Chapitre 1 – Le second degré

Cours de Mathématiques – Première STI2D – Chapitre 1 : Le second degré
Chapitre 1 – Le Second Degré
A) Résolution de l'équation du second degré
1) Définitions
On appelle polynôme de second degré l’expression a x² + b x + c (avec a non nul).
On appelle équation du second degré une équation de la forme a x² + b x + c = 0, où a, b et c sont
trois réels donnés, avec a différent de 0.
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x telles qui rendent cette égalité vraie.
Ces nombres sont appelés "solutions de l'équation ou "racines du polynôme" (on peut aussi dire par
abus de langage racines de l'équation).
2) Cas particuliers (rappel de seconde)
a) Si c = 0
On peut mettre x en facteur, d'où x (a x + b) = 0, ce qui donne x = 0 ou ax + b = 0, soit:
x = 0 ou x = -b / a
b) Si b = 0
On a alors a x² + c = 0, soit a x² = - c, d'où on en déduit que x² = - c / a car on a vu que a ≠ 0.
Il y a alors deux cas :
- Si - c / a < 0, alors il n'y a pas de solution (un carré ne peut pas être négatif)
- Si - c / a > 0, on a deux solutions x =
√
√
−c
−c
ou x =−
a
a .
c) Exemples
Résoudre :
2x² -3x = 0
x² – 4 = 0
2x² + 7 = 0
5x² – 3 = 0
3) Cas général
Soit l'équation ax² + bx + c = 0, avec a non nul.
On calcule Δ = b² – 4ac.
Δ s'appelle le discriminant de l'équation.
Si Δ < 0, il n'y a pas de solution.
−b
, qu'on appelle "racine double".
2a
−b− √ Δ
−b+ √ Δ
et x 2=
Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x 1 =
2a
2a
Si Δ = 0, il y a une solution unique x 1 =
Démonstration :
Le but est de se ramener à une équation de la forme X² = A où X = p x + q et A,p et q des
constantes.
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(
(
Or on a par l'identité remarquable :
b
x+
2a
On a donc en posant Δ = b² – 4 a c :
2
b
b² c
a x 2 +bx + c=a x+
−
+ =a
2a
4 a² a
[( )
)
2
2
= x² +
b
b²
.
x+
a
4 a²
] [( ) ]
] [( )
2
x+
)
( )
b
c
x+
a
a
b
b
= x² +2
x+
2a
2a
On peut donc écrire puisque a ≠ 0 : ax² +bx+c = a x² +
b
b²−4ac
−
=a
2a
4 a²
2
x+
b
− Δ2
2a
4a
On voit alors que l'égalité ax² + bx + c = 0 ne peut être vraie que si Δ >= 0 (car 4 a² >0).
Dans ce cas on peut utiliser l'identité remarquable a² – b² = (a – b)(a + b) et en déduire que :
b √Δ
b √Δ
−b− √ Δ
−b+ √ Δ
ax² +bx+c = a
[(
x+
2a
−
2a
)( x + 2 a + 2 a )] = a( x−
2a
)( x−
2a
)
.
Comme un produit est nul si et seulement si l'un de ses termes est nul, on voit que l'équation est
vérifiée lorsque x prend une des deux valeurs ci-dessus, qui sont égales si Δ = 0... CQFD.
Remarques :
. On a aussi démontré, lorsque Δ > 0, que le polynôme ax² + bx + c peut s'écrire a(x – x1)(x – x2) où
x1 et x2 sont les deux racines vues ci-dessus.
(
b
. De même, si Δ = 0, a x² + b x + c peut s'écrire a x –
2a
. l'expression a
[( )
2
b
b² −4ac
x+
−
2
2a
4a
]
2
)
est la FORME CANONIQUE de a x² + b x + c.
3) Exemples
Résoudre les équations suivantes :
a) x² – 9x + 8 = 0
(x = 1 ou x = 8)
b) 2x² + 3x + 1 = 0
(x = -1 ou x = -0,5)
c) x² + 8x – 2 = 0
( x=−4 – 3 √ 2 ou x=−4 + 3 √ 2)
4) Compléments
a) Équations incomplètes (b=0 ou c=0)
Dans ces cas il est inutile et même maladroit (à cause du risque d'erreur) de calculer Δ et d’utiliser
les formules ci-dessus. On utilisera alors :
d ' où x= √ 7 ou − √ 7 .
Si b = 0 :
Exemple x² – 7 = 0
donc x² = 7
Si c = 0 :
Exemple x² – 2x = 0
donc x (x -2) = 0 d ' où x=0 ou x=2 .
b) Somme et produit des racines
x1  x 2 =
−b
a
et
x1 x 2 =
c
a
(vérifiez le vous-mêmes à partir des formules !)
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Conséquences :
- Lorsqu'on connaît déjà une racine, on peut facilement trouver la deuxième grâce à la somme ou au
produit ci-dessus !
- L'équation ax² + bx + c = 0 est équivalente à l'équation x² – Sx + P = 0, où S et P sont
respectivement la somme et le produit des racines (attention, ces deux polynômes ne sont pas égaux
pour autant).
Exemples :
- Trouver l'autre racine de P(x) = x² – 7x + 6 (1 est racine évidente).
- Trouver x et y sachant que x + y = 15 et x y = 14.
c) Signe de Δ
Lorsque a et c sont des signes contraires, ac < O donc on a a Δ > O et on est sûr de trouver deux
racines distinctes.
d) Vocabulaire
- On appelle aussi "trinôme" un polynôme du second degré.
B) Signe du trinôme
1) Factorisation
Comme on l'a vu en A), si f(x) = a x² + b x +c :
si Δ > 0, on aura deux racines x1 et x2, et l'identité
Si Δ = 0, on aura une racine double x1 et
Si Δ < 0 , on n’a pas de racines réelles et
f  x =a x – x1  x – x 2  .
f  x =a x – x1 ² .
b 2 Δ
.
f ( x )=a ( x + ) −
2a
4 a²
[
]
2) Signe du trinôme
Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de a.
Si Δ = 0, f(x) est du signe de a sauf lorsque x =
−b
, qui donne f(x) = 0
2a
Si Δ > 0, f(x) sera du signe de a en dehors des racines, et du signe contraire entre les racines.
Démonstration
- Si Δ > 0, on peut factoriser donc faire un tableau de signes :
Tableau de signes
x
-∞
x1
x2
+∞
(x - x1)
-
+
+
(x - x2)
-
-
+
(x – x1) (x - x2)
+
-
+
f(x)
Signe de a
Signe de – a
Signe de a
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2
- Si Δ < 0, on a - Δ > 0 donc ( x +
>= 0
b
) − Δ > 0 et f(x) toujours du signe de a.
2a
4 a²
>0
- Si Δ = 0, f  x =a x – x1 ² donc f(x) du signe de a, sauf pour x = x1 auquel cas f(x) = 0.
3) Application
Lorsqu'on a une inéquation du second degré, donc du type a x² + b x + c < 0 ou a x² + b x + c > 0,
il suffit de calculer Δ et d'en déduire le signe de f(x) en fonction du signe de a et de la position de x
par rapport aux racines (lorsqu'il y en a).
Exemples :
Résoudre les inéquations :
a) 2x² + 3x – 1 > 0
b) 5x² + 2x + 4 < 0
c) -4x² + 1 > 0
d) 3x² -2x -1 < 0
C) Courbe représentative de la fonction polynôme f(x) = a x² + b x + c
1) Forme générale
Ces courbes s'appellent des paraboles comme la courbe de f(x) = x².
Selon les valeurs de a, b et c, la parabole sera décalée et déformée.
2) Position du sommet
2
−b et à l'ordonnée f (α)=− b – 4 a c .
Le sommet de la parabole correspond à l'abscisse α=
4a
2a
Vérifiez cette valeur en remplaçant x par α dans la forme canonique du trinôme.
3) Orientation et forme
Selon le signe de a, la parabole ses branches vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0).
Selon la valeur absolue de a, la parabole sera plus étroite (|a| grand) ou plus large (|a| petit).
4) Intersections avec l'axe des abscisses
Si le discriminant est négatif, pas d'intersection. S'il est positif, deux intersections et s'il est nul, seul
le sommet sera sur l'axe des abscisses.
En effet, ces points correspondent aux abscisses pour lesquelles le trinôme s'annule, qui sont les
racines du polynôme.
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5) Exemples de courbes
D) Les Polynômes
1) Définitions
On appelle monôme une expression de la forme an × xn, où an est un réel non nul et n est un entier
naturel (n >= 0).
Un polynôme est une somme de monômes, soit P(x) = an xn + an-1 xn -1 + … + a1 x + a0 .
On appelle degré de P le degré de son monôme de plus haut degré (ici, c'est n).
On appelle coefficient de rang i le coefficient de xi dans le polynôme (noté ai).
Exemples
P1 = 2x2 - 3x 3 + x2 – 4x – 2 + 3x – 5
P2 = x5 – x3 + x4 – 2 x2 + x5 +1
On appelle fonction polynôme correspondant à P la fonction qui à tout x fait correspondre la valeur
P(x) prise par P quand on remplace x par sa valeur dans l’expression de P.
On appelle polynôme réduit un polynôme où l'on a regroupé les monômes de même degré et où on
les a triés du plus grand au plus petit degré.
Exemples (réduction des deux exemples précédents)
P1 = -3x 3 + 3x2 – x – 7
P2 = 2x5 + x4 – x3 – 2 x2 +1
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2) Égalité de deux polynômes
Deux polynômes sont égaux si les fonctions polynômes correspondantes sont égales : P = Q si et
seulement si ∀ x , P  x=Q x .
Théorème (admis) :
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs formes réduites sont identiques.
Exemple :
Soit Q = P1 ci-dessus et Q= ax3 + bx2 + cx + d :
Alors, on aura a = - 3, b = 3, c = - 1 et d = - 7.
Application :
Soit Q = ax2 + bx + c.
Déterminer les valeurs de a, b et c pour que l'on ait :
(x – 1) Q = x3 + 2x2 – 6 x + 3.
3 Somme algébrique, produit et quotient de polynômes
La somme algébrique de deux polynômes a un degré inférieur ou égal au degré le plus haut des
deux polynômes.
Le produit de deux polynômes a comme degré la somme des degrés des deux polynômes.
Le quotient de deux polynômes n'est en général pas un polynôme. On dit alors que c'est une fraction
rationnelle et la fonction correspondante est une fonction rationnelle.
Exemples :
Soit P3 = -2x5 +7 et les P1 et P2 précédents : calculer P1 + P2, P2 + P3 et P1 * P3.
4) Factorisation par x – a
Théorème (admis)
Soit P un polynôme et a un réel, si P(a) = 0, on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P = (x – a) Q.
De plus, si P est de degré n, Q sera de degré n – 1.
Exemples :
P(x) = x3 – 7x2 + x + 18 : Calculer P(2) puis factoriser P(x)
x3 – 7x2 + x + 18 = (x - 2)( ax2 + bx + c) = ax3 + (b – 2a)x2 + (c – 2b)x - 2c
a=1
Q(x) = 5x???
b - 2a = -7 d'où b = -5
c - 2b = 1 d'où c = -9
-2c = 18 d'où c = -9
(ceci permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé !).
Donc, P(x) = (x – 2)(x2 -5x – 9) (ne pas oublier de conclure ainsi !).
Même question avec Q(x) = 5x3 - 4x2 + 3x – 4 en calculant Q(1).
E) Équations de degré supérieur à 2
Il existe des méthodes de résolution pour les équations polynomiales de degré 3 et 4, mais il est
impossible de donner une expression générale à base de racines et d’opérations simples des
solutions des équations de degré supérieur à 4 (cela a été démontré en 1823 par le mathématicien
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Abel).
Par contre, si on connaît déjà une solution dans une équation de degré n, on peut pour les autres se
ramener à une équation de degré n - 1 grâce au théorème vu en A4.
De même les équations "bicarrées", c’est à dire comprenant uniquement des termes en x4, en x² et
une constante, peuvent se ramener à une séquence de deux équations du second degré.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
a) x4 – 3x² +2 = 0
b) x4 + 5x² – 6 = 0
c) x3 – 3x² + 4x – 2 = 0
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Fiche de révision page 1/2
Résolution générale de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0 :
On calcule Δ = b² – 4ac.
Δ s'appelle le discriminant.
Si Δ < 0, il n'y a pas de solutions.
−b
, qu'on appelle "racine double".
2a
−b− √ Δ
−b+ √ Δ
et x 2=
Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x 1 =
2a
2a
Si Δ = 0, il y a une solution unique x 1 =
On a aussi :
S=x1 +x 2=−
b
a
P=x 1×x 2=
et
c
a
avec : x² – Sx + P = 0
Signe du trinôme
Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de a.
Si Δ = 0, f(x) est du signe de a sauf lorsque x =
−b
, qui donne f(x) = 0
2a
Si Δ > 0, f(x) sera du signe de a en dehors des racines, et du signe contraire entre
les racines.
Forme canonique du trinôme du second degré f(x) = a x² + b x + c :
[( )
b
x+
2a
2
]
2
b – 4a c
–
f(x) = a
ou encore :
2
4a
b
Δ
b2 – 4 a c
α=−
f(x) = a (x – α)² + β avec
et β=f (α)=− =−
2a
4a
4a
Tableau de variation du trinôme du second degré ax² + bx +c
si a < 0 :
x
-∞
α=−
β=−
a x² + b x + c
b
2a
+∞
b2 – 4 a c
4a
si a > 0 :
x
-∞
α=−
b
2a
a x² + b x + c
β=−
b2 – 4 a c
4a
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Fiche de révision page 2/2
Représentation graphique des polynômes du second degré
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