NOM : Terminale ES – Devoir n° 9 – Mardi 19 mai 2015 Exercice 1

NOM : Terminale ES – Devoir n° 9 – Mardi 19 mai 2015
Exercice 1. QCM sur 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Entourer la réponse exacte sur le sujet.
On ne demande pas de justification.
Chaque réponse exacte rapportera 0.5 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point.
1. On appelle X la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0.62.
a) La probabilité à 10-3 près d’avoir X  1 est :
0.8 0.908 0.092 0.992
b) L’espérance de X est :
3.1 5 2.356 6.515
2. La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction f définie et
dérivable sur l’intervalle [- 5 ; 5]
a) Sur l’intervalle [-5,5]
f est une densité de probabilité f n’est pas continue
f est positive l’équation f(x) = 0 admet deux solutions.
b)
f
(1) = 0
f
(0) = 1
f
(0) = 0
f
(1) = 1
c) On admet qu’une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 4 est
5
²²
x
yee
Le nombre dérivé de f en 4 est :
f
(4) =
5²e
f
(4) =
1²e
f
(4) =
1²e
1
(4)fe
d) On pose A =
2
2()f x dx
.
0 < A < 1 1 < A < 2 3 < A < 4 4 < A < 5
3. On considère une fonction f définie et continue sur l’intervalle [1 ;15] et on donne son tableau de variations.
x
1
3
4
12
15
variations
de f
3
0
-2
-1
-3
Soit F une primitive de f sur l’intervalle [1 ; 15]. On peut être certain que :
F est négative sur l’intervalle [3 ;4] F est positive sur l’intervalle [4 ;12]
F est décroissante sur [4 ; 12] F est décroissante sur l’intervalle [1 ; 3]
4. Pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; + [, l’équation
ln ln( 3) 3ln2xx  
est équivalente à l’équation :
2 3 6x
2 3 8x
² 3 6xx
238xx

Exercice 2 sur 3 points
Partie A :
Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et
une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit
la loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 60].
1. Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes.
2. Calculer l’espérance de X. Interpréter ce résultat
Partie B :
Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.
Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s’entraine sont dites de premier choix si leur
diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm; sinon elles sont dites de second choix.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de
l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que D suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0,11.
1. Déterminer la probabilité p1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57mm.
2. Déterminer la probabilité p2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
3. En déduire la probabilité p3 que la boule prélevée soit une boule de second choix.
Exercice 3 :
Le bénéfice d’une entreprise en milliers d’euros en fonction de la quantité x d’objets vendus, en
milliers d’unités est modélise par :
3
21
( ) ² 6 5 pour 0;5
32
B x x x x x     
1. a) Calculer B’(x) , étudier son signe .
b) En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [0 ;5].
2. Déterminer la quantité d’objets à vendre pour que le bénéfice soit maximal.
3. Calculer le bénéfice moyen de l’entreprise, à 100 euros près, lorsqu’elle fabrique et vend entre 1000
et 2500 unités.

Exercice 4 sur 9 points
On considère deux fonctions f et g définies sur , et (C) et () leurs représentations graphiques
respectives.
On donne ci-dessous (C) en traits pleins, et () en pointillés ; le point A est leur point d’intersection.
1. Lecture graphique
Par lecture graphique, et sans justification,
a) Résoudre
f
(x)  0
b) Etudier la convexité de f sur .
2. Etude de la fonction g
La fonction g est définie sur  par
0.5
( ) 4 x g x xe
a) Calculer la dérivée g’ de g sur . En déduire le sens de variation de la fonction g sur .
b) On admet que la dérivée seconde
g
de g sur  est définie par
0.5
( ) ( 4) x g x x e
. Justifier
que la courbe () admet un point d’inflexion B. Donner la valeur exacte des coordonnées
de B.
3. Aire entre deux courbes.
Soit h la fonction définie par
( ) ( ) ( )h x f x g x
. On admet que h est définie sur  par
0.5
( ) (4 2 ) x h x x e
.
a) Résoudre algébriquement l’équation
( ) 0hx
. En déduire les coordonnées exactes du
point A.
b) Etudier le signe de
()hx
sur  et en déduire la position relative des courbes (C) et ().
c) Justifier que g est une primitive de h sur .
d) Calculer l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par les deux courbes (C) et (), la droite
verticale d’équation x = 2 et l’axe des ordonnées. On donnera la valeur exacte puis une
valeur approchée arrondie à 0.01 près.

Corrigé du n° 1
1. a) 0.992 b) 3.1
2. a) f est positive b)
f
(0) = 0 c)
1
(4) ² fe
d) 3 < A < 4
3. F est décroissante sur [4 ; 12]
4.
3
ln ln( 3) 3ln2 ln ( 3) ln(2 ) ² 3 8x x x x x x        
sur 4
0.5 par
réponse
exacte
Corrigé du n° 2
Partie A
1. X suit la loi uniforme sur [20 ; 60]
p(X  30)=p(X [30 ; 60]) =
60 30 30 0.75
60 20 40
2. D’après le cours E(X) =
20 60 40
22
ab
Le temps moyen d’entraînement, par jour, est 40 min.
Partie B
1. 57 est la moyenne donc p(D  57) = 0.5
2. p(56.75  D  57.25)  0.977 à la calculatrice
La probabilité que la boule soit de premier choix est 0.977
3. La probabilité que la boule soit de second choix est donc 1 – 0.977 = 0,023
sur 3
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Corrigé du n° 3
1. a)
21
'( ) 3 ² 2 6 2 ² 6
32
B x x x x x         
C’est un polynôme du second degré.  = 49 ; deux racines x1 = 2 et x2 = – 1.5. Il est du signe du coefficient
de x² donc négatif sauf entre les racines.
x
0
2
5
signe de B’(x)
+
0
–
b) Tableau de variation :
x
0
2
5
signe de B’(x)
+
0
–
variation
de B
- 5
275
6
2. D’après le tableau ci-dessus, il faut vendre 2000 objets pour que le bénéfice soit maximal.
3. Le bénéfice moyen quand l’entreprise fabrique et vend entre 1000 et 2500 objets est la valeur moyenne
de B sur l’intervalle [1 ; 2.5]
2.5
2.5 43
11
1 1 1 1 1 75 139
( ) 3 ² 5 2 2.895
2.5 1 1.5 6 6 1.5 32 48
B x dx x x x x
Ce bénéfice moyen est donc 2900 euros à 100€ près.
sur 4
0.5
1
0.5
0.5
1.5

Corrigé du n° 4
1. a) S = ] –  ; 0] quand la fonction est croissante
b) f est concave sur ]– ; 2[ et convexe sur ]2 ; +[
2. a) On pose u = 4x et v = e-0.5x d’où
0.5
' 4 et ' 0.5 x u v e
0.5 0.5 0.5 0.5
'( ) 4 4 ( 0.5 ) 4 4 ( 0.5 4 2
x x x x
g x e x e e x x e
On étudie le signe de g’ pour avoir les variations de g, sachant qu’une exponentielle est toujours positive et
que 4 – 2x s’annule pour x = 2.
x
-
2
+
signe de 4-2x
+
0
–
signe de e-0.5x
+
+
signe de g’(x)
+
0
–
variations
de g
8e-1
On pense à vérifier la cohérence du tableau obtenu avec la courbe de g qui est donnée.
b. La courbe admet un point d’inflexion si
g
s’annule en changeant de signe.
x
-
4
+
signe de x – 4
–
0
+
signe de e-0.5x
+
0
+
signe de g ‘’(x)
–
0
+
La courbe de g admet donc un point d’inflexion B d’abscisse 4 et d’ordonnée g(4) = 16e-2
3.
a)
0.5
( ) 0 4 2 0 ou e 0 2
x
h x x x
car une exponentielle n’est jamais nulle.
Le point A a donc pour abscisse 2 et pour ordonnée g(2) = 8e-1
b) On remarque que
( ) '( )h x g x
Le signe de h(x) a donc été étudié à la question 2.
On en déduit que sur ]- ; 2[ h(x) > 0 donc
( ) ( )f x g x
, C est au-dessus de , et sur ]2 ; +[, h(x) < 0
donc
( ) ( )f x g x
, C est au-dessous de .
c) On a vu que
'( ) ( )g x h x
donc g est une primitive de h.
d) L’aire du domaine hachuré est égale à
211
0( ) (2) (0) 8 0 8h x dx g g e e
L’aire cherchée est donc 8e-1 soit environ 2.94 en unités d’aire.
sur 9
0.5
0.5
1
1
1.5
1
1.5
0.5
1.5