MINIMUM VITAL SUR LES FONCTIONS

MINIMUM VITAL SUR LES FONCTIONS (SECONDE)
1 ) Equations
La fonction f représentée ci-contre est définie sur
 2 ; 4. M a ; b  C f  b  f a  ,
Autrement dit :
un point M a ; b est sur C f , la représentation
graphique de f si et seulement si b  f a  .
y  1 est le minimum de f , atteint au point x  1.
( et ci-dessous 2 est le maximum de g , atteint au
point 0.)
2  f  1  f 3  2 est l’image de  1 et de 3.
 1 et 3 sont les antécédents de 2
 1 et 3 sont les solutions de l’équation f x  2 .
On l’écrit parfois S1   1 ; 3.
2 ) Tableaux
-2 -1 0
1 2
3 4
x
f x 3.3 2 1.2 1 1.2 2 3.3
x
-2
f x 3.3
1
est le tableau de valeurs de pas 1 de cette fonction.
4
3.3
est le tableau de variations de f .
1
3 ) Inéquations
f x  2 : S 2   1 ; 3 .
f x   2 : S 3   2 ;  1  3 ; 4 .
Avec  ou  , les intervalles des solutions sont ouverts.
Avec  ou  , ils sont fermés (leurs extrémités sont des solutions).
4 ) Equations ou inéquations avec deux
fonctions
f x   g x  : S1  u ; v.
f x   g x  : S 2  u ; v .
f x   g x  : S 3  u ; v .
5 ) Fonctions affines
Ce sont les plus simples, du type f x  a x  b . Elles sont représentées par des droites.
On peut (souvent) lire les nombres a et
b sur le dessin de la fonction :
a est le coefficient directeur de la
droite.
b = f ( 0 ) est l’ ordonnée à l’origine
de la droite.
f x   b
( -a > 0)
Dans les dessins ci-dessus, on avait b > 0.
On peut évidemment avoir b < 0.
(voir les dessins ci-contre)
On peut par ailleurs avoir b = 0 :
f x   a x .
Le tableau de valeurs de f est
alors un tableau de
proportionnalité.
.a
x
f x 
..
..
…
…
On dit parfois que f est linéaire.
Remarque 1 : quand on connaît deux points d’une droite (non
verticale), on peut calculer a :
a y  yA
Le théorème de Thalès dans ABC donne : a   B
.
1 xB  x A
( l’illustration ci-contre n’étant valable que si x A  x B et y A  y B )
Remarque 2 : les deux questions qui suivent sont identiques.
1 ) Trouver la fonction affine f , f x  a x  b , vérifiant f 2  5 et f 4  12 .
2 ) Trouver l’équation (réduite) de la droite (AB), y  a x  b , avec A 2 ; 5 et B 4 ; 12 .
Il s’agit dans les deux cas de résoudre le système de deux équations à deux inconnues :
 2a  b  5 (1)
.

4a  b  12 (2)
Première façon : combinaison : on « combine » les deux équations :
on soustrait (on dit : membre à membre) l’équation (2) de la (1) : 2a  4a  5  12 .
On trouve alors facilement a  7 / 2  3.5 et on remplace a par 3.5 dans la (1) : 7  b  5 …
ou bien
Deuxième façon : substitution : on écrit b  5  2a avec (1) puis on remplace (« substitue ») b
par 5  2a dans (2) : 4a  (5  2a)  12 .
On trouve alors a  3.5 et on finit comme avec la première façon .
Puisque a  3.5 et b  2 , les réponses, sont :
1 ) : f x  3,5x  2
2 ) : y  3,5 x  2 .