Colle de mathématiques

Colle de mathématiques - PT
semaine 12 : du 10 au 15 décembre 2012
Réduction des endomorphismes et des matrices
carrées.
Même programme que précédemment.
Systèmes différentiels linéaires à coefficients
constants
Définition d’une solution sur un intervalle Ide l’équation
différentielle X′=AX +B(t)où Aest une matrice réelle
ou complexe de taille net Bune application continue d’un
intervalle Ide Rdans Rnou Cn.
Existence et unicité de la solution sur Idu problème
de Cauchy.
Système homogène associé, structure de l’ensemble
des solutions.
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Espace vectoriel des applications de classe Ck(kentier
naturel ou k=∞) d’un intervalle Ide Rà valeurs dans
Rm.
Dérivée à l’ordre p≥1d’une somme de deux fonctions
vectorielles, du produit d’une fonction à valeurs réelles et
d’une fonction à valeurs vectorielles, de t→ U(t)·V(t)
dans Rmeuclidien, de t→ U(t)∧V(t)dans R3euclidien
orienté.
Tangente à une courbe du plan ou de l’espace. Plan
normal en un point régulier d’une courbe de l’espace.
Développement limité à l’ordre ppour une fonction
de classe Cp. Application à l’étude d’un point stationnaire
pour une courbe paramétrée plane.
Pratique de la résolution de l’équation X′=AX
par réduction de Aà une forme diagonale ou triangulaire
supérieure.
Lorsque −−−−−−−−→ M(t0)M(t)reste colinéaire à −−→ d(t)et que
−−→
d(t)admet une limite non nulle −→ Tlorsque ttend vers
t0, la tangente en M(t0)est dirigée par −→ T .
Les courbes données par une équation polaire ne figu-
rent pas à ce programme de colle.
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