Chapitre 7 – Loi binomiale.

Chapitre 7 – Loi binomiale.
On tire une boule, on note sa couleur puis on la remet. On reproduit deux
fois cette expérience.
1) Les expériences sont-elles indépendantes ?
I-
Répétition d’expériences indépendantes.
Définition : On dit de deux expériences aléatoires sont indépendantes
lorsque les résultats de l’une n’influencent pas les probabilités des résultats
de l’autre.
Exemples oraux.
Propriété : Lorsqu’on répète une même expérience aléatoire dans les
mêmes conditions initiales, alors les expériences sont des expériences
indépendantes.
Propriété : On répète n fois de suite une expérience E dans les mêmes
conditions initiales.
Si Ai est un évènement de la i-ème expérience alors on a :
P(A 1∩A2 ∩…∩An) = P(A1) ×P(A2) ×…× P(An)
Attention : cette propriété ne s’applique que lorsque les évènements A1,
A2,.., An sont indépendants.
Exemple 1 : On dispose d’une urne contenant deux boules vertes et une
boule rouge.
On tire une première boule puis sans la remettre, on tire une seconde
boule.
R1 : « la première boule tirée est rouge »
R2 : « la deuxième boule tirée est rouge »
Les évènements sont-ils indépendants ?
Exemple 2 : On dispose d’une urne contenant deux boules vertes et une
boule rouge.
2) On note les événements :
A : « obtenir deux boules rouges »
B : « obtenir deux boules vertes »
C : « obtenir une boule verte suivie d’une boule rouge »
Construire un arbre pour trouver ces probabilités.
3) On note :
R1 : « la première boule tirée est rouge »
R2 : « la deuxième boule tirée est rouge »
Les évènements sont-ils indépendants ?
Construire un arbre pondéré à l’aide de R1 et R2.
Recalculer les probabilités de A, B, C.
1) On effectue deux fois l’expérience dans les mêmes conditions. Les
expériences sont indépendantes.
2) ..P(A) = ;
P(B) =
P(C) =
3) Les événements sont indépendants car ils sont issus d’expériences indép
Arbre pondéré.
P(A) = P(R1∩R2) = P(R1) ×P(R2)
=
P(B) = P(
4) On reprend l’expérience 10 fois.
Quelle est la probabilité de ne choisir que des boules rouges ?
II -
Epreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli.
2) a) Après chaque tirage, on remet la boule dans le sac. On répète donc la
même épreuve de Bernoulli 3 fois.
Schéma de Bernoulli :
Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues :
pile/face, oui/non, perdu/ gagné.
On écrira les
résultats de la
variable au bout
de chaque
branche.
On note S (succès) et E (échec) les deux issues d’une épreuve de Bernoulli
et on pose p = P(S) et q =P(E) = 1 – p.
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
s’appelle un schéma de Bernoulli.
X=0
X=1
…
Définition : Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès
obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves, et p désignant la
probabilité d’obtenir le succès dans chaque épreuve.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
Exemple 1 : 1) Un sac contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On tire
une boule et on note sa couleur.
b) La variable aléatoire X comptent le nombre de succès. Elle suit une loi
binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,6.
Cette expérience est-elle une épreuve de Bernoulli ?
Loi de probabilité de X :
2) On tire successivement et avec remise trois boules du sac.
a) Justifier que c’est un schéma de Bernoulli puis représenter ce schéma de
Bernoulli par un arbre pondéré.
P(X = 0) = P(
b) Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges tirées.
Donner la loi de probabilité de X.
Rép : 1) Il y a deux issues à cette expérience. C’est donc une épreuve de
Bernoulli.
On appelle S (succès) l’événement « obtenir une boule rouge »
Et E (échec) l’événement « obtenir une boule verte »
P(X = 1) = P(
...
0,43 = 0,064
+ P(
Loi de probabilité de X
X = xi
0
P(X = xi)
0,064
+ P(
= 3 × 0,6 × 0,42 =0,288
1
0,288
2
0,432
3
0,216
Espérance :
E(X) = 0 ×0,064 + 1× 0,288+ 2× 0,432 + 3 × 0,216 = 1, 8
En moyenne, on obtiendra 1,8 boule rouge sur chaque « trois tirages ».
Exemple 2 : Recommençons l’expérience mais cette fois ci avec 4 tirages
avec remise.
Construire l’arbre pondéré.
…
Calculons P (X = 3)
P(X= 3) =
× 0,63 × 0, 44 -3 où
3
P(X= 3) = 4 × 0,6 × 0, 4
P(X= 3) = 0,3456
1
est le nombre de chemins réalisant
Définition : Soit n et k deux entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ n.
On appelle coefficient binomial et on note
le nombre de chemins
dans l’arbre pondéré menant à l’événement (X = k), c’est-à-dire le nombre
de chemins réalisant k succès parmi n épreuves répétées.
Théorème : Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, la loi de probabilité de X
est :
P( X = k) =
.
3 succès parmi les 4 épreuves.
Compléter
P(X = 2) = ….= 0,3456
Oral
Exemple 3 : Recommençons l’expérience mais cette fois ci avec 10 tirages
avec remise.
Construire l’arbre pondéré.
…
B)
Propriétés des coefficients binomiaux.
Symétrie : On a, pour 0 ≤ k ≤ n :
Triangle de pascal : On a, pour 0 ≤ k ≤ n -1 :
Démonstration p229 (corriger les arbres)
On considère un schéma de Bernoulli à n +1 épreuves.
Il y a par définition,
Calculons P (X = 3)
Remarquons que la seule difficulté réside à calculer le nombre de chemins
réalisant k succès sur n épreuves.
III A)
Loi binomiale.
Coefficients binomiaux.
=
chenis qui mènent à l’événement (X = k+1).
Ces chemins se décomposent en deux parties disjointes :
 Ceux qui commencent par un succès : l’arbre représentant les
épreuves suivantes ( de la deuxième à la dernière) est alors un arbre

de n épreuves, où il reste à choisir k succès ; Il y a donc
chemins de ce type possibles.
Ceux qui commencent par un échec : l’arbre représentant les
épreuves suivantes (de la deuxième à la dernière) est alors un arbre
de n épreuves, où il reste à choisir k + 1 succès ; Il y a donc
chemins de ce type possibles.
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de
paramètres n et p.
On obtient donc ainsi :
.
Conséquences : Triangles de Pascal à construire voir p 224
Triangle de Pascal :
Réponse : On est en présence d’une série d’épreuves identiques et
indépendantes à deux issues. X, la variable aléatoire donnant le nombre de
pile (succès) suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3.
La probabilité d’obtenir 3 fois pile est donc :
P(X = 3) =
C)
0,23×0,87 ≈0,20
Espérance et variance de la loi binomiale.
Propriété (admise) : On considère une variable aléatoire X suivant une loi
binomiale de paramètres n et p.
L’espérance de X est : E(X) = n×p
Par convention,
.
ème
Complétons la 2 ligne.
Complétons la 1ère colonne.
La variance est : V(X) = n×p× (1- p)
L’écart-type est : σ(X) =
A la lecture, on a
Il y a 6 chemins réalisant 2 succès lors de 4 épreuves.
Construire un triangle de Pascal avec Excel.
Calculer un coefficient binomial avec la calculatrice (Voir p 225)
Exemple : Sur une pièce déséquilibrée, la probabilité d’obtenir « pile » est
0,2.
On lance 10 fois cette pièce.
1) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le
nombre de pile. (à 0,01 près)
2) Représenter graphiquement cette loi.
Exemple : Sur une pièce déséquilibrée, la probabilité d’obtenir « pile » est
0,2.
On lance 10 fois cette pièce.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois « pile » ?
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X donnant le nombre de
pile.
3) Déterminer l’espérance de X puis interpréter.