Chapitre 1 – Le second degré

Cours de Mathématiques – Première STI2D – Chapitre 1 : Le second degré
Chapitre 1 – Le Second D egré
A) Résolution de l'équation du second degré
1) Définitions
On appelle polynôme de second degré l’expression a x² + b x + c (avec a non nul).
On appelle équation du second degré une équation de la forme a x² + b x + c = 0, où a, b et c sont
trois réels donnés, avec a différent de 0.
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x telles qui rendent cette égalité vraie.
Ces nombres sont appelés "solutions de l'équation ou "racines du polynôme" (on peut aussi dire par
abus de langage racines de l'équation).
2) Cas particuliers (rappel de seconde)
a) Si c = 0
On peut mettre x en facteur, d'où x (a x + b) = 0, ce qui donne x = 0 ou ax + b = 0, soit:
x = 0 ou x = -b / a
b) Si b = 0
On a alors a x² + c = 0, soit a x² = - c, d'où on en déduit que x² = - c / a car on a vu que a ≠ 0.
Il y a alors deux cas :
- Si - c / a < 0, alors il n'y a pas de solution (un carré ne peut pas être négatif)
- Si - c / a > 0, on a deux solutions
x=
√
−c
a ou x=− √
−c
a
.
c) Exemples
Résoudre :
2x² -3x = 0 x² – 4 = 0
2x² + 7 = 0 5x² – 3 = 0
3) Cas général
Soit l'équation ax² + bx + c = 0, avec a non nul.
On calcule Δ = b² – 4ac. Δ s'appelle le discriminant de l'équation.
Si Δ < 0, il n'y a pas de solution.
Si Δ = 0, il y a une solution unique
x1=−b
2a
, qu'on appelle "racine double".
Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes
x1=−b−
√
Δ
2a et x2=−b+
√
Δ
2a
Démonstration :
Le but est de se ramener à une équation de la forme X² = A où X = p x + q et A,p et q des
constantes.
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On peut donc écrire puisque a ≠ 0 :
ax² +bx+c = a
(
x² +b
ax+c a
)
Or on a par l'identité remarquable :
(
x+b
2a
)
2
= x²+2b
2ax+
(
b
2a
)
2
= x²+b
ax+b² 4a²
.
On a donc en posant Δ = b² – 4 a c :
a x2+bx+c=a
[
(
x+b
2a
)
2
−b²
4a² +c a
]
=a
[
(
x+b
2a
)
2
−b²−4ac
4a²
]
=a
[
(
x+b
2a
)
2
−Δ
4a2
]
On voit alors que l'égalité ax² + bx + c = 0 ne peut être vraie que si Δ >= 0 (car 4 a² >0).
Dans ce cas on peut utiliser l'identité remarquable a² – b² = (a – b)(a + b) et en déduire que :
ax² +bx+c = a
[
(
x+b
2a−
√ Δ
2a
)(
x+b
2a+
√ Δ
2a
)
]
= a
(
x−−b−
√ Δ
2a
)(
x−−b+
√ Δ
2a
)
.
Comme un produit est nul si et seulement si l'un de ses termes est nul, on voit que l'équation est
vérifiée lorsque x prend une des deux valeurs ci-dessus, qui sont égales si Δ = 0... CQFD.
Remarques :
. On a aussi démontré, lorsque Δ > 0, que le polynôme ax² + bx + c peut s'écrire a(x – x1)(x – x2) où
x1 et x2 sont les deux racines vues ci-dessus.
. De même, si Δ = 0, a x² + b x + c peut s'écrire
a
(
x – b
2a
)
2
. l'expression
a
[
(
x+b
2a
)
2
−b²−4ac
4a2
]
est la FORME CANONIQUE de a x² + b x + c.
3) Exemples
Résoudre les équations suivantes :
a) x² – 9x + 8 = 0 (x = 1 ou x = 8)
b) 2x² + 3x + 1 = 0 (x = -1 ou x = -0,5)
c) x² + 8x – 2 = 0
(x=−4 – 3
√
2 ou x=−4+3
√
2)
4) Compléments
a) Équations incomplètes (b=0 ou c=0)
Dans ces cas il est inutile et même maladroit (à cause du risque d'erreur) de calculer Δ et d’utiliser
les formules ci-dessus. On utilisera alors :
Si b = 0 : Exemple x² – 7 = 0 donc x² = 7
d ' où x=
√
7 ou −
√
7 .
Si c = 0 : Exemple x² – 2x = 0 donc x (x -2) = 0
d ' où x=0 ou x=2 .
b) Somme et produit des racines
x1x2=−b
a
et
x1x2=c
a
(vérifiez le vous-mêmes à partir des formules !)
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Conséquences :
- Lorsqu'on connaît déjà une racine, on peut facilement trouver la deuxième grâce à la somme ou au
produit ci-dessus !
- L'équation ax² + bx + c = 0 est équivalente à l'équation x² – Sx + P = 0, où S et P sont
respectivement la somme et le produit des racines (attention, ces deux polynômes ne sont pas égaux
pour autant).
Exemples :
- Trouver l'autre racine de P(x) = x² – 7x + 6 (1 est racine évidente).
- Trouver x et y sachant que x + y = 15 et x y = 14.
c) Signe de Δ
Lorsque a et c sont des signes contraires, ac < O donc on a a Δ > O et on est sûr de trouver deux
racines distinctes.
d) Vocabulaire
- On appelle aussi "trinôme" un polynôme du second degré.
B) Signe du trinôme
1) Factorisation
Comme on l'a vu en A), si f(x) = a x² + b x +c :
si Δ > 0, on aura deux racines x1 et x2, et l'identité
fx=ax – x1 x – x 2
.
Si Δ = 0, on aura une racine double x1 et
fx=ax – x1²
.
Si Δ < 0 , on n’a pas de racines réelles et
f(x)=a
[
(x+b
2a)
2
−Δ
4a²
]
.
2) Signe du trinôme
Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de a.
Si Δ = 0, f(x) est du signe de a sauf lorsque
x=−b
2a
, qui donne f(x) = 0
Si Δ > 0, f(x) sera du signe de a en dehors des racines, et du signe contraire entre les racines.
Démonstration
- Si Δ > 0, on peut factoriser donc faire un tableau de signes :
Tableau de signes
x -∞ x1 x2 +∞
(x - x1) - + +
(x - x2) - - +
(x – x1) (x - x2) + - +
f(x) Signe de a Signe de – a Signe de a
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- Si Δ < 0, on a - Δ > 0 donc
(x+b
2a)
2
−Δ
4a² > 0
et f(x) toujours du signe de a.
>= 0 > 0
- Si Δ = 0,
fx=ax – x1²
donc f(x) du signe de a, sauf pour x = x1 auquel cas f(x) = 0.
3) Application
Lorsqu'on a une inéquation du second degré, donc du type a x² + b x + c < 0 ou a x² + b x + c > 0,
il suffit de calculer Δ et d'en déduire le signe de f(x) en fonction du signe de a et de la position de x
par rapport aux racines (lorsqu'il y en a).
Exemples :
Résoudre les inéquations :
a) 2x² + 3x – 1 > 0
b) 5x² + 2x + 4 < 0
c) -4x² + 1 > 0
d) 3x² -2x -1 < 0
C) Courbe représentative de la fonction polynôme f(x) = a x² + b x + c
1) Forme générale
Ces courbes s'appellent des paraboles comme la courbe de f(x) = x².
Selon les valeurs de a, b et c, la parabole sera décalée et déformée.
2) Position du sommet
Le sommet de la parabole correspond à l'abscisse
α=−b
2a
et à l'ordonnée
f(α)=−b2–4a c
4a
.
Vérifiez cette valeur en remplaçant x par α dans la forme canonique du trinôme.
3) Orientation et forme
Selon le signe de a, la parabole ses branches vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0).
Selon la valeur absolue de a, la parabole sera plus étroite (|a| grand) ou plus large (|a| petit).
4) Intersections avec l'axe des abscisses
Si le discriminant est négatif, pas d'intersection. S'il est positif, deux intersections et s'il est nul, seul
le sommet sera sur l'axe des abscisses.
En effet, ces points correspondent aux abscisses pour lesquelles le trinôme s'annule, qui sont les
racines du polynôme.
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5) Exemples de courbes
D) Les Polynômes
1) Définitions
On appelle monôme une expression de la forme an × xn, où an est un réel non nul et n est un entier
naturel (n >= 0).
Un polynôme est une somme de monômes, soit P(x) = an xn + an-1 xn -1 + … + a1 x + a0 .
On appelle degré de P le degré de son monôme de plus haut degré (ici, c'est n).
On appelle coefficient de rang i le coefficient de xi dans le polynôme (noté ai).
Exemples
P1 = 2x2 - 3x 3 + x2 – 4x – 2 + 3x – 5
P2 = x5 – x3 + x4 – 2 x2 + x5 +1
On appelle fonction polynôme correspondant à P la fonction qui à tout x fait correspondre la valeur
P(x) prise par P quand on remplace x par sa valeur dans l’expression de P.
On appelle polynôme réduit un polynôme où l'on a regroupé les monômes de même degré et où on
les a triés du plus grand au plus petit degré.
Exemples (réduction des deux exemples précédents)
P1 = -3x 3 + 3x2 – x – 7
P2 = 2x5 + x4 – x3 – 2 x2 +1
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