Lois de probabilité

Lois de probabilité
I Loi à densité sur un intervalle borné
fest une fonction définie sur un intervalle Ide R.
Définition 1
On appelle densité de probabilité sur Itoute fonction fcontinue et positive sur Itelle que :
ZI
f(t)dt = 1
Exemple
La fonction fdéfinie sur I= [0,1[ par f(x) = 3x2est une densité de probabilité sur Icar
•fest continue et positive sur I.
•Z1
0
3t2dt =t31
0= 1.
Définition 2
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi de probabilité de densité fsur I, si pour tout
intervalle Jinclus dans I:
P(X∈J) = ZJ
f(t)dt.
Propriété 1
Soit Xune variable aleatoire suivant une loi de probabilité à densité fsur I.
1. P(X∈J) = 1
2. Pour tout x0dans R,P(X=x0) = Zx0
x0
f(t)dt = 0.
3. P(X∈[a, b]) = P(X∈]a, b]) = P(X∈[a, b[) = P(X∈]a, b[).
I.1 Loi uniforme sur [a;b]
1

I. LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE BORNÉ
Définition 3
•La loi uniforme sur [a, b]modélise le choix au hasard d’un nombre dans l’intervalle [a, b].
•La loi uniforme sur [a, b]est la loi qui admet la fonction fdéfinie sur [a, b]par f(t) = 1
b−a
pour densité.
Propriété 2
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi unforme sur [a, b].
1. si a6c6d6balors P(X∈[c, d]) = d−c
b−a.
2. L’espérance de Xvaut : E(X) = Zb
a
tf(t)dt =a+b
2
I.2 Loi exponentielle
Définition 4 (propriété)
La loi exponentielle de paramètre λ > 0est la loi qui admet pour densité la fonction fsuivante :
fest définie sur I= [0; +∞[par f(t) = λe−λt.
Remarque
fest continue et positive sur [0; +∞[, de plus
lim
x→+∞Zx
0
λe−λtdt = lim
x→+∞−e−λtx
0= lim
x→+∞−e−λx + 1 = 1.
Ainsi, fest bien une densité sur [0; +∞[.
Exemple
Soit Pla probabilité associé à la loi exponentielle de paramètre 3.
Calculer P([1; 2]) et P([2; +∞[).
P([1; 2]) = Z2
1
3e−3tdt = [−e−3t]2
1=e−3−e−6.
P([2; +∞[) = 1 −Z2
0
3e−3tdt = 1 −−e−3t2
0=e−6.
Théorème 1 (admis)
Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
1. Pour tout réel t>0,P(X < t) =∈t
0λe−λtdt = 1 −e−λt et P(X>t) = e−λt.
2. E(X) = 1
λ,V(X) = 1 λ2et σ(X) = 1 λ.
Exemple
Un matériel informatique a une durée de vie moyenne de 4000 heures.
Soit Xla variable aléatoire égale à la durée de vie du matériel.
1) Déterminer λ.
2) Calculer la probabilité pour que ce matériel soit encore en fonctionnement au bout de
8000 heures.
Propriété 3
Pour tous réels positifs xet h, on a
P(X≥x)(X≥x+h) = P(X≥h).
Cette propriété signifie qu’un élément cesse de "vivre" au cours d’un intervalle de temps donné,
dépend seulement de la longueur de cet intervalle , et pas de "l’âge" de l’élément au début de la
période.
2

I. LOI À DENSITÉ SUR UN INTERVALLE BORNÉ
Preuve :
P(X≥x)(X≥x+h) = P((X≥x)∩(X≥x+h))
P(X≥x)=P(X≥x+h) P(X≥x)=1−Rx+h
0λe−λtdt
1−Rx
0λe−λtdt =
e−λ(x+h)
e−λx =e−λh =P(X≥h)
3