Sur l`arbre pondéré d`une expérience aléatoire à deux

II. Expériences aléatoires à deux épreuves
Vocabulaire :
Sur l'arbre pondéré d'une expérience aléatoire à deux épreuves, une succession de deux branches
est appelée un chemin.
Propriété :
Avec l'arbre pondéré d'une expérience aléatoire à deux épreuves, la probabilité de l'issue auquel
conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Exemple :
On réalise l'expérience aléatoire à deux épreuves suivantes :
on lance une pièce de monnaie équilibrée : on note si elle tombe sur pile (P) ou sur face (F) ;
ensuite, on tire au hasard une boule d'un sac contenant 9 boules (4 noires ; 2 rouges ; 3 vertes) et on
note sa couleur.
L'issue « la pièce est tombée sur pile et on a tiré une boule rouge du sac » est notée (P ; R)
a) Faire l'arbre pondéré de cette expérience.
b) En déduire la probabilité de l'issue (P ; R).
a) Comme la pièce est équilibrée et que la boule est tirée au hasard, on a donc
équiprobabilité.
Donc la probabilité d'obtenir Pile est
1
2
tout comme celle d'obtenir Face.
La probabilité de tirer une boule noire est
4
9
(car 4 boules noires parmi les 9 dans
le sac) celle de tirer une boule rouge
2
9
et celle de tirer une boule verte
3
9=1 3
.
On peut donc construire l'arbre pondéré suivant :
1re épreuve 2e épreuve
b) Pour obtenir la probabilité de l'issue (P ; R), on suit le chemin P puis R et on
multiplie les probabilités rencontrées sur chaque branche d'où
p(P ;R)=1
2×2 9=1 9
P
F
N
R
V
N
R
V
1/2
1/2
4/9
2/9
1/3
4/9
2/9
1/3