integrales

Formulaire
4e Eco
Intégrales
1) Définition
f étant une fonction continue sur un intervalle I.

On appelle intégrale de f entre a et b, le réel noté
b
a

f ( x)dx défini par :
b
a
f ( x)dx  [ F ( x)]ba  F (b)  F (a)
2) Propriétés
a
 f ( x)dx  0
 f ( x)dx    f ( x)dx
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (Relation de Chasles)
 [ f ( x)   g ( x)]dx    f ( x)dx    g ( x)dx (Linéarité de l’intégrale)
a
b
a
c
a
c
a
b
b
c
a
b
a
b
c
a
b
3) Intégration par parties
u et v étant deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et a, b deux éléments de I
on a :

b
a
b
u ( x).v '( x) dx  [u ( x)v( x)]ba   u '( x).v( x) dx
a
4) Positivité
Si a < b et si f(x) ≥ 0
Si a < b et si
f(x) ≥ g(x)
pour tout x  [a,b] alors

pour tout x  [a,b] alors

b
f ( x)dx ≥ 0.
a
b
a
f ( x)dx 

b
a
g ( x)dx
5) Valeur moyenne
f étant une fonction définie et continue sur un intervalle I, a et b deux réels distincts de I, on
appelle valeur moyenne de f sur [a,b] et on notre f le réel :
1 b
F (b )  F ( a )
f 
f (t )dt 

a
ba
ba
6)Calculd’aires
Théorème
f étant une fonction continue sur un intervalle
[a,b] (a< b) , et le plan étant rapporté à un repère
orthonormé alors l’aire de la partie du plan limitée par
les droites d’équations x = a et y = b , l’axe des
abscisses et la courbe représentative de f a pour mesure A =
En particulier
 Si f est positive sur [a,b] (a < b), alors
A=

b
a
f ( x)dx

b
a
f ( x) dx
(f > 0)
 Si f est négative sur [a,b] (a < b), alors A =  f ( x)dx

b
a
Théorème
Si f ≤ g , alors A =

b
a
g (x )  f (x )dx
( f < 0)
f
< g