MINIMUM VITAL SUR LES FONCTIONS

MINIMUM VITAL SUR LES FONCTIONS (SECONDE)
1 ) Equations
La fonction
f
représentée ci-contre est définie sur
4;2
.
afbCbaM f;
,
Autrement dit :
un point
baM ;
est sur
f
C
, la représentation
graphique de
f
si et seulement si
afb 
.
1y
est le minimum de
f
, atteint au point
1x
.
( et ci-dessous 2 est le maximum de
g
, atteint au
point 0.)
 312 ff
2 est l’image de
1
et de 3.
1
et 3 sont les antécédents de 2
1
et 3 sont les solutions de l’équation
2xf
.
On l’écrit parfois
3;1
1S
.
2 ) Tableaux
x
-2
-1
0
1
2
3
4
xf
3.3
2
1.2
1
1.2
2
3.3
est le tableau de valeurs de pas 1 de cette fonction.
x
- 2 1 4
xf
3.3 3.3
1
est le tableau de variations de
f
.
3 ) Inéquations
2xf
:
3;1
2S
.
2xf
:
4;31;2
3S
.
Avec ou , les intervalles des solutions sont ouverts.
Avec ou , ils sont fermés (leurs extrémités sont des solutions).
5 ) Fonctions affines
Ce sont les plus simples, du type
bxaxf 
. Elles sont représentées par des droites.
4 ) Equations ou inéquations avec deux
fonctions
xgxf 
:
vuS ;
1
.
xgxf 
:
vuS ;
2
.
xgxf 
:
vuS ;
3
.

On peut (souvent) lire les nombres a et
b sur le dessin de la fonction :
a est le coefficient directeur de la
droite.
b = f ( 0 ) est l’ ordonnée à l’origine
de la droite.
( -a > 0)
bxf 
Dans les dessins ci-dessus, on avait b > 0.
On peut évidemment avoir b < 0.
(voir les dessins ci-contre)
On peut par ailleurs avoir b = 0 :
xaxf 
.
Le tableau de valeurs de
f
est
alors un tableau de
proportionnalité.
a.
On dit parfois que
f
est linéaire.
x
..
…
xf
..
…
Remarque 1 : quand on connaît deux points d’une droite (non
verticale), on peut calculer
a
:
Le théorème de Thalès dans ABC donne :
AB
AB xx yy
a
a  1
.
( l’illustration ci-contre n’étant valable que si
BA xx 
et
BA yy 
)
Remarque 2 : les deux questions qui suivent sont identiques.
1 ) Trouver la fonction affine
f
,
bxaxf 
, vérifiant
52 f
et
124f
.
2 ) Trouver l’équation (réduite) de la droite (AB),
bxay 
, avec A
5;2
et B
12;4
.
Il s’agit dans les deux cas de résoudre le système de deux équations à deux inconnues :
)2(124
)1(52
ba
ba
.
Première façon : combinaison : on « combine » les deux équations :
on soustrait (on dit : membre à membre) l’équation (2) de la (1) :
12542  aa
.
On trouve alors facilement
5.32/7 a
et on remplace
a
par 3.5 dans la (1) :
57 b
…
ou bien
Deuxième façon : substitution : on écrit
ab 25
avec (1) puis on remplace (« substitue »)
b
par
a25
dans (2) :
12)25(4  aa
.
On trouve alors
5.3a
et on finit comme avec la première façon .
Puisque
5.3a
et
2b
, les réponses, sont : 1 ) :
25,3  xxf
2 ) :
25,3  xy
.