M11.9. Expérience de Rutherford. 1. Mouvement plan

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M11.9. Expérience de Rutherford.
1. Mouvement plan.
On applique le théorème du moment cinétique en Oà la particule alpha qui est soumise à la force
électrostatique de Coulomb qui est centrale en O. On a alors :
0
or r
dL OM F ru ku
dt
r
u
est ici a priori le vecteur radial de la base sphérique.
Le vecteur moment cinétique de la particule alpha o
L OM mv
est une constante du mouvement. Ce
vecteur occupe donc dans l’espace une direction. Le vecteur position est alors à tout instant perpendiculaire
à cette direction fixe : le mouvement de la particule alpha s’effectue dans un plan qui est défini par les
conditions initiales. On adopte comme plan d’étude le plan xOy et on travaille avec les coordonnées polaires.
2. Expression de la constante de la loi des aires.
On exprime le moment cinétique de la particule à la date d’éjection et ensuite à une date quelconque :
2
0 0
0 0
0
0 0
o
o
o z
o o
oz
v
x
L t OM mv m b mbv u
r
r
L t OM mv m r mr u
La constante Cde la loi des aires est définie par : o
L mC
. On obtient :
2
o
C r bv
3. Nature de la trajectoire.
La force s’exerçant sur la particule alpha a pour expression :
2
2
1 2
4
r
o
Ze
F u
r
On applique la relation de la dynamique à cette particule dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen
et on utilise de plus la seconde formule de Binet relative à l’accélération en posant :
1
u
r
.
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
1
2
1
on utilise l'expression de :
2
1
2
r r
o
o
o o
F ma
d u
Ze u u mC u u u
d
d u Ze
u C
d mC
d u Ze
u
d mb v
Les solutions de cette équation différentielle en usont de la forme :
2
2 2
1
cos 2
o o
Ze
u A
mb v
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Soit :
2
2 2
1 1
2
o o
Ze
p mb v
La solution s’écrit alors :
1
cos
cos 1
11 cos
o
o
o
u A p
Ap
up
p
ru Ap
Le résultat trouvé est celui de l’équation d’une hyperbole de paramètre
2 2
2
2
o
o
mb v
p
Ze
et d’excentricité
e=Ap.
4. Conservation de l’énergie mécanique.
En dehors de la zone d’interaction, c’est-à-dire pour un éloignement infini du noyau et de la particule alpha,
l’énergie potentielle électrostatique est nulle et l’énergie mécanique du système se réduit à l’énergie
cinétique de la particule alpha. On alors :
2 2
1 1
2 2
o f
mv mv
La valeur de la vitesse en dehors de la zone d’interaction est constante.
5. Angle de diffusion.
La relation de la dynamique s’écrit :
2
2
1
2r
o
F ma
Ze
u ma
r
On effectue une projection suivant le vecteur
y
u
:
2 2
2 2
1sin
2o
Ze d y
m
r dt
Or sin
y
r
et soit
2
1
2o
B Ze
. On obtient :
2
2 2 2
sin 1
or
cos
sin
cos
o
y
o o
yo
d y B
dt m r r bv
dv B d B d
dt mbv dt mbv dt
B
v Cte
mbv
Or : 0
y
o o
B B
v Cte Cte
mbv mbv
On obtient ainsi l’expression de la composante de la vitesse suivant Oy :
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cos 1
yo
B
vmbv
A l’infini :
2
2 2
2
sin cos 1
1
sin cos 1 cos 1 cos 1
2
sin cos 1
2 sin cos 2 cos
2 2 2
tan 2
oo
o o o
B
vmbv
B Ze b
mbv mbv p
p b
p b
b
p
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