Exercice E1

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Exercice E1
1°) On a
x → 0
lim sin x = sin 0 = 0 et
x → 0
x > 0
lim 1
x = +∞
Les propriétés sur les limites ne permettent pas d'en déduire la limite de sin x x 1
x = sin x x quand x tend
vers 0 par valeurs supérieures.
Il en est de même pour la limite de sin x
x lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures.
On a
x → 0
lim cos x = cos 0 = 1 , donc
x → 0
lim cos x - 1 = 0 et
x → 0
x > 0
lim 1
x = +∞ et
x → 0
x < 0
lim 1
x = -∞ ,
Les propriétés sur les limites ne permettent pas d'en déduire la limite de (cos x - 1) x 1
x = cos x - 1 x
quand x tend vers 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures.
On ne peut pas, à partir des résultats donnés , déterminer les limites en 0 de sin x
x et de cos x - 1 x .
2°)
x 1 0,5 0,2 0,1 0,01 10
-
3
10
-
5
10
-
10
10
-
20
10
-
40
sin x
x 0,841 0,959 0,993 0,998 1 1 1 1 1 1
x 1 0,5 0,2 0,1 0,01 10
-
3
10
-
5
10
-
10
10
-
20
10
-
40
cos x - 1
x -0,46 -0,245
-0,01 -0,05 -0,005
-5 x 10
-4
-5 x 10
-6
0 0 0
D'après les valeurs obtenues, on peut conjecturer que :
x → 0
x > 0
lim sin x
x = 1 et
x → 0
x > 0
lim cos x - 1
x = 0 .
3°)

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4°) Par définition, on a : OS = sin x et OC = cos x .
Les droites (MC) et (TA) étant parallèles, le théorème de Thalès, permet d'écrire :
AT
MC = OA OC donc AT OS = OA OC , on en déduit AT
sin x = 1 cos x donc : AT = sin x cos x .
On sait que l'aire d'un triangle s'exprime sous la forme B
x h
2 (où h est la hauteur associée à la base B)
Donc l'aire du triangle OAM est : A
1
= OA
x MC
2 = 1
x sin x
2 donc : A
1
= sin x
2 .
L'aire du triangle OAT est : A
3
= OA
x AT
2 =
1 x sin x
cos x
2 donc : A
3
= sin x
2 cos x .
L'aire d'un secteur angulaire est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre.
L'aire du disque de centre O et de rayon 1 est égale à π (pour un angle au centre de 2π).
Donc l'aire du secteur angulaire OAM est : A
2
= x
2π
x π donc : A
2
= x
2 .
Le triangle OAM est contenu dans le secteur angulaire OAM, lui même contenu dans le triangle OAT.
On a donc : A
1
£ A
2
£ A
3
. On en déduit : sin x
2 £ x 2 £ sin x
2 cos x c'est-à-dire sin x £ x £ sin x cos x .
Voir l'animation : http://xmaths.free.fr/1S/exos/animation.php?nomexo=1StriganE1
5°) On sait que, pour x ∈ 0 ; π
2 , sin x £ x £ sin x
cos x ,
On en déduit en divisant chaque membre de l'inégalité par sin x qui est un nombre strictement positif
1 £ x
sin x £ 1 cos x
La fonction inverse étant strictement décroissante sur ]0 ; +∞[, on obtient :
1
1 ³ sin x
x ³ cos x
1 , c'est-à-dire : cos x £ sin x
x £ 1 .
On sait que
x → 0
x > 0
lim cos x = cos 0 = 1 .
Lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures, sin x
x est encadrée par 1 et par cos x qui tend vers 1.
On en déduit que :
x → 0
x > 0
lim sin x
x = 1 .
6°) On peut écrire
-x
1 + cos x
sin x
x
2
=
-x
1 + cos x
sin
2
x
x
2
=
-x
1 + cos x
1 - cos
2
x
x
2
donc
-x
1 + cos x
sin x
x
2
=
-x
1 + cos x
(1 - cos x)(1 + cos x)
x
2
= - (1 - cos x)
x = cos x - 1 x
donc :
-x
1 + cos x
sin x
x
2
= cos x - 1
x .
On a
x → 0
x > 0
lim 1 + cos x = 1 + cos 0 = 2 donc
x → 0
x > 0
lim
-x
1 + cos x = 0
2 = 0 .
D'autre part
x → 0
x > 0
lim sin x
x = 1 , donc
x → 0
x > 0
lim
sin x
x
2
= 1
On en déduit que
x → 0
x > 0
lim
-x
1 + cos x
sin x
x
2
= 0 donc :
x → 0
x > 0
lim cos x - 1
x = 0 .

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7°) Pour déterminer la limite quand x tend vers 0 par valeurs négatives de sin x
x , posons x = -x'
Lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives, x' = -x tend vers 0 par valeurs positives.
On a alors sin x
x = sin (-x') -x' = - sin x' - x' = sin x' x' (la fonction sinus est une fonction impaire)
Donc
x → 0
x < 0
lim sin x
x =
x' → 0
x' > 0
lim sin x'
x' = 1 (d'après la question 5)
On peut donc en déduire que :
x → 0
lim sin x
x = 1 .
De même cos x - 1
x = cos (-x') - 1 - x' = cos x' - 1 - x' = - cos x' - 1 x' (la fonction cosinus est paire)
Donc
x → 0
x < 0
lim cos x - 1
x =
x' → 0
x' > 0
lim - cos x' - 1
x' = - 0 = 0 (d'après la question 5)
On peut donc en déduire que :
x → 0
lim cos x - 1
x = 0 .
8°) En considérant l'égalité démontrée dans la question 6, on a :
cos x - 1
x =
-x
1 + cos x
sin x
x
2
, donc cos x - 1
x
2
=
-1
1 + cos x
sin x
x
2
On a
x → 0
lim 1 + cos x = 1 + cos 0 = 2 donc
x → 0
lim
-1
1 + cos x = - 1
2
D'autre part
x → 0
lim sin x
x = 1 , donc
x → 0
lim
sin x
x
2
= 1
On en déduit que
x → 0
lim
-1
1 + cos x
sin x
x
2
= - 1
2 donc :
x → 0
lim cos x - 1
x
2
= - 1
2 .