Chapitre 7 – Loi binomiale.

Chapitre 7 – Loi binomiale.
I - Répétition d’expériences indépendantes.
Définition : On dit de deux expériences aléatoires sont indépendantes
lorsque les résultats de l’une n’influencent pas les probabilités des résultats
de l’autre.
Exemples oraux.
Propriété : Lorsqu’on répète une même expérience aléatoire dans les
mêmes conditions initiales, alors les expériences sont des expériences
indépendantes.
Propriété : On répète n fois de suite une expérience E dans les mêmes
conditions initiales.
Si Ai est un évènement de la i-ème expérience alors on a :
P(A 1∩A2 ∩…∩An) = P(A1) ×P(A2) ×…× P(An)
Attention : cette propriété ne s’applique que lorsque les évènements A1,
A2,.., An sont indépendants.
Exemple 1 : On dispose d’une urne contenant deux boules vertes et une
boule rouge.
On tire une première boule puis sans la remettre, on tire une seconde
boule.
R1 : « la première boule tirée est rouge »
R2 : « la deuxième boule tirée est rouge »
Les évènements sont-ils indépendants ?
Exemple 2 : On dispose d’une urne contenant deux boules vertes et une
boule rouge.
On tire une boule, on note sa couleur puis on la remet. On reproduit deux
fois cette expérience.
1) Les expériences sont-elles indépendantes ?
2) On note les événements :
A : « obtenir deux boules rouges »
B : « obtenir deux boules vertes »
C : « obtenir une boule verte suivie d’une boule rouge »
Construire un arbre pour trouver ces probabilités.
3) On note : R1 : « la première boule tirée est rouge »
R2 : « la deuxième boule tirée est rouge »
Les évènements sont-ils indépendants ?
Construire un arbre pondéré à l’aide de R1 et R2.
Recalculer les probabilités de A, B, C.
1) On effectue deux fois l’expérience dans les mêmes conditions. Les
expériences sont indépendantes.
2) ..P(A) = 
 ; P(B) =   P(C) = 
3) Les événements sont indépendants car ils sont issus d’expériences indép
Arbre pondéré.
P(A) = P(R1∩R2) = P(R1) ×P(R2) 
 =
P(B) = P(
4) On reprend l’expérience 10 fois.
Quelle est la probabilité de ne choisir que des boules rouges ?

II - Epreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli.
Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues :
pile/face, oui/non, perdu/ gagné.
On note S (succès) et E (échec) les deux issues d’une épreuve de Bernoulli
et on pose p = P(S) et q =P(E) = 1 – p.
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
s’appelle un schéma de Bernoulli.
Définition : Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès
obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves, et p désignant la
probabilité d’obtenir le succès dans chaque épreuve.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
Exemple 1 : 1) Un sac contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire
une boule et on note sa couleur.
Cette expérience est-elle une épreuve de Bernoulli ?
2) On tire successivement et avec remise trois boules du sac.
a) Justifier que c’est un schéma de Bernoulli puis représenter ce schéma de
Bernoulli par un arbre pondéré.
b) Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges tirées.
Donner la loi de probabilité de X.
Rép : 1) Il y a deux issues à cette expérience. C’est donc une épreuve de
Bernoulli.
On appelle S (succès) l’événement « obtenir une boule rouge »
Et E (échec) l’événement « obtenir une boule verte »
2) a) Après chaque tirage, on remet la boule dans le sac. On répète donc la
même épreuve de Bernoulli 3 fois.
Schéma de Bernoulli :
b) La variable aléatoire X comptent le nombre de succès. Elle suit une loi
binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,6.
Loi de probabilité de X :
P(X = 0) = P(
  0,43 = 0,064
P(X = 1) = P(
 + P( + P( = 3 × 0,6 × 0,42 =0,288
...
Loi de probabilité de X
X = xi
0
1
2
3
P(X = xi)
0,064
0,288
0,432
0,216
Espérance :
E(X) = 0 ×0,064 + 1× 0,288+ 2× 0,432 + 3 × 0,216 = 1, 8
En moyenne, on obtiendra 1,8 boule rouge sur chaque « trois tirages ».
On écrira les
résultats de la
variable au bout
de chaque
branche.
X = 0
X = 1
…

Exemple 2 : Recommençons l’expérience mais cette fois ci avec 4 tirages
avec remise.
Construire l’arbre pondéré.
…
Calculons P (X = 3)
P(X= 3) = 
× 0,63 × 0, 44 -3 où   est le nombre de chemins réalisant
P(X= 3) = 4 × 0,63 × 0, 41 3 succès parmi les 4 épreuves.
P(X= 3) = 0,3456
Compléter
P(X = 2) = ….= 0,3456
Oral
Exemple 3 : Recommençons l’expérience mais cette fois ci avec 10 tirages
avec remise.
Construire l’arbre pondéré.
…
Calculons P (X = 3)
Remarquons que la seule difficulté réside à calculer le nombre de chemins
réalisant k succès sur n épreuves.
III - Loi binomiale.
A ) Coefficients binomiaux.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de
paramètres n et p.
Définition : Soit n et k deux entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ n.
On appelle coefficient binomial et on note 
 le nombre de chemins
dans l’arbre pondéré menant à l’événement (X = k), c’est-à-dire le nombre
de chemins réalisant k succès parmi n épreuves répétées.
Théorème : Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, la loi de probabilité de X
est :
P( X = k) = 
    .
B ) Propriétés des coefficients binomiaux.
Symétrie : On a, pour 0 ≤ k ≤ n : 
=
Triangle de pascal : On a, pour 0 ≤ k ≤ n -1 : 
Démonstration p229 (corriger les arbres)
On considère un schéma de Bernoulli à n +1 épreuves.
Il y a par définition,   
   chenis qui mènent à l’événement (X = k+1).
Ces chemins se décomposent en deux parties disjointes :
 Ceux qui commencent par un succès : l’arbre représentant les
épreuves suivantes ( de la deuxième à la dernière) est alors un arbre
de n épreuves, où il reste à choisir k succès ; Il y a donc 
chemins de ce type possibles.
 Ceux qui commencent par un échec : l’arbre représentant les
épreuves suivantes (de la deuxième à la dernière) est alors un arbre
de n épreuves, où il reste à choisir k + 1 succès ; Il y a donc
   chemins de ce type possibles.
On obtient donc ainsi : 
  .

Conséquences : Triangles de Pascal à construire voir p 224
Triangle de Pascal :
Par convention, 
  .
Complétons la 2ème ligne.
Complétons la 1ère colonne.
A la lecture, on a 
Il y a 6 chemins réalisant 2 succès lors de 4 épreuves.
Construire un triangle de Pascal avec Excel.
Calculer un coefficient binomial avec la calculatrice (Voir p 225)
Exemple : Sur une pièce déséquilibrée, la probabilité d’obtenir « pile » est
0,2.
On lance 10 fois cette pièce.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois « pile » ?
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X donnant le nombre de
pile.
Réponse : On est en présence d’une série d’épreuves identiques et
indépendantes à deux issues. X, la variable aléatoire donnant le nombre de
pile (succès) suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3.
La probabilité d’obtenir 3 fois pile est donc :
P(X = 3) = 
  0,23×0,87 ≈0,20
C ) Espérance et variance de la loi binomiale.
Propriété (admise) : On considère une variable aléatoire X suivant une loi
binomiale de paramètres n et p.
L’espérance de X est : E(X) = n×p
La variance est : V(X) = n×p× (1- p)
L’écart-type est : σ(X) =   
Exemple : Sur une pièce déséquilibrée, la probabilité d’obtenir « pile » est
0,2.
On lance 10 fois cette pièce.
1) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le
nombre de pile. (à 0,01 près)
2) Représenter graphiquement cette loi.
3) Déterminer l’espérance de X puis interpréter.