Correction – exercices sur la loi binomiale

Correction – exercices sur la loi binomiale
Exercice 28 page 311
1. Choisir une personne au hasard parmi les 100 choisies peut être considéré comme une épreuve de Bernoulli
dont le succès serait : « la personne a un accès internet » de probabilité p = 0,65.
On répète alors 100 fois cette épreuve de Bernoulli et la v.a. X compte le nombre de réponses favorables, c’est-àdire le nombre de succès.
Donc X suit la loi binomiale B(100 ; 0,65 ).
100 
100
0
100
2.a) A : « Toutes les réponses sont favorables » donc p  A  p  X  100   
   0,65   0,35  0,65
100


19
Donc p  A 1,96 10 .
2.b) C : « Le nombre de réponses favorables est compris entre 63 et 65 » donc :
p  C   p  63  X  65   p  X  63  p  X  64   p  X  65 
100 
100 
100 
63
37
64
36
65
35
p(C )  
   0, 65    0,35   
   0, 65    0,35   
   0, 65    0,35 
 63 
 64 
 65 
p  C  0, 24
Exercice 29 page 311
n
n
a) S      
0
1 
nb de chemins
à 0 succès
 ...... 
nb de chemins
à 1 succès
n
 
n
 nb de chemins total lors d'une répétition de n épreuves de Bernoulli
nb de chemins
à n succès
b) On en déduit que S  2n
Exercice 36 page 313
a) Posons comme succès : « l’enfant porte le caractère C ». Avoir un enfant peut être considéré comme une
épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p = 0,1.
La transmission du caractère est indépendante d’un enfant à un autre.
On répète 4 fois (avoir 4 enfants) cette épreuve de Bernoulli.
Soit la v ;a ; X qui compte le nb d’enfants portant le caractère génétique C donc X compte le nb de succès.
D’où X suit la loi binomiale B( 4 ; 0,1).
b) F : « un enfant au moins présente le caractère C » donc F : « aucun enfant ne présente le caractère C » d’où
 4
p F  p  X  0      0,10  0,94  0,94
0
 
 
donc p( F )  1  p F  1  0,94
0,3439
c)Soit l’évènement : « Deux enfants ou plus présentent le caractère C », on veut donc calculer :
p  X  2   p  X  2   p  X  3  p  X  4 
 4
 4
 4
p  X  2      0,12  0,92     0,13  0,91     0,14  0,90
 2
3
 4
p  X  2  0, 0523 (soit 5,23% de chance)
Donc cet évènement n’est pas improbable !