Exercices sur les couples de variables aléatoires discrètes

Exercices sur les couples de variables aléatoires discrètes
Exercice 1. La loi du couple de variables aléatoires (X, Y) est définie dans le tableau suivant :
Y
X
1
2
3
1
0
0,5
0
2
0,25
0
0,25
1. Déterminer les lois marginales en X et en Y. Les v. a. X et Y sont-elles indépendantes ?
2. Calculer Cov (X, Y). Discuter ce résultat.
3. Déterminer la loi de la variable aléatoire : Z = X + 2 Y + 1.
Exercice 2. Une boîte contient 5 boules dont 2 blanches et 3 rouges. Deux boules sont tirées au
hasard dans la boîte et on définit :
X = 1 si la 1ère boule tirée est blanche et X = 0 sinon
Y = 1 si la 2ème boule tirée est blanche et Y = 0 sinon
1. Représenter l’expérience aléatoire par un diagramme en arbre et déterminer la loi jointe du
couple (X, Y), ainsi que les lois marginales en X et Y lorsque le tirage est fait avec remise et
lorsqu’il est fait sans remise. Que remarquez-vous au sujet des lois marginales en X et en Y ?
2. Calculez la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est rouge
(étudiez les cas avec et sans remise).
Exercice 3. On suppose que le nombre d’automobilistes se présentant à une station service en une
période de 5 mn est une variable aléatoire X de distribution :
Valeur de X
0
1
2
Probabilité
0,1
0,5
0,4
De plus la probabilité qu’un automobiliste se présentant à la station demande du super est égale à 0,5.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre d’automobilistes ayant demandé du super pendant une
période de 5 mn.
1. Donner les lois des v.a. conditionnelles { Y | X = 0 }, {Y | X = 1 } et { Y | X = 2 }.
2. En déduire la loi du couple (X, Y ) puis la loi de Y. Calculer P ( Y = 1 | X  1).