Fonctions usuelles - Institut de Mathématiques de Toulouse

Fonctions usuelles
Pré-requis :
– définition du nombre dérivé d’une fonc-
tion (voir 8.1)
–savoir calculer une dérivée
– lien entre le signe de f0 ( x ) et les varia-
tions de f(voir théorème 9)
– savoir calculer des primitives simples
(polynômes, racines, exponentielles. . . )
–trigonométrie (voir 9)
–algorithme de dichotomie
– convergence d’une suite (voir 10), Suite
adjacentes
Objectifs :
–
fonctions injectives, surjectives et bijection (à tra-
vers des exemples simples et fct circulaires, hyper-
boliques)
– «maîtriser» la définition de la continuité d’une fonc-
tion (à l’aide de suites)
– connaître l’idée de la démonstration du théorème
des valeurs intermédiaires et savoir démontrer ses
corollaires
– savoir encadrer une fonction en utilisant sa dérivée
– connaître les fonctions réciproques usuelles qui ser-
viront pour le calcul de primitives.
Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp,ln,cos,sin,tan . Dans ce chapitre il s’agit d’ajouter à notre
catalogue de nouvelles fonctions : ch,sh,th,arccos,arcsin,arctan,Argch,Argsh,Argth.
Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la
physique. Par exemple lorsqu’un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu entre deux mains) alors la
courbe dessinée est une chaînette dont l’équation fait intervenir le cosinus hyperbolique et un paramètre a (qui
dépend de la longueur du fil et de l’écartement des poteaux) :
y=ach³x
a´
1. Compléments sur les Fonctions
•Une fonction f:Df→R, c’est la donnée pour chaque élément x∈Dfd’un unique élément de Rnoté f(x).
Exemple 1
–Si fest la fonction racine carrée, alors Df=R+.
–Si gest la fonction logarithme népérien, alors Dg=R+∗.
–Si hest la fonction cosinus, alors Dh=R.
Sur l’illustration ci-dessous, l’ensemble de départ (ou source) et celui d’arrivée (ou but) sont schématisés par
un ovale ses éléments par des points. L’association x7→ f(x) est représentée par une flèche.
xf(x)
DfR
f
1

2
Une autre représentation, plus communément utilisée, est celle vue au lycée. L’ensemble de départ R est
représenté par l’axe des abscisses et celui d’arrivée par l’axe des ordonnées. Pour un x fixé, l’association
x7→ f ( x ) est représentée par le point ( x,f ( x )). Le processus ainsi répété pour chaque x de l’ensemble de
définition de fconstruit la courbe représentative Cfde f.
x
y
x
f(x)
•Égalité . Deux fonctions f,g sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de définition E et si
pour tout x∈E,f(x)=g(x). On note alors f=g.
•Le graphe 1de f:Df→Rest
Cf=n¡x,f(x)¢∈R2|x∈Dfo
x
y
Cf
• Soient f : E→F et g : F→G avec E,F,G des sous-ensemble de R , alors la composée de f par g que l’on note
g◦f:E→Gest la fonction définie par g◦f(x)=g¡f(x)¢.
E−−−−→F−−−−→G
fg
g◦f
•Enfin, rappelons un théorème donnant la dérivée d’une fonction composée :
Si gest une fonction dérivable sur un intervalle J
et si uest une fonction dérivable sur un intervalle Itel que, pour tout xde I,u(x) appartient à J.
Alors dans ces conditions la fonction f=g◦udéfinie par f(x)=g[u(x)] est dérivable sur Iet :
f0=u0×g0◦uautrement dit : ∀x∈I,f0(x)=u0(x)×g0[u(x)]
Exercice 1
La fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=px2+3 est une fonction composée de la forme g◦u.
1. Identifiez get u.
2. En utilisant la formule f0(x)=u0(x)×g0[u(x)], calculez f0.
3. En utilisant le même raisonnement que précédemment, calculez les dérivées de f1 ( x ) =exp ( x3+ 1) et
de f2(x)=cos(x2+x).
1.1. Antécédents
Dans ce qui suit, f est toujours une fonction définie sur Df à valeurs réelles. ( f : Df→R ). Soit y∈R . Tout élément
x∈Dftel que f(x)=yest un antécédent de y.
Un réel y peut ainsi avoir 0, 1, ou plusieurs antécédents. Cet ensemble soit vide ou contenant un ou plusieurs
éléments est noté f−1({y}).
Sur les dessins suivants, l’élément yadmet 3 antécédents par f. Ce sont x1,x2,x3.
1. ou courbe représentative

3
E F
f
y
x1x2
x3
x
y
x1x2x3
y
Exercice 2
1. f et g sont deux fonctions définies sur un ensemble E , rappelez la définition de f=g puis donnez la
négation de f=g?
2. Représentez le graphe de f:N→Rdéfinie par n7→ 4
n+1.
3. Soient f,g,h:R→Rdéfinies par f(x)=x2,g(x)=2x+1, h(x)=x3−1.
(a) Calculez f◦gpuis g◦f. A-t-on f◦g=g◦f?
(b) Calculez f◦(g◦h) puis (f◦g)◦h. A-t-on f◦(g◦h)=(f◦g)◦h?
(c) Complétez la phrase suivante :
«La composition est une opération qui n’est pas mais qui est .»
4. Pour la fonction f : R→R définie par x7→ x2 représentez et calculez les ensembles
a
suivants : f ([0 , 1[),
f(R), f(]−1,2[), f−1({9}), f−1({0}), f−1({5}), f−1({−4}),f−1([1,2[), f−1([−1,1]).
a . L’image d’un ensemble A par une fonction f : R→R , est l’ ensemble des réels qui ont au moins un antécédent par f dans A . On
note f(A) cet ensemble. Et on a f(A)={y∈R,∃x∈A,f(x)=y}
1.2. Injection, surjection
Soit E,Fdeux ensembles et f:E→Fune fonction.
Définition 1
fest injective si pour tout x,x0∈Eavec f(x)=f(x0) alors x=x0. Autrement dit :
∀x,x0∈E¡f(x)=f(x0)=⇒ x=x0¢
Définition 2
fest surjective si pour tout y∈F, il existe x∈Etel que y=f(x). Autrement dit :
∀y∈F∃x∈E¡y=f(x)¢
Une autre formulation : fest surjective si et seulement si f(E)=F.
Les fonctions freprésentées sont injectives :
E F
f
x
y
E
F
)
Les fonctions freprésentées sont surjectives :

4
E F
f
x
y
E
F
Remarque
Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Une autre façon de formuler l’injectivité et la
surjectivité est d’utiliser les antécédents.
•f est injective si et seulement si tout élément y de F aau plus 1 antécédent (et éventuellement aucun).
•fest surjective si et seulement si tout élément yde Faau moins 1 antécédent.
Ou les équations
•f est injective si et seulement si pour tout élément y de F , l’équation f ( x ) =y aau plus 1 solution (et
éventuellement aucune).
•fest surjective si et seulement si pour tout élément yde F, l’équation f(x)=yaau moins 1 solution.
Remarque
Voici deux fonctions non injectives :
E F
f
y
xx0
x
y
xx0
y
Ainsi que deux fonctions non surjectives :
E F
f
x
y
E
F
)
y
Exemple 2
1. Soit f1 :] − 1; +∞ [ →R+∗ définie par f1 ( x ) =1
1+x
. Montrons que f1 est injective : soit x,x0∈ ] − 1; +∞ [ tels
que f1(x)=f1(x0). Alors 1
1+x=1
1+x0, donc 1+x=1+x0et donc x=x0. Ainsi f1est injective.
Par contre f1 n’est pas surjective. Il s’agit de trouver un élément y qui n’a pas d’antécédent par f1 . Ici
il est facile de voir que l’on a toujours f1 ( x ) É 1 et donc par exemple y= 2 n’a pas d’antécédent. Ainsi f1
n’est pas surjective.
2. Soit f2 : R→R définie par f2 ( x ) =x2 . Alors f2 n’est pas injective. En effet on peut trouver deux éléments
x,x0∈Rdifférents tels que f2(x)=f2(x0). Il suffit de prendre par exemple x=2, x0=−2.
f2n’est pas non plus surjective, car −1 n’a aucun antécédent.
3. Soit f3:R→R+définie par f3(x)=x2est en revanche surjective mais non injective.
4. Soit f4:R+→R+est elle surjective et injective. On dira juste après qu’elle est bijective.

5
1.3. Bijection
Définition 3
f est bijective si elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout y∈F il existe un unique x∈E tel
que y=f(x). Autrement dit :
∀y∈F∃!x∈E¡y=f(x)¢
L’existence du x vient de la surjectivité et l’unicité de l’injectivité. Autrement dit, tout élément de F a un unique
antécédent par f.
Remarque 1
Ainsi pour démontrer qu’une fonction est bijective, on peut démontrer que pour tout y∈F , l’équation y=f ( x )
a une solution unique dans E:yest donnée et xest l’inconnue.
E F
f
x
y
E
F
Proposition 1
Soit E,Fdes ensembles et f:E→Fune fonction.
1. La fonction f est bijective si et seulement si il existe une fonction g : F→E telle que pour tout x∈F ,
(f◦g)(x)=xet pour tout x∈E, (g◦f)(x)=x.
2. Si f est bijective alors la fonction g est unique et elle aussi est bijective. La fonction g s’appelle la
bijection réciproque de fet est notée f−1. De plus ¡f−1¢−1=f.
Remarque
• La fonction réciproque est celle qui donne la solution x=f−1 ( y ) à l’équation y=f ( x ), où y est donnée
et xl’inconnue.
• Par exemple f : R+→R+ définie par f ( x ) =x2 est bijective, sa bijection réciproque est g : R+→R+ définie
par g(y)=py. Nous avons bien ∀xÊ0,(px)2=xet ∀xÊ0,px2=x.
• Par exemple f : R→ ]0 ,+∞ [ définie par f ( x ) =exp ( x ) est bijective, sa bijection réciproque est g :]0 ,+∞ [ →
R définie par g ( y ) =ln ( y ). Nous avons bien exp¡ln ( y )
¢=y
, pour tout y∈ ]0 ,+∞ [ et ln¡exp ( x )
¢=x
, pour
tout x∈R.
• On peut aussi démontrer que dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f−1 sont
symétriques par rapport à la première bissectrice (droite d’équation y=x).
x
y
f=exp
f−1=ln
y=x