DEVOIR DE MATHÉMATIQUES

T Ba MVABP
22 septembre 2003
DEVOIR DE MATHÉMATIQUES
I- Résoudre dans IR, par la méthode du discriminant, les équations suivantes :
1)
x 2 + 3x – 4 = 0
2)
3x 2 + x + 10 = 0
3)
x 2 – 12x + 36 = 0
II- Factoriser les polynômes P(x) suivants dont on donne les racines (les solutions de P(x) = 0).
1)
P(x) = x 2 – x – 6
S={–2;3}
2)
P(x) = 9x 2 + 6x + 1
1
S={– }
3
III- Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de P(x).
1)
P(x) = x 2 – 3x – 4
2)
P(x) = – 5x 2 + 2x + 3
Aide : il faudra successivement résoudre P(x) = 0, mettre sous forme d'un produit de facteurs P(x),
puis dresser un tableau de signes.
IV- 1) Résoudre graphiquement dans IR l'équation : x 2 – 3 x – 4 = 0.
2) Résoudre graphiquement l'inéquation : x 2 – 3 x – 4 < 0
y
5
y = x2 – 3 x – 4
1
-1
0
1
2
3
4
x
-5
V- Résoudre dans IR les équations suivantes sans utiliser la méthode du discriminant.
1)
(x – 7) (x + 9) = 0
4)
x 2 – 49 = 0
2)
(x + 3) (x – 7) (2x – 1) = 0
5)
x 2 – 2x + 1 = 0
3)
x 2 – 16x = 0
PhG-Maths
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Correction du devoir
I- Résoudre dans IR par la méthode du discriminant
1)
x 2 + 3x – 4 = 0
 = 25
S={–4;1}
2)
3x 2 + x + 10 = 0
 = – 119
S=
3)
x 2 – 12x + 36 = 0
=0
S = {6}
II- Factoriser les polynômes P(x) suivants dont on donne les racines (les solutions de P(x) = 0).
1)
P(x) = x 2 – x – 6
S={–2;3}
P(x) = (x + 2) (x – 3)
2)
P(x) = 9x 2 + 6x + 1
1
S={– }
3
1
P(x) = 9 (x + ) 2
3
III- Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de P(x).
1)
P(x) = x 2 – 3x – 4
 = 25
x 2 – 3x – 4 = 0
a) Résolution de P(x) = 0
soit
b) Factorisation de P(x)
P(x) = (x + 1) (x – 4)
S={–1;4}
c) Étude du signe de P(x)
-
x
–1
x+1
–
x–4
–
P(x)
+
0
+
0
+
4
+
–
0
+
–
0
+
Le polynôme P(x) est de signe négatif entre ses racines – 1 et 4.
2)
P(x) = – 5x 2 + 2x + 3
 = 64
– 5x 2 + 2x + 3 = 0
a) Résolution de P(x) = 0
soit
b) Factorisation de P(x)
3
P(x) = – 5 (x + ) (x – 1)
5
3
S = { – ; 1}
5
c) Étude du signe de P(x)
-
x
–5
–
–
3
5
–
x–1
–
P(x)
–
x+
3
5
0
0
+
1
–
–
+
+
–
0
+
+
0
–
Le polynôme P(x) est de signe positif entre ses racines –
PhG-Maths
3
et 1.
5
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IV- Résolution graphique
1) x 2 – 3 x – 4 = 0
Les racines sont l'abscisse des points d'intersection de la courbe d'équation y = x 2 – 3 x – 4 et de
S={–1;4}
l'axe des abscisses d'équation y = 0.
2) x 2 – 3 x – 4 < 0
Les solutions sont l'abscisse des points de la courbe d'équation y = x 2 – 3 x – 4 en dessous de l'axe
x]–1;4[
des abscisses
V- Résoudre dans IR les équations suivantes sans utiliser la méthode du discriminant.
1)
(x – 7) (x + 9) = 0
«Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.»
On résout les deux équations du premier degré : x – 7 = 0 et x + 9 = 0.
On obtient : x = 7 et x = – 9
2)
(x + 3) (x – 7) (2x – 1) = 0
x – 7 = 0 ; 2x – 1 = 0.
3)
x2 – 16x = 0
S = { –9 ; 7 }
«Un produit de …»
On obtient : x = – 3 ; x = 7 et x =
1
2
x+3=0 ;
1
S={–3; ;7}
2
est équivalente à x (x – 16) = 0 «Un produit de …»
d'où les équations : x = 0 et x – 16 = 0
4)
d'où les équations :
On obtient : x = 0 et x = 16 S = { 0 ; 16 }
x 2 – 49 = 0 est équivalente à x2 – 52 = 0. On reconnaît l'identité remarquable a2 – b2 = (a – b) (a + b).
(x – 9) (x + 9) = 0
«Un produit de …»
d'où les équations : x – 9 = 0 et x + 9 = 0
On obtient les solutions : x = 9 et x = – 9.
5) x 2 – 2x + 1 = 0
S={–9;9}
On reconnaît l'identité remarquable a2 – 2ab + b2 = (a – b)2.
La factorisation permet d'écrire : (x – 1) 2 = 0«Un produit de …»
d'où l'équation : x – 1 = 0.
La solution double est x = 1
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S={1}