Puissances et puissances de 10

Puissances, Puissances de 10 et écriture
scientifique
I. Puissances d'un nombre non nul
1. Définitions
Soit a un nombre non nul et n un entier positif :
a
0
= 1
a
1
= a
a
-1
= 1/a
a
n
= a × a × ... × a (n facteurs)
a
-n
= 1 / a
n
Exemples :
(-3)
0
= 1
4
-1
= 1/4 = 0,25
3
7
= 3 × ... × 3 = 2 187
2
-3
= 1 / (2
3
) = 1/8 = 0,125
a
-1
est l'inverse de a.
a² se lit "a au carré" ; a³ "a au cube" et a
n
: "a puissance n".
2. Formules
Soit m et n des entiers relatifs, a et b des nombres non nuls :
a
m
× a
n
= a
m+n
a
m
/a
n
= a
m-n
(a
m
)
n
= a
m × n
(ab)
n
= a
n
× b
n
(a/b)
n
=a
n
/b
n
Exemples :
a
3
× a
5
= a
3+5
= a
8
a
3
/a
7
= a
3-7
= a
-4
(a
-3
)
2
= a
-6
(ab)² = a² × b²
a
6
× a
-6
= a
0
= 1, donc a
6
et a
-6
sont inverses l'un de l'autre.
3. Priorités et puissances
La puissance est prioritaire sur la multiplication, la division. A l’intérieur de l’exposant, tout se
passe comme s’il y avait des parenthèses. Voici des exemples avec parenthèses :
3×2
n
=3×(2
n
) ;
3 (3 )
5 5
n n
= ; -a
n
=-(a
n
) mais dans (-a)
n
le – est multiplié n fois ;
a
blabla
= a
(blabla)
; exemple :
( )b c d b c d
a a
× + × +
= ;
( )
c c
b b
a a= et pas ( )
b c
a :
2
3 9
2 2 512= = mais
3 2 2
(2 ) 8 64= =

4. Remarques
1
n n
a a a
+
× = ;
( 1)
n
−
vaut 1 si n est pair (les – se simplifient avec la règle des signes) et -1 si n est
impair.
II. Puissances de 10
Soit n un entier naturel :
10
n
= 10...0 (n zéros)
10
-n
= 0,0...01 (n zéros en comptant le premier ;
ou n chiffres après la virgule)
Exemples :
10
1
= 10 ;
10
3
= 1000 ;
un milliard = 10
9
;
10
-1
= 0,1 ;
10
-3
= 0,001 ;
un millionième = 10
-6
.
Pour les simplifications et les calculs :
4,68 1000000 4,68 1000
2,89 1000 2,89
× ×
=
×
(on barre les zéros, cela revient à simplifier par 1000 ici)
0,00000278 0,278
0,0000586 5,86
= (on décale les virgules, cela revient à simplifier par 0.00001 ici)
Même principe pour les multiplications :
5,63×10000×23,787×100=5,63×23,787×1000000 (on ajoute les nombres de zéros)
5,63×0,0001×23,787×0,000001=5,63×23,787×0,0000000001(on décale la virgule)
2,65×10000×0,0023=2,65×2,3×10 (même principe)
Attention ! ! Cela ne marche pas pour les additions !!
Résumé des formules : ce sont les mêmes que pour les puissances quelconques :
Soit m et n des entiers relatifs :
10
m
× 10
n
= 10
m+n
10
m
/10
n
= 10
m-n
(10
m
)
n
= 10
m × n

III. Notation scientifique et ordre de grandeur
Taille de l’univers (ordre de grandeur) :10 000 000 000 000 000 000 000 000 mètres
Taille du noyau atomique (ordre de grandeur) : 0,000 000 000 000 001 mètres
Peu pratique non ? Pour éviter le problème, on utilise la notation scientifique avec
les puissances de 10.
1. Notation scientifique : exemples
nombre
notation
scientifique
0,000 981
9,81 × 10
-
4
0,001 732
1,732 × 10
-
3
602 ×
10
21
6,02 × 10
23
-
345
-
3,45 × 10
2
On écrit le nombre sous la forme ±a×10
n
où a est entre 1 et 10 (pas de 0 avant la virgule !!) et n est
un entier relatif : positif ou négatif. On se débrouille pour rentrer les 0 avant la virgule dans la
puissance.
2. Ordre de grandeur : exemples
Tout nombre strictement positif est compris entre 2 puissances de 10 consécutives.
Soit a=3,14 × 10
5
alors 10
5
< a < 10
6
Soit b=7,07 × 10
-2
alors 10
-2
< b < 10
-1
L’ordre de grandeur du nombre est la puissance de 10 intervenant dans sa notation scientifique.
Ordre de grandeur de la taille de l’univers : 10
25
mètres.
Celle de la taille d’un noyau atomique :10
-15
mètres