Nombres. • Trigonométrie. • Notations ∑ et ∏ , et formule du binôme

2014/2015
BCP ST 1B
Colles de mathématiques - Semaine 2 - du 29/09
•
Nombres.
Résolution d'équations et d'inéquations dans R.
•
Trigonométrie.
Dans ce chapitre, nous avons raisonné exclusivement sur le cercle trigonométrique.
Les fonctions sinus, cosinus, tangente et arctangente seront vues plus loin.
Dénition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un nombre réel.
Périodicité et symétrie. (Angles associés : −θ, π − θ,
π
− θ)
2
Formules de trigonométrie (ce sont les seules au programme et les seules vues en classe) :
cos(a + b)
cos(a − b)
sin(a + b)
sin(a − b)
cos(2θ)
sin(2θ)
Notation arccos, arcsin et arctan. (Ces dénitions ont été faites en termes de solutions d'équations dans certains
intervalles. L'existence et l'unicité sont admises.)
Résolution d'équations trigonométriques simples : cos(x) = t, sin(x) = t et tan(x) = t.
Transformation de a cos(θ) + b sin(θ) en r cos(θ + ϕ). Résolution d'équations : a cos(θ) + b sin(θ) = t
•
Notations
P
et
Q
Manipulation et calcul de sommes simples. (linéarité, changement d'indice). Sommes télescopiques.
Les sommes à connaître et à savoir démontrer. (n ∈ N et q ∈ C \ {1})
n
X
qk =
k=0
•
n!
,
n
X
1 − q n+1
1−q
k=
k=0
n(n + 1)
2
n
X
k=0
k2 =
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
6
k3 =
k=0
n2 (n + 1)2
4
n
p
et formule du binôme.
Dénition de la factorielle d'un entier naturel. (hors programme dans les classes du secondaire )
Si
p−1
Y n−k
n!
n(n − 1) · · · (n − p + 1)
n
=
=
=
p
k+1
k!(n − k)!
p!
k=0 n+1
n
n
n
n−1
=
+
∀(n, p) ∈ Z2 , p
=n
p+1
p
p+1
p
p−1
(0 6 p 6 n) alors
∀(n, p) ∈ N2 ,
n
=0
p
n
n
=
n−p
p
sinon
:
Formule du binôme.
n
et les n!
Nous n'avons pas encore fait de dénombrement. Il s'agit ici de faire des calculs sur les
k
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Questions de cours ou exercice classique
Deux ou trois questions par élève parmi :
:
n
- Donner des calculs simples avec des n! ou des
.
k
17
(n + 1)!
( Exemples : Calculer
ou simplier :
)
(n − 1)!
15
- Donner l'ensemble des formules de trigonométrie au programme.
- Forme exponentielle d'un nombre complexe sur un exemple.
- Dénition de arccos, arcsin ou arctan. Exemples sur des valeurs particulières.
- La résolution sur un exemple d'une équation de la forme cos(x) = a, sin(x) = a ou tan(x) = a
- Démonstration d'une somme à connaître.
- Formule du binôme. Enoncé. (On pourra demander la démonstration à la n d'une colle qui se serait très bien passée ).
n
- Dénition de
. Enoncé et démonstration d'une des deux formules importantes sur ces coecients binomiaux.
k
- Calculs d'une des sommes suivantes :
n X
n
k=0
k
n X
n
(−1)k
k
k=0
n
X
n
k
k
k=0
n X
k
k=0
p