I. Continuité II. Propriétés des valeurs intermédiaires

Lycée Jules Verne 2016-2017
TES
I.
Continuité
A. Heliard
Continuité
Définition(s).
Une fonction f est continue sur un intervalle I si on peut la représenter "sans lever le crayon". Autrement dit, la
représentation graphique de f est en un seul morceau sur l’intervalle.
−2
3
3
2
2
1
1
1
−1
2
3
4
−2
1
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
f n’est pas continue
2
3
4
f est continue
Proposition.
1. Les fonctions polynômiales, en particulier, affine, du second degré et cube, sont continues sur R.
2. La fonction inverse est continue sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.
3. La fonction racine carrée est continue sur [0; +∞[.
Proposition.
Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
☞ ex 15, 16 p 62, ex 24 p 62
II.
Propriétés des valeurs intermédiaires
Théorème.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b].
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a; b].
1
Lycée Jules Verne 2016-2017
TES
Continuité
A. Heliard
Corollaire.
• Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et
f (b), l’équation f (x) = k admet une unique solution dans l’intervalle [a; b].
• En particulier, si f est continue, strictement monotone sur un intervalle [a; b] et si f (a) et f (b) sont de signes
contraires, alors l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [a; b].
Exercice (Exercice - type ❤ ).
5
9
Soit f la fonction définie sur [−1; 3] par f (x) = x3 − x2 + 6x − .
2
4
1. Dresser le tableau de variations de f .
2. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 1.
3. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.
4. En déduire le tableau de signes de f .
☞ ex p 58 (oral)
☞ ex 32 p 63, ex 41, 42 à 45, 47 p 65
☞ ex 49, (50) p66, ex 63 p 71
2