ( u n ) n’est dans l’intervalle ]1; 3[ alors ( u n ) ne peut pas converger vers 2. ä Si l’intervalle ]4, 99; 5, 01[ contient tous les termes de ( u n ) alors ( u n ) converge vers 5. ä Une suite divergente n’est pas bornée. 33 Exercice 58. * Donnez un exemple de suite divergente n’ayant pour limite ni +∞, ni −∞. Théorème 3 • Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique. • Une suite qui converge est bornée. Démonstration On pourra effectuer un raisonnement par l’absurde. Exercice 59. ** On vient de voir que si u est convergente alors u est bornée. 1. Énoncez la proposition réciproque. 2. Est-ce cette réciproque est une proposition vraie ? 3. Justifiez votre réponse. 10.3. Un Théorème de Convergence Monotone Théorème 4. Un Théorème de convergence monotone-admis • Si ( u n ) est une suite croissante et majorée, alors ( u n ) converge. • Si ( u n ) est une suite décroissante et minorée, alors ( u n ) converge. Exercice 60. * Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Pour démontrez qu’une suite converge, il faut calculer sa limite. 2. Si une suite est convergente alors elle soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée. 3. Le théorème de convergence monotone ne permet pas de calculer la limite d’une suite. Exercice 61. *** Soit u la suite définie par u 0 = 6 et u n+1 = p u n + 2. 1. Vérifiez à l’aide d’un raisonnement par récurrence que ( u n ) est bien définie pour n ∈ N. p 2. Étudiez le sens de variations de la fonction x 7→ x + 2 sur R+ . 3. Toujours à l’aide d’un raisonnement par récurrence, déduisez-en que ( u n ) est décroissante. 4. Démontrez que la suite u est convergente.