Les puissances

Les puissances
I) Les puissances de 10
10 × 10 = 100 se note 10² et se lit « 10 au carré ».
10 × 10 × 10 = 1 000 se note 103 et se lit « 10 au cube ».
10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 se note 104 et se lit « 10 puissance 4 » ou « 10 exposant 4 ».
104 est une puissance de 10 et 4 est son exposant.
A retenir : Pour tout entier supérieur ou égal à 2 :
10n
= 10 × 10 × … × 10 × 10
(n facteurs 10)
= 100 … 00
(n zéros)
Les autres puissances de 10
101 = 10
10–1 = 0,1 =
100 = 1
1
1
=
10 101
10–2 = 0,01 =
1
1
=
100 102
10–3 = 0,001 =
A retenir :
Pour tout entier positif n :
10–n
= 0,0…01
=
1
10 … 0
=
1
10n
(n chiffres à droite de la virgule)
(n zéros)
10n et 10–n sont des nombres inverses.
II) Puissances de 10 et préfixes
103 kilo (k)
106 méga (M)
10–3 milli (m)
10–6 micro (µ)
109 giga (G)
III) Opérations avec puissances de 10
Dans ce qui suit, m et n sont deux entiers
10m × 10n = 10m+n
1012 téra (T)
1
1
=
1000 103
Exemples : 103 × 104 = 107
10m
10n
= 10m × 10–n
10–3 × 10–4 = 10–7
107 × 10–3 = 104
« Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. »
= 10m–n
Exemple :
103
= 103 × 104 = 107
10–4
(10m)n = 10m × n
Exemple : (10–3)2 = 10–6
IV) Ecriture scientifique d’un nombre – Ordre de grandeur
L'écriture scientifique d'un nombre décimal est la seule écriture de la forme a x 10n où a est
un nombre décimal et n un entier relatif.
a doit s’écrire avec un seul chiffre autre que 0 avant la virgule. (Autrement dit 1 < |a| < 10)
Exemples d’écritures scientifiques :
3,18 × 105
–5,41 × 104
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de dix la plus proche de ce nombre.
Exemples :
Soit le nombre 15 200 = 1,52 × 104. Son ordre de grandeur est 104.
Soit le nombre 82 000 = 8,2 × 104. Son ordre de grandeur est 105.
Soit le nombre 0,003 2 = 3,2 × 10–3. Son ordre de grandeur est 10–3.
V) Les autres puissances
Définition (pour les exposants supérieurs ou égaux à 2)
Soit a un nombre.
a × a se note a² et de lit « a au carré ».
a × a × a se note a3 et se lit « a au cube ».
a × ... × a (produit avec n facteurs a) se note an. an est une puissance de a. Son exposant est n.
Exemples : Voici quelques puissances de 2 :
4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1 024
(–2)4 = + 16
(–2)5 = –32
(–2)6 = + 64
(–2)2 = +4 (–2)3 = – 8
(A observer : Le résultat est positif quand l’exposant est pair, négatif quand l’exposant est
impair.)
Les autres exposants (inférieurs à 2)
Pour a ≠ 0,
a0 = 1
Exemples : 40 = 1
a1 = a
(–5)0 = 1
a–n =
41 = 4
1 n
: a et a–n sont inverses.
an
2–3 =
1 1
= (= 0,125 et non 0,002)
23 8
Remarque
(–5)² = (–5) × (–5) = + 25
–5² = – 5 × 5 = – 25
Il s’agit du carré de –5
Il s’agit de l’opposé du carré de 5.
Opérations avec puissances
m et n désignent deux nombres entiers ; a et b deux nombres non nuls.
am × an = am+n
am m-n
=a
an
(am)n= am×n
am × bm = (ab)m
m
 a m a
=
b bm
 
Applications
Exercice 1
Sur mon ordinateur, il y a une chanson au format MP3 occupant 4,9 mégaoctets (Mo) et un disque
dur de 512 Gigaoctets (Go). Exprimez en octets les données numériques de ses informations.
Exercice 2
370 000 000 peut s’écrire 37 × 10 000 000 ou 37 × 107.
Procède de la même façon pour donner deux écritures de chacun des nombres suivants.
120 000
574 000 000
9 milliards
Exercice 3
•
•
3 millions de cheveux recouvrent notre crâne depuis notre naissance jusqu’à notre mort.
14 milliards de neurones se déchaînent perpétuellement dans notre cerveau.
(d’après « les mécanismes de l’étrange » - Edition Rocher)
Pour chacun des nombres cités ci-dessus, donne une écriture avec une puissance de 10.
Exercice 4
Dans un micro-ordinateur, chaque caractère (lettre ou signe) est mémorisé dans un octet.
a) La mémoire centrale a une capacité de 8 Go et le disque dur de 1,5 To.
Ecris chacun de ces nombres d’octets en utilisant une puissance de 10.
b) Un CD ROM a une capacité de 65 × 107 octets. Donne l’écriture décimale de ce nombre.
Exprime ce nombre en Mo.
Exercice 5
0,000 84 peut s’écrire 84 × 0,000 01 ou 84 × 10-5.
Procède de la même façon pour donner deux écritures de chacun des nombres suivants.
0,19
0,005 37
34 millièmes