Octobre 2010

Corrigé de l’interro de math du 18 octobre 2010
Moyenne générale : 10.04
Médiane : 10
Figure : Graphique des résultats avec les déciles de la distribution

P(x) =(3x
4
+2 x² + 2x + 3) = A(x)*(3x² - 1) + (2x + 4). Combien vaut A(x) ?
a. A(x) n’existe pas (aucune solution)
b. A(x) est indéterminé (il existe une infinité de solutions)
c. A(x) = x²
d. A(x) = 2x + 1
e. A(x) = x² + 1
f. Aucune des réponses proposées.
Solution
Il faut commencer par constater que A(x) est nécessairement du second degré, puisque c’est la seule
possibilité pour que A(x)*(3x² - 1) soit du quatrième degré. On peut donc écrire :
A(x) = ax² + bx + c
où a, b et c sont 3 constantes à identifier. Développons à présent le terme de droite. On obtient :
(ax² + bx + c) * (3x² - 1) + (2x + 4) = 3ax
4
+ 3bx³ + 3cx² - ax² - bx – c + 2x + 4
= 3ax
4
+ 3bx³ + (3c – a)x² +(2 - b)x + (4 – c)
Identifiant les coefficients de x
4
, x
3
et x
2
, on obtient les équations suivantes :
3a = 3 => a = 1
3b = 0 => b = 0
3c – a = 2 => c = 1
On peut vérifier si ces résultats sont compatibles avec l’identification des coefficients de x et des
termes indépendants :
2 – b = 2 ce qui est compatible avec b = 0
4 - c = 3 ce qui est compatible avec c = 1
Par conséquent, A(x) = x² + 1, soit la réponse (e)
Synthèse des réponses
a 18
b 4
c 3
d 6
e 195
f 12

Combien vaut la dérivée de f(x) = sin(ln(3x² + 3x + 1)) ?
a. f’(x) = cos(ln(3x² + 3x + 1))
b. f’(x) = sin(1/(3x² + 3x + 1))
c. f’(x) = sin((6x + 3)/(3x² + 3x + 1))
d. f’(x) = cos(ln(3x² + 3x + 1)) * (6x + 3) / (3x² + 3x + 1)
e. f’(x) = sin(ln(3x² + 3x + 1)) * (6x + 3) / (3x² + 3x + 1)
f. Aucune des réponses proposées.
Solution
Il s’agit de la dérivée d’une fonction f (soit, sin(.)) d’une autre fonction g (soit, ln(3x² + 3x + 1)). On
utilise alors la formule :
df/dx = df/dg * dg/dx
ce qui donne ici :
d f(x)/dx = df(g)/dg * dg(x)/dx
= cos(g)*d [ln(3x² + 3x + 1)]/dx
= cos(ln(3x² + 3x + 1)) * d [ln(3x² + 3x + 1)]/dx
La deuxième dérivée est à nouveau la dérivée d’une fonction f (soit, ln(.)) d’une autre fonction g (soit,
3x² + 3x +1). On réutilise la même formule pour obtenir :
d g(x)/dx = [1/(3x² + 3x + 1)] * (6x + 3)
Le résultat global vaut donc finalement :
d f(x)/dx = cos(ln(3x² + 3x + 1)) * (6x + 3) / (3x² + 3x + 1)
correspondant à la réponse (d).
Synthèse des réponses
a 7
b 3
c 3
d 214
e 2
f 9

Combien vaut la dérivée de f(x) = sin(x) / cos(x²) ?
a. f’(x) = 2x *sin(x)*sin(x²)/cos²(x²) + cos(x)/cos(x²)
b. f’(x) = cos(x)/cos(x²)
c. f’(x) = cos(x)/sin(x²)
d. f’(x) = -cos(x)/sin(x²)
e. f’(x) = -sin(x)/sin(x²)
f. Aucune des réponses proposées
Solution
Il s’agit cette fois de la dérivée d’un rapport de deux fonctions u (soit, sin(x)) et v (soit, cos(x²)). On
utilise alors la formule :
df/dx = (du/dx*v – dv/dx*u)/v²
Dans le cas présent :
du/dx = cos(x)
dv/dx = -2x * sin(x²) (dérivée d’une fonction d’une fonction, voir exercice précédent)
ce qui conduit à :
df/dx = (cos(x)*cos(x²) + 2x * sin(x)*sin(x²)) / cos²(x²)
qui est la réponse (a).
Synthèse des réponses
a 170
b 12
c 1
d 17
e 1
f 37

4) A une constante près, combien vaut la primitive de f(x) = 1/(x * (x+1)) ?
Solution
L’astuce pour cette intégrale est de constater que f(x) peut être vu comme la mise au même
dénominateur de deux fractions, respectivement A/x et B/(x+1), o ùA et B sont des constantes à
calculer. Calculons donc ces deux constantes :
f(x) = A/x + B/(x+1)
= (A*(x+1) + B*x)/(x*(x+1))
= ((A + B)*x + A)/(x*(x+1))
Par conséquent, identifiant les deux numérateurs, on peut écrire que :
(A + B)*x + A = 1
Ce qui est obtenu si A = 1 et (A + B) = 0, soit B = -1.
Par conséquent, on peut réécrire f(x) :
f(x) = 1/x - 1/(x+1)
Et l’intégrale est alors immédiate :
I = ln(x) – ln(x+1) + C = ln (x/(x+1)) + C
où C est une constante arbitraire.
Une manière (plus ?) simple de résoudre ce problème serait de constater que :
f(x) = 1/[ x*(x + 1)] = [(x + 1) – x]/[x*(x + 1)] = (x + 1)/[x*(x + 1)] – x/[x*(x + 1)] = 1/x – 1/(x + 1).
Le reste de la résolution est alors évident…