PUISSANCE D`UN NOMBRE RELATIF I. Puissance d`un nombre relatif

PUISSANCE D'UN NOMBRE RELATIF
I. Puissance d'un nombre relatif
Définitions et Notations :
Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif ou nul.
On pose
an = a × a × a ×× a
n fois
an se lit “a puissance n ” ou encore “a exposant n ”.
On pose
a– n =1
an
Cas particulier : a1 = a et a0 = 1 (par convention)
L'inverse de a est a-1
Exemples :
24=2×2×2×2=16
;
– 35= – 3× – 3× – 3× – 3× – 3= – 243
4
– 1=1
4
;
2
– 3=1
23=1
2×2×2=1 8
;
– 1
– 2=1
– 12=1
1=1
Vocabulaire :
a
2
se lit « a au carré » et
a
3
se lit « a au cube »
Méthode de calcul : Pour transformer une expression avec des puissances, on écrit les
puissances sous forme de produits, on simplifie l'expression et on la réécrit avec des
puissances.
Exemples :
54×52=5×5×5×5×5×5=56
54
52=5×5×5×5
5×5=5×5=52
7
– 3
72=7
– 3×1
72=1 73×1 72=1 73×72=1
7×7×7×7×7=1
76=7
– 6
3×53=3×5×3×5×3×5=3×5×3×5×3×5=3×3×3×5×5×5=33×53

II.Puissance de dix et opérations
Propriété : Soit n un entier supérieur ou égal à 1
10n = 1000…………0 et 10–n = = 0,000…………1
1 suivi de n zéros 1 situé à la nième place après la virgule
Vocabulaire : n s’appelle l’exposant
On lit : « 10 puissance n » ou « 10 exposant n »
Cas particulier : 101 = 10 et par convention 100 = 1
Exemples : 105 = 100 000 ; 10–3 = 0,001
Opérations sur les puissances de 10 : m et p sont des nombres entiers relatifs
●Produit :
10
m
×10
p
=10
m p
Exemples :
105×103=1053=108
104×10
– 6=104 – 6=10 – 2
104×10×10
– 2=1041 – 2=103
●Quotient :
10
m
10
p
=10
m − p
Exemples :
105
103=105
– 3=102
;
105
10−8=105
– – 8=1058=1013
●Puissance d’une puissance :
10
m p
=10
m × p
Exemples :
1032=103×2=106
104−3=104×−3=10
– 12
10
– 3−5=10−3×−5=1015
/!\ ATTENTION : il n’y a pas de formule pour ajouter des puissances de 10 /!\
105 + 103 = 100 000 + 1 000 = 101 000
Règle : n est un entier positif
Pour multiplier un nombre décimal par 10n, on déplace la virgule de n rangs vers la droite ;
Pour multiplier un nombre décimal par 10–n, on déplace la virgule de n rangs vers la gauche.
Exemples :
52,3×104=523 000
52,3×10
– 4=0,00523

III.Notation scientifique et ordre de grandeur
Définition : L’écriture scientifique ou notation scientifique d’un nombre relatif est l’écriture de
ce nombre sous la forme
a ×10
n
, où a est un nombre décimal ayant un seul chiffre différent
de zéro avant la virgule et n un entier relatif.
Exemples :
123,5=1,235×102
0,00037=3,7×10
– 4
Encadrement et ordre de grandeur :
Soit x un nombre positif dont l’écriture scientifique est
a ×10
n
.
Un encadrement de x par deux puissances consécutives de 10 est :
10
n
x 10
n 1
Un ordre de grandeur de x est
b ×10
n
, avec b l’arrondi à l’unité de a .
Exemple : Donner un ordre de grandeur et un encadrement de
C =734,9×104
On commence par écrire le nombre en notation scientifique :
C =7,349×102×104=7,349×106
L’arrondi à l’unité de 7,349 est 7 donc un ordre de grandeur de C est
7×106
.
Encadrement :
106 C 107