Chapitre 1 – Équations et Inéquations du 2nd degré

Cours de Mathématiques – Première S – Chapitre 1 : équations et inéquations du second degré
Chapitre 1 – Équations et Inéquations du 2 nd degré
A) Les Polynômes
1) Définitions
On appelle monôme une expression de la forme a xn, où a est un réel non nul et n est un entier
naturel (n >= 0).
Un polynôme est une somme de monômes.
Exemples
P1 = 2x2 - 3x 3 + x2 – 4x – 2 + 3x – 5
P2 = x5 – x3 + x4 – 2 x2 + x5 +1
On appelle fonction polynôme correspondant à P la fonction qui à tout x fait correspondre la valeur
P(x) prise par P quand on remplace x par sa valeur dans l’expression de P.
On appelle polynôme réduit un polynôme où l'on a regroupé les monômes de même degré et où on
les a triés du plus grand au plus petit degré.
Exemples (réduction des deux exemples précédents)
P1 = -3x 3 + 3x2 – x – 7
P2 = 2x5 + x4 – x3 – 2 x2 +1
On appelle coefficient de rang n le coefficient de xn dans le polynôme.
On appelle degré de P le degré de son monôme de plus haut degré.
2) Égalité de deux polynômes
Deux polynômes sont égaux si les fonctions polynômes correspondantes sont égales : P = Q si et
seulement si
∀x , P x=Qx
.
Théorème (admis) :
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs formes réduites sont identiques.
Exemple :
Soit Q = P1 ci-dessus et Q= ax3 + bx2 + cx + d :
Alors, on aura a = - 3, b = 3, c = - 1 et d = - 7.
Application :
Soit Q = ax2 + bx + c.
Déterminer les valeurs de a, b et c pour que l'on ait :
(x – 1) Q = x3 + 2x2 – 6 x + 3.
3 Somme algébrique, produit et quotient de polynômes
La somme algébrique de deux polynômes a un degré inférieur ou égal au degré le plus haut des
deux polynômes.
Le produit de deux polynômes a comme degré la somme des degrés des deux polynômes.
Le quotient de deux polynômes n'est en général pas un polynôme. On dit alors que c'est une fraction
rationnelle et la fonction correspondante est une fonction rationnelle.
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Exemples :
Soit P3 = -2x5 +7 et les P1 et P2 précédents : calculer P1 + P2, P2 + P3 et P1 * P3.
4) Factorisation par x – a
Théorème (admis)
Soit P un polynôme et a un réel, si P(a) = 0, on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P = (x – a)Q.
De plus, si P est de degré n, Q sera de degré n – 1.
Exemples :
P(x) = x3 – 7x2 + x + 18 : Calculer P(2) puis factoriser P(x)
x3 – 7x2 + x + 18 = (x - 2)( ax2 + bx + c) = ax3 + (b – 2a)x2 + (c – 2b)x - 2c
a = 1 Q(x) = 5x???
b - 2a = -7 d'où b = -5
c - 2b = 1 d'où c = -9
-2c = 18 d'où c = -9 (ceci permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé !).
Donc, P(x) = (x – 2)(x2 -5x – 9) (ne pas oublier de conclure ainsi !).
Même question avec Q(x) = 5x3 - 4x2 + 3x – 4 en calculant Q(1).
B) Résolution de l'équation du second degré
1) Définitions
On appelle équation du second degré une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont
trois réels donnés, avec a différent de 0.
Résoudre l'équation, c'est trouver tous les nombres tels que cette égalité soit vraie.
Ces nombres sont appelés "solutions" de l'équation ou "racines" du polynôme (on peut aussi dire
racines de l'équation, mais attention aux inéquations!).
2) Résolution
Soit l'équation ax² + bx + c = 0, avec a non nul.
On calcule Δ = b² – 4ac. Δ s'appelle le discriminant.
Si Δ < 0, il n'y a pas de solutions.
Si Δ = 0, il y a une solution unique
x1=−b
2a
, qu'on appelle "racine double".
Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes
x1=−b−
√
Δ
2a et x2=−b+
√
Δ
2a
Démonstration :
On a :
ax²bxc = ax² b
axc a = a[ xb 2a 
2
−b²
4a² c a] = a[ xb 2a 
2
−b²−4ac
4a² ]
,
car en effet :
xb
2a 
2
= x²2b
2a x b 2a
2
= x²b
axb² 4a²
.
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En posant Δ = b² – 4ac, on voit alors que l'égalité ne peut être vraie que si Δ >= 0, auquel cas
on peut alors utiliser l'identité remarquable a² – b² = (a – b)(a + b) et en déduire que
ax²bxc = a[ xb
2a − 2a  xb 2a 2a ] = ax−−b− 2a  x−−b 2a 
.
Comme un produit est nul si et seulement si l'un de ses termes est nul, on voit que l'équation est
vérifiée lorsque x prend une des deux valeurs ci-dessus, qui sont égales si Δ = 0.
CQFD
Remarque :
On a aussi démontré, lorsque Δ > 0, que le polynôme ax² + bx + c peut s'écrire a(x – x1)(x – x2) où
x1 et x2 sont les deux racines vues ci-dessus.
De même, si Δ = 0, ax² + bx + c peut s'écrire
ax – b
2a 
2
3) Compléments
a) Équations incomplètes
Dans ces cas il est inutile et même maladroit (à cause du risque d'erreur) de calculer Δ et d’utiliser
les formules ci-dessus :
Si b = 0 Exemple x² – 7 = 0 (donc x² = 7 )
x= 7 ou − 7
Si c = 0 Exemple x² – 2x = 0 (donc x(x -2) = 0)
x=0 ou x=2
b) Somme et produit des racines
x1x2=−b
a
et
x1x2=c
a
(vérifiez le vous-mêmes à partir des formules !)
Conséquences :
- Lorsqu'on connaît déjà une racine, on peut facilement trouver la deuxième grâce à la somme ou au
produit ci-dessus !
- L'équation ax² + bx + c = 0 est équivalente à l'équation x² – Sx + P = 0, où S et P sont
respectivement la somme et le produit des racines (attention, ces deux polynômes ne sont pas égaux
pour autant).
Exemples :
- Trouver l'autre racine de P(x) = x² – 7x + 6 (1 est racine évidente).
- Trouver x et y sachant que x + y = 15 et x y = 14.
c) Signe de Δ
Lorsque a et c sont des signes contraires, ac < O donc on a a Δ > O et on est sûr de trouver deux
racines distinctes.
d) Vocabulaire
- On appelle aussi "trinôme" un polynôme du second degré.
C) Signe du trinôme
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1) Factorisation
Comme on l'a vu en A), si f(x) = ax² + bx +c :
si Δ > 0, on aura deux racines x1 et x2, et l'identité
fx=ax – x1 x – x2
.
Si Δ = 0, on aura une racine double x1 et
fx=ax – x1²
.
Si Δ < 0 , on n’a pas de racines réelles et
f(x)=a
[
(x+b
2a )
2
−Δ
4a²
]
.
2) Signe du trinôme
Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de a.
Si Δ = 0, f(x) est du signe de a sauf lorsque
x=−b
2a
, qui donne f(x) = 0
Si Δ > 0, f(x) sera du signe de a en dehors des racines, et du signe contraire entre les racines.
Démonstration
- Si Δ > 0, on peut factoriser donc faire un tableau de signes :
Tableau de signes
x -∞ x1 x2 +∞
(x - x1)- + +
(x - x2)- - +
f(x) Signe de + a Signe de – a Signe de + a
- Si Δ < 0, on a - Δ > 0 donc
xb
2a 
2
−
4a² > 0
et f(x) toujours du signe de a.
>= 0 > 0
- Si Δ = 0,
fx=ax – x1²
donc f(x) du signe de a, sauf pour x = x1 auquel cas f(x) = 0.
3) Application
Lorsqu'on a une inéquation du second degré, donc du type ax² + bx + c < 0 ou ax² + bx + c > 0, il
suffit de calculer Δ et d'en déduire le signe de f(x) en fonction du signe de a et de la position de x
par rapport aux racines (lorsqu'il y en a).
Exemples :
Résoudre les inéquations :
a) 2x² + 3x – 1 > 0
b) 5x² + 2x + 4 < 0
c) -4x² + 1 > 0
d) 3x² -2x -1 < 0
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D) Équations de degré supérieur à 2
Il existe des méthodes de résolution pour les équations polynomiales de degré 3 et 4, mais il est
impossible de donner une expression générale à base de racines et d’opérations simples des
solutions des équations de degré supérieur à 4 (cela a été démontré en 1823 par Abel).
Par contre, si on connaît déjà une solution dans une équation de degré 3, on peut trouver les autres
grâce au théorème vu en A4).
De même les équations "bicarrées", c’est à dire comprenant uniquement des termes en x4, en x² et
une constante, peuvent se ramener à une séquence de deux équation du second degré.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
a) x4 – 3x² +2 = 0
b) x4 + 5x² – 6 = 0
c) x3 – 3x² + 4x – 2 = 0
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