Probabilités Suite arithmetico géométrique

TES/spé TL
D.N.S. n°12
à rendre le jeudi 19 mars 2015
Compétences:
Acquis
En cours
d’acquisition
Non
acquis
Non
évalué
Déterminer graphiquement un nombre dérivé
Encadrer graphiquement une intégrale
Déterminer les variations d’une fonction de la forme e u
Exploiter un graphique
Dériver une fonction de la forme (ax + b) e c x
Trouver les réels a, b et c, à l’aide des informations extraites du
graphique
Utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Faire le lien entre une étude de fonction et un problème concret
Exercice 1. QCM
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, la courbe (Cf ) représentative d’une fonction f définie et
dérivable sur l’intervalle [ − 6 ; 6].
La droite (T ) d’équation y = x + 3 est tangente à la courbe (Cf ) au point I de coordonnées (0 ; 3).
T
Cf
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont
proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la
réponse exacte en justifiant le choix effectué.
1. Le nombre dérivé de f en 0 est égal à :
a. 0
b.
1
c.
3
c.
2<J<4
0
2. On pose J   f ( x) dx . On peut affirmer que :
1
a. − 2 < J < 0
b. − 4 < J < − 2
3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [− 6 ; 6] par : g ( x)  exp  f ( x)  e f ( x ) .
On peut affirmer que :
a. la fonction g a les mêmes variations que f sur l’intervalle [− 6 ; 6].
b. la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [− 6 ; 6]
c. la fonction g a les variations inverses de celles de f sur l’intervalle [− 6 ; 6].
Exercice 2. Étude de fonction
Partie A
On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative C d’une fonction f
définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d’abscisses
respectives 0 ; 6 et 11.
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f.
Par lecture graphique (aucune justification n’est demandée) :
1. Donner les valeurs exactes de f (0), f (1), f ′(0) et f ′(6).
8
2. Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de I = 
 f (x)dx.
4
3. Indiquer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 4. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à
l’unité.
Partie B
1. La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 20] par f (x) = (ax + b) e c x, où a, b et c désignent trois constantes.
On note f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 20].
a. Calculer f '(x).
b. En utilisant trois des quatre résultats de la question 1 de la partie A, déterminer les valeurs des réels a, b, et c.
2. On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 20] par f (x) = (5x −5) e− 0,2x.
Montrer que f ′(x) = (−x + 6) e−0,2x.
3. a. Étudier le signe de f ′(x) sur [0 ; 20].
b. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de f (0) et f (6).
4. Justifier que l’équation f (x) = 4 admet une unique solution  sur [0 ; 6]. Donner la valeur arrondie au millième
de .
Partie C
Une entreprise fabrique x centaines d’objets où x appartient à [0 ; 20]. La fonction f des parties A et B modélise le
bénéfice de l’entreprise en milliers d’euros, en supposant que toute la production est vendue.
Répondre à la question suivante en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l’équation f (x) = 4 admet
une autre solution  sur [6 ; 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.
Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4000 € ? (Arrondir à l’unité).