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Mpsi - Programme de colles 3
Semaine du 3 au 7 octobre 2016
1 Équations et inéquations
a) Définition en extension ou en compréhension d’un ensemble.
b) Prédicats (propositions dépendant d’une ou plusieurs variables), ensemble de définition (en-
semble des valeurs des variables pour lesquelles le prédicat a un sens : vrai ou faux).
c) Résolution d’un problème P(x), ensemble des solutions : résoudre le problème c’est donner
l’ensemble des solutions en extension. Deux problèmes P(x)et Q(x)sont dits équivalents quand
ils ont les mêmes solutions. En pratique, on transforme un problème en un problème équivalent
par une transformation réversible.
Implication entre deux problèmes, candidats-solutions.
Lors des séances d’exercices de résolution d’équations, plusieurs pièges classiques ont été présentés et
comment s’en sortir, particulièrement le passage au carré.
2 Trigonométrie
a) Congruences dans R.
b) Rappels sur les fonctions sinus, cosinus : définition, périodicité et antipériodicité, symétries
(sin(−x),cos(π−x), etc), dérivée, courbes représentatives. Découverte de la fonction tangente :
définition, ensemble de définition, périodicité, symétries, dérivée, courbe. Rapide évocation de
cotangente.
c) Formules classiques de trigonométrie : cosinus, sinus, tangente d’une somme, d’un angle double,
linéarisation d’un produit de deux cosinus, de deux sinus ou d’un cosinus et un sinus.
d) Première introduction des symboles arcsin, arccos et arctan : a= arcsin xest l’unique réel
compris entre
−π
2et π 2tel que sin a=x, de même pour les autres symboles.
e) Transformation « amplitude-phase » : toute expression acos t+bsin tpeut s’écrire sous la forme
Acos(t−ϕ). Calcul pratique de ϕà l’aide d’arctan, comme le fait souvent le Physicien.
f) Deux relations à connaître : arcsin x+ arccos x=π
2et arctan x+ arctan 1 x=sgn(x)π 2.
Démonstrations à connaître
— preuves des deux relations de la fin du chapitre de trigonométrie
— preuve des relations trigonométriques cos(a+b) = cos acos b−sin asin bet sin(a+b) = . . .
— expression simplifiée de cos(arcsin x)et sin(arccos x)
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