Exercice 1 (6 points) On considère l`équation notée (E) : ln = − . Le

Exercice 1 (6 points)
On considère l’équation notée (E) : .
Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet une solution unique notée 
appartenant à l’intervalle  et d’utiliser une suite convergente pour en obtenir un
encadrement.
Partie A : existence et unicité de la solution
On considère la fonction  définie sur l’intervalle  par .
1. Déterminer le sens de variation de la fonction  sur l’intervalle 
 est dérivable sur  et  .
 est donc strictement croissante sur .
2. Démontrer que l’équation  admet une unique solution notée α appartenant
à l’intervalle 
 est continue et strictement croissante sur .
De plus   (par somme) et   (par somme),
donc  .
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet alors de conclure que l’équation  
admet une solution ! dans .
3. Justifier que :
"
##
On a $
"
%
"
$
"
%
"
&' et .
Ainsi
(
)
#!#(.
Partie B : encadrement de la solution !
On considère la fonction * définie sur l’intervalle  par *
+,-.
/
1. Étude de quelques propriétés de la fonction *.
a. Étudier le sens de variation de la fonction * sur l’intervalle 
* est dérivable sur  et *
/
0.
Donc *
/
$0 %
/
$
+,
%
+,
/
Comme , *1 et 0 ont le même signe sur . D’où le tableau suivant :

Calcul de *$
+
% : *$
+
%
+23
4,-.$3 4%
/
-.+
/
"-."
/
b. En déduire que pour tout nombre réel  appartenant à l’intervalle 5
"
6,
* appartient à cet intervalle.
Soit  un réel tel que
"
##
Alors *$
"
%#*#* car * est croissante sur 5
"
6
Comme *$
"
%
+23
7,-.3 7
/
"-."
/
89:0 et *
+2-.
/
+
/
9;;
On en déduit que
"
#*#
Donc, si 5
(
)
(6, alors < 5
(
)
(6
c. Démontrer qu’un nombre réel appartenant à l’intervalle  est solution
de l’équation (E) si et seulement si *
Soit  un réel dans . On a alors :
 est solution de l’équation (E) =
= 
=0:
=
+,-.
/
=*
2. On considère la suite >
?
 définie par >
"
et pour tout entier naturel @, par
>
?
*>
?
a. En utilisant le sens de variation de la fonction * , démontrer par récurrence que
pour tout entier naturel @,
"
#>
?
#>
?
#.
Soit A@ la propriété : B
"
#>
?
#>
?
# B
• Initialisation : On a >
"
et > *>
*$
"
%
"-."
/
89:0
Donc
"
#> #> # et A est vraie.
• Hérédité : On suppose que A@ est vraie pour un entier naturel @.
Ainsi
"
#>
?
#>
?
#
Donc *$
"
%#*>
?
#*>
?
#* car * est croissante sur 5
"
6
Donc
"-."
/
#>
?
#>
?"
#
+
/
Donc
"
#>
?
#>
?"
#
Ainsi A@ est vraie et l’hérédité est montrée.
• Conclusion : on a démontré par récurrence que pour tout entier naturel C,
(
)
#D
C
#D
C(
#(

b. En déduire que la suite >
?
 converge. On admettra que sa limite est .
D’après la question précédente, D
C
 est croissante et majorée par 1 donc elle converge.
3. Recherche d’une valeur approchée de α
a. On considère l’algorithme suivant :
Quel est le rôle de cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer les termes de la suite >
?
.
L’utilisateur saisit le rang N et l’algorithme renvoie le terme de rang N, D
E
, de la suite.
b. On entre N=10, quel valeur est affichée en sortie ? (arrondir à 
,+
près)
La valeur affichée est D
(
8 9FGH(
c. On admet que > est une valeur approchée à 
,+
près de .
Donner un encadrement de  d’amplitude 
,I
sous la forme > #  # J où > et J sont deux
décimaux écrits avec trois décimales.
On a 9FGH # ! # 9FGH
Exercice 2 (5 points)
Partie A:
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est
demandée. Cette partie est notée sur 3 points.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est
comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de la partie A est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1. Une solution de l’équation &K  K  L  M est :
a. 3 b.
M
c. 3 +
M
)
N
O
N
O
P
O
2. Soit K un nombre complexe ; QK  MQ est égal à :
a.
Q
K
Q
b.
Q
K
Q
c.
Q
M
K
Q
QOR  (QQOR  OQQOQQR  OQ SR  OS  QR  OQ
Saisir N
U prend la valeur 0,5
Pour K allant de 1 à N faire
U prend la valeur (4Uln(U))/5
FinPour
Afficher U

3. Soit K un nombre complexe non nul d’argument T. Un argument de
,UVI
W
est :
a.
X
I
T
b.
"
X
I
T
c.
"
X
I
T
YZ<[(OVN
R\YZ<](OVN^YZ<RYZ<[(OVN )\YZ<R)_ N`
4. Soient A et B deux points d’affixe respective M et .
L’ensemble des points a d’affixe K vérifiant QKMQQKQ est :
a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre
[AB]
c. la droite perpendiculaire à
(AB) passant par O
QROQQR(Q=bcdc= M est sur la médiatrice de [AB]
5. Soit e le point d’affixe M.
L’ensemble des points a d’affixe KMf vérifiant QKMQQg0MQ
a pour équation :
a.
f
b.
"
f
h
V
:
c.
"
f
h
&:
QR(OQQNiOQ=Q (Oj(QkN
"
i
"
= (
"
j(
"
)F
6. Soient A et B les points d’affixes respectives 0 et gM L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit
isocèle avec ]lm
n
n
n
n
n
o
9lp
n
n
n
n
n
o
^
X
"
est :
a.
0
M
b.
g
M
c.
q
0
M
Un beau dessin = ce qu’il y a de plus rapide !
Partie B:
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie et justifiera sa réponse. Cette
partie est notée sur 2 points.
1. L’ensemble des solutions dans r de l’équation
W,"
W,
K est :
a.
s
t
M
u
b.
s
v
c.
t
M
M
u
R,)
R,(
R=Rw(xyR)RR(=Rw(xyR
"
)R)
z)
"
i2(2)i. 2 racines : R
(
),)O
)
(O et R
)
(O

2. Soit K V{|
U}
4
et K
"
V&|
,U}
~
. La forme exponentielle de M
W3
W7
est :
a.
V
g
|
U
3•
}
37
b.
V
&
|
,
U
}
37
c.
V
g
|
U
€
}
37
d.
V
g
|
U
3
~
}
37
O
R(
R)
•
O_
)
2
VG•O_
i
V)•‚O_
N
VN•
O$_
)_ i_ N%
VN•
O(N_
()
Exercice 3 (4 points)
Dans une fabrique de boisson, une machine remplit automatiquement avec du soda des bouteilles de 51
centilitres. Pour pouvoir être commercialisée, une bouteille doit contenir au moins 48 centilitres de soda.
Partie A. La quantité de soda en centilitres fournie par la machine peut être modélisée par une variable
aléatoire ƒ suivant une loi normale de moyenne „ et d’écart-type …9&
1. La machine est réglée sur „:. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
a. Calculer Aƒ†0;. En déduire le pourcentage de bouteilles qui pourront être commercialisées.
Aƒ†0;Aƒ#0;890q;89L:&.
95,2% des bouteilles pourrons être commercialisée après remplissage car il faut pour cela au
minimum 48 cl de soda.
b. Calculer Aƒ:. Que peut on en déduire ?
De même Aƒ:Aƒ#:89qLqq89&&.
Étant donné que les bouteilles ont une contenance de 51 centilitres, 20,2% d’entre elle
déborderont lors du remplissage.
2. Le directeur de la fabrique vaut qu’il y ait moins de 10% de bouteilles qui débordent. Quelle doit
être la valeur maximale de „ arrondie au centième le plus proche ?
Lors d remplissage la bouteille déborde si ƒ:, il faut donc que Aƒ:#‡ soit
Aƒ#:L‡ , ou ƒ suit la loi normale de moyenne „ et d’écart-type …9&.
ƒ
ˆ
‰,Š
‹
suit donc la loi normale centrée réduite et il faut que
AŒƒ„
9& #:„ 9& •9L
On trouve à l’aide de la calculatrice
/,Š
9"
9&;:: soit „'0L90{&.
La valeur maximale de Ž arrondi au centième le plus proche est donc 8iP9iG .
Partie B. Le temps de fonctionnement sans panne, en jours, de cette machine est une variable aléatoire
•qui suit la loi exponentielle de paramètre•. Les résultats seront arrondis au millième le plus proche.
1. On sait que A•'g900. En déduire la valeur de •.
• suit la loi exponentielle de densité de probabilité •|
,‘
donc
A•'g900 si, et seulement si, ’•|
,‘
“”|
‘
•
I
|
,I‘
900
I
D’où A•'g900–|
,I‘
9:{–•
,-.9/—
I
et donc ˜89(P