Puissances, Puissances de 10 et écriture scientifique I. Puissances d'un nombre non nul 1. Définitions Soit a un nombre non nul et n un entier positif : a0 = 1 a1 = a -1 a = 1/a an = a × a × ... × a (n facteurs) a-n = 1 / an Exemples : (-3)0 = 1 4-1 = 1/4 = 0,25 37 = 3 × ... × 3 = 2 187 2-3 = 1 / (23) = 1/8 = 0,125 a-1 est l'inverse de a. a² se lit "a au carré" ; a³ "a au cube" et an : "a puissance n". 2. Formules Soit m et n des entiers relatifs, a et b des nombres non nuls : am × an = am+n am/an = am-n (am)n = am × n (ab)n = an × bn (a/b)n=an/bn Exemples : a3 × a5 = a3+5 = a8 a3/a7 = a3-7 = a-4 (a-3)2 = a-6 (ab)² = a² × b² a6 × a-6 = a0 = 1, donc a6 et a-6 sont inverses l'un de l'autre. 3. Priorités et puissances La puissance est prioritaire sur la multiplication, la division. A l’intérieur de l’exposant, tout se passe comme s’il y avait des parenthèses. Voici des exemples avec parenthèses : 3n (3n ) = ; -an=-(an) mais dans (-a)n le – est multiplié n fois ; 5 5 c c 2 b× c + d blabla (blabla) a = a ; exemple : a = a (b×c + d ) ; a b = a (b ) et pas (a b )c : 23 = 29 = 512 mais 3×2n=3×(2n) ; (23 ) 2 = 82 = 64 4. Remarques a × a n = a n +1 ; (−1) n vaut 1 si n est pair (les – se simplifient avec la règle des signes) et -1 si n est impair. II. Puissances de 10 Soit n un entier naturel : 10n = 10...0 (n zéros) 10 = 0,0...01 (n zéros en comptant le premier ; ou n chiffres après la virgule) -n Exemples : 101 = 10 ; 103 = 1000 ; un milliard = 109 ; 10-1 = 0,1 ; 10-3 = 0,001 ; un millionième = 10-6. Pour les simplifications et les calculs : 4, 68 × 1000000 4, 68 ×1000 = (on barre les zéros, cela revient à simplifier par 1000 ici) 2,89 × 1000 2,89 0, 00000278 0, 278 = (on décale les virgules, cela revient à simplifier par 0.00001 ici) 0, 0000586 5,86 Même principe pour les multiplications : 5,63×10000×23,787×100=5,63×23,787×1000000 (on ajoute les nombres de zéros) 5,63×0,0001×23,787×0,000001=5,63×23,787×0,0000000001(on décale la virgule) 2,65×10000×0,0023=2,65×2,3×10 (même principe) Attention ! ! Cela ne marche pas pour les additions !! Résumé des formules : ce sont les mêmes que pour les puissances quelconques : Soit m et n des entiers relatifs : 10m × 10n = 10m+n 10m/10n = 10m-n (10m)n = 10m × n III. Notation scientifique et ordre de grandeur Taille de l’univers (ordre de grandeur) :10 000 000 000 000 000 000 000 000 mètres Taille du noyau atomique (ordre de grandeur) : 0,000 000 000 000 001 mètres Peu pratique non ? Pour éviter le problème, on utilise la notation scientifique avec les puissances de 10. 1. Notation scientifique : exemples notation scientifique 0,000 981 9,81 × 10-4 0,001 732 1,732 × 10-3 602 × 6,02 × 1023 1021 -345 -3,45 × 102 nombre On écrit le nombre sous la forme ±a×10n où a est entre 1 et 10 (pas de 0 avant la virgule !!) et n est un entier relatif : positif ou négatif. On se débrouille pour rentrer les 0 avant la virgule dans la puissance. 2. Ordre de grandeur : exemples Tout nombre strictement positif est compris entre 2 puissances de 10 consécutives. Soit a=3,14 × 105 alors 105 < a < 106 Soit b=7,07 × 10-2 alors 10-2 < b < 10-1 L’ordre de grandeur du nombre est la puissance de 10 intervenant dans sa notation scientifique. Ordre de grandeur de la taille de l’univers : 1025 mètres. Celle de la taille d’un noyau atomique :10-15 mètres