2nde TP05 : Nombre d`or et dichotomie Algobox

2nde
TP05 : Nombre d’or et dichotomie
Algobox
On rappelle une définition du nombre d’or dans les travaux de Vitruve,
architecte romain au 1er siècle avant notre ère.
Sur un segment
, est placé un point C délimitant deux segments
et
. Le nombre d’or est déterminé par une proportion :
« Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que de la grande au tout ≫.
Le nombre d’or, note φ, est l’inverse de ce rapport.
I.
Détermination d’une valeur approchée de φ
Dans le DM 10 nous avons prouver que le nombre d'or est la solution positive de l'équation
. De plus à l'aide de la calculatrice nous avons réussi à trouver que ce nombre était
compris entre 1 et 2. Nous allons essayer d'affiner cet encadrement.
1. Principe de dichotomie
On a déterminé (en général graphiquement) qu’une fonction s’annulait pour une valeur .
On repère (en général graphiquement) un intervalle
qui contient , assez petit pour ne pas
contenir d’autre solution.
L’algorithme va tester dans quelle moitié de l’intervalle se trouve , puis recommencer avec le
nouvel intervalle jusqu’à obtenir un encadrement de
avec la précision voulue.
Grâce à l’algorithme suivant à programmer sous Algobox, encadrée la solution cherchée dans un
intervalle d’amplitude
en partant des valeurs 1 et 2.
On crée les 2 variables a et b de type nombre
et on utilise une fonction numérique pour
rentrer l’équation
.
Pour commencer l'algorithme :
On sélectionne la ligne
puis
Variables : a, b, deux nombres réels.
Début
Définir F1
a prend la valeur 1.
b prend la valeur 2.
Tant que
Pour affecter une valeur à une variable :
Si ( )
Alors
.
Sinon
.
puis
Créer la boucle "Tant que"
puis
Créer une condition "Si"
Fin Si
Fin Tant que
Afficher a, b.
Fin
II.
Ne pas oublier de cocher
Pour afficher les variables
Remarque : pour écrire une puissance, exemple :
pow(10,-4) donne
Détermination de la valeur exacte de φ de façon algébrique
2. Montrer que
.
3. En déduire une factorisation de
et donc que
Le nombre d’or est donc la racine positive de l’équation
.
, noté