M11.9. Expérience de Rutherford. 1. Mouvement plan

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M11.9. Expérience de Rutherford.
1. Mouvement plan.
On applique le théorème du moment cinétique en O à la particule alpha qui est soumise à la force
électrostatique de Coulomb qui est centrale en O. On a alors :


 
d L o  
 OM  F  ru r  ku r  0
dt

u r est ici a priori le vecteur radial de la base sphérique.
 

Le vecteur moment cinétique de la particule alpha L o  OM  mv est une constante du mouvement. Ce
vecteur occupe donc dans l’espace une direction. Le vecteur position est alors à tout instant perpendiculaire
à cette direction fixe : le mouvement de la particule alpha s’effectue dans un plan qui est défini par les
conditions initiales. On adopte comme plan d’étude le plan xOy et on travaille avec les coordonnées polaires.
m
o
.c
b
e
w
a
l
o
h
2. Expression de la constante de la loi des aires.
On exprime le moment cinétique de la particule à la date d’éjection et ensuite à une date quelconque :
 x vo




 
L o  t  0   OM o  mv o  m b  0  mbvo u z
0  0
 
r r




 
L o  t   OM  mv  m 0  r  mr 2u z
0 0
 


La constante C de la loi des aires est définie par : Lo  mC . On obtient :
k
.
w
C  r   bvo
w
w
2
3. Nature de la trajectoire.
La force s’exerçant sur la particule alpha a pour expression :

F
1 2 Ze 2 
ur
4 o r 2
On applique la relation de la dynamique à cette particule dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen
1
et on utilise de plus la seconde formule de Binet relative à l’accélération en posant : u  .
r


F  ma

 d 2u

1
Ze 2u 2 u r   mC 2u 2  2  u  u r
2 o
 d

2
2
d u
1 Ze
u  
on utilise l'expression de C :
2
d
2 o mC 2
d 2u
1
Ze2

u


d 2
2 o mb 2 vo2
Les solutions de cette équation différentielle en u sont de la forme :
u  A cos     
1
Ze2
2 o mb 2 vo2
Soit :
1
1
Ze2

p 2 o mb 2 vo2
La solution s’écrit alors :
u  A cos   o  
m
o
.c
1
p
Ap cos    o   1
p
1
p
r 
u 1  Ap cos    o 
u
b
e
w
a
l
o
h
Le résultat trouvé est celui de l’équation d’une hyperbole de paramètre p  2 o
e=Ap.
mb 2 vo2
et d’excentricité
Ze 2
4. Conservation de l’énergie mécanique.
En dehors de la zone d’interaction, c’est-à-dire pour un éloignement infini du noyau et de la particule alpha,
l’énergie potentielle électrostatique est nulle et l’énergie mécanique du système se réduit à l’énergie
cinétique de la particule alpha. On alors :
1 2 1 2
mvo  mv f
2
2
k
.
w
La valeur de la vitesse en dehors de la zone d’interaction est constante.
5. Angle de diffusion.
La relation de la dynamique s’écrit :


F  ma

1 Ze 2 
u

ma
r
2 o r 2
w
w

On effectue une projection suivant le vecteur u y :
1 Ze 2
d2y
sin


m
2 o r 2
dt 2
Or sin  
y
1
et soit B 
Ze 2 . On obtient :
r
2 o
d 2 y B sin 
1


or


dt 2 m r 2
r2
bvo
dv y
dt
vy 
Or :

B
d
B d cos 
sin 

mbvo
dt mbvo dt
B
cos   Cte
mbvo
v y      0  
B
B
 Cte  Cte 
mbvo
mbvo
On obtient ainsi l’expression de la composante de la vitesse suivant Oy :
B
 cos   1
mbvo
vy 
A l’infini :
vo sin  
B
 cos   1
mbvo
m
o
.c
B
1 Ze2
b
sin  
cos   1 
cos   1   cos   1
2 
2 
mbvo
2 o mbvo
p
p sin   b  cos   1



cos  2b cos 2
2
2
2
 b
tan 
2 p
2 p sin
w
w
k
.
w
b
e
w
a
l
o
h