Les puissances

Les puissances
I) Les puissances de 10
10 × 10 = 100 se note 10² et se lit « 10 au carré ».
10 × 10 × 10 = 1 000 se note 10
3
et se lit « 10 au cube ».
10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 se note 10
4
et se lit « 10 puissance 4 » ou « 10 exposant 4 ».
10
4
est une puissance de 10 et 4 est son exposant.
A retenir : Pour tout entier supérieur ou égal à 2 :
10
n
= 10
×
10
×
…
×
10
×
10 (n facteurs 10)
= 100 … 00 (n zéros)
Les autres puissances de 10
10
1
= 10 10
0
= 1
10
–1
= 0,1 = 1
10 = 1 10
1
10
–2
= 0,01 = 1
100 = 1 10
2
10
–3
= 0,001 = 1
1000 = 1 10
3
A retenir :
Pour tout entier positif n :
10
–n
= 0,0…01 (n chiffres à droite de la virgule)
= 1
10 … 0 (n zéros)
= 1
10
n
10
n
et 10
–n
sont des nombres inverses.
II) Puissances de 10 et préfixes
10
3
kilo (k) 10
6
méga (M) 10
9
giga (G) 10
12
téra (T)
10
–3
milli (m) 10
–6
micro (µ)
III) Opérations avec puissances de 10
Dans ce qui suit, m et n sont deux entiers
10
m
× 10
n
= 10
m+n

Exemples : 10
3
× 10
4
= 10
7
10
–3
× 10
–4
= 10
–7
10
7
× 10
–3
= 10
4
10
m
10
n
= 10
m
× 10
–n
« Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. »
= 10
m–n
Exemple : 10
3
10
–4
= 10
3
× 10
4
= 10
7
(10
m
)
n
= 10
m × n
Exemple : (10
–3
)
2
= 10
–6
IV) Ecriture scientifique d’un nombre – Ordre de grandeur
L'écriture scientifique d'un nombre décimal est la seule écriture de la forme a x 10
n
où a est
un nombre décimal et n un entier relatif.
a doit s’écrire avec un seul chiffre autre que 0 avant la virgule. (Autrement dit 1 < |a| < 10)
Exemples d’écritures scientifiques :
3,18 × 10
5
–5,41 × 10
4
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de dix la plus proche de ce nombre.
Exemples :
Soit le nombre 15 200 = 1,52 × 10
4
. Son ordre de grandeur est 10
4
.
Soit le nombre 82 000 = 8,2 × 10
4
. Son ordre de grandeur est 10
5
.
Soit le nombre 0,003 2 = 3,2 × 10
–3
. Son ordre de grandeur est 10
–3
.
V) Les autres puissances
Définition (pour les exposants supérieurs ou égaux à 2)
Soit a un nombre.
a × a se note a² et de lit « a au carré ».
a × a × a se note a
3
et se lit « a au cube ».
a
×
...
×
a (produit avec n facteurs a) se note a
n
. a
n
est une puissance de a. Son exposant est n.
Exemples : Voici quelques puissances de 2 :
4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1 024
(–2)
2
= +4 (–2)
3
= – 8 (–2)
4
= + 16 (–2)
5
= –32 (–2)
6
= + 64
(A observer : Le résultat est positif quand l’exposant est pair, négatif quand l’exposant est
impair.)

Les autres exposants (inférieurs à 2)
Pour a ≠ 0, a
0
= 1 a
1
= a a
–n
= 1
a
n
: a
n
et a
–n
sont inverses.
Exemples : 4
0
= 1 (–5)
0
= 1 4
1
= 4 2
–3
= 1
2
3
= 1
8 (= 0,125 et non 0,002)
Remarque
(–5)² = (–5) × (–5) = + 25 Il s’agit du carré de –5
–5² = – 5 × 5 = – 25 Il s’agit de l’opposé du carré de 5.
Opérations avec puissances
m et n désignent deux nombres entiers ; a et b deux nombres non nuls.
a
m
× a
n
= a
m+n
a
m
a
n
= a
m-n
(a
m
)
n
= a
m×n
a
m
× b
m
= (ab)
m
a
b
m
= a
m
b
m
Applications
Exercice 1
Sur mon ordinateur, il y a une chanson au format MP3 occupant 4,9 mégaoctets (Mo) et un disque
dur de 512 Gigaoctets (Go). Exprimez en octets les données numériques de ses informations.
Exercice 2
370 000 000 peut s’écrire 37 × 10 000 000 ou 37 × 10
7
.
Procède de la même façon pour donner deux écritures de chacun des nombres suivants.
120 000 574 000 000 9 milliards
Exercice 3
• 3 millions de cheveux recouvrent notre crâne depuis notre naissance jusqu’à notre mort.
• 14 milliards de neurones se déchaînent perpétuellement dans notre cerveau.
(d’après « les mécanismes de l’étrange » - Edition Rocher)
Pour chacun des nombres cités ci-dessus, donne une écriture avec une puissance de 10.
Exercice 4
Dans un micro-ordinateur, chaque caractère (lettre ou signe) est mémorisé dans un octet.
a) La mémoire centrale a une capacité de 8 Go et le disque dur de 1,5 To.
Ecris chacun de ces nombres d’octets en utilisant une puissance de 10.
b) Un CD ROM a une capacité de 65 × 10
7
octets. Donne l’écriture décimale de ce nombre.
Exprime ce nombre en Mo.
Exercice 5
0,000 84 peut s’écrire 84 × 0,000 01 ou 84 × 10
-5
.
Procède de la même façon pour donner deux écritures de chacun des nombres suivants.
0,19 0,005 37 34 millièmes