Loi binomiale 1 Répétition d`épreuves de Bernoulli 2 Loi binomiale

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TD - chapitre 11
Loi binomiale
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Répétition d'épreuves de Bernoulli
• On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire ayant deux issues possibles et deux seulement. On a coutume d'appeler succès S l'une de ces deux issues, et échec E l'autre issue.
• Par exemple, on lance une fois une pièce de monnaie. On peut appeler succès l'obtention de pile,
et échec l'obtention de face.
• n désigne un entier naturel non nul (en général n ≥ 2). On répète n fois, de façon indépendante, la
même épreuve de Bernoulli à deux issues contraires S et E . On peut considérer que tout résultat
de ce type d'expérience est une liste ordonnée de n lettres, formée uniquement des lettre S (pour
succès) et E (pour échec). On codera chaque résultat par un mot de n lettres ne comportant que
des S et que des E .
Ainsi la liste SESS comprenant une seule fois la lettre E en deuxième position et partout ailleurs
la lettre S signie que l'on a eu un succès au premier essai, suivi d'un échec, et ensuite (n − 2)
succès.
•
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Exemple : On lance un dé non pipé cinq fois de suite. Pour un lancer donné, le succès S correspond
à la sortie du 6 et l'échec E à la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5.
Loi binomiale sur un exemple
On lance un dé non pipé cinq fois de suite. On note Sk l'événement : obtenir 6 au k-ième lancer
et Ek l'événement contraire de Sk . On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois où le
6 est sorti lors de ces cinq lancers. Autrement dit, X compte le nombre de succès.
1. Soit k un entier tel que 1 ≤ k ≤ 5. Donner P (Sk ) et P (Ek ).
2. Calculer la probabilité d'obtenir :
(a) le 6 au premier essai, et aucun 6 aux quatre lancers suivants.
(b) une seule fois 6 au dernier essai.
(c) un 6 et un seul au cours des cinq lancers.
(d) aucun 6.
(e) au moins un 6.
3. On se propose de calculer P (X = 2).
(a) Calculer la probabilité de l'événement élémentaire SEESE en remarquant que
{SEESE} = S1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ S4 ∩ E5
(b) De combien de tels événements élémentaires équiprobables, l'événement (X = 2) est-il la
réunion ?
(c) En déduire la valeur de P (X = 2).
4. Procéder de la même manière pour calculer P (X = 3), P (X = 4) et enn P (X = 5).
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Loi binomiale dans le cas général
On considère une épreuve de Bernoulli à deux issues contraires : le succès S et l'échec E .
On désigne par p la probabilité du succès S , 0 ≤ p ≤ 1. Soit n ∈ N∗ .
On répète n fois dans des conditions identiques et indépendantes cette même épreuve de Bernoulli.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus au cours de ces n épreuves indépendantes. On cherche à déterminer la loi de probabilité de X .
1. Quelle est la probabilité de l'échec pour une épreuve de Bernoulli donnée ?
2. Quel est l'ensemble des valeurs que peut prendre X ?
3. On rappelle que tout résultat de cette expérience peut être codé par un mot de n lettres, formé
uniquement de S et de E .
Soit k un entier xé tel que 0 ≤ k ≤ n. On se propose de calculer P (X = k).
(a) De combien de façons diérentes peut-on placer k lettres S dans un mot de n lettres
constitué uniquement de S et de E ?
(b) Calculer la probabilité d'obtenir le mot SS · · · SEE · · · E formée de k lettres S consécutives, suivies de n − k lettres E .
(c) En déduire l'expression de P (X = k) en fonction de n, de p et de k.
On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, que l'on note B(n; p).
4. À l'aide de la formule du binôme, vérier que :
n
X
P (X = k) = 1
k=0
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Calcul de l'espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire dénie sur un univers Ω. On suppose que X suit la loi binomiale B(n; p)
de paramètres n et p où n ∈ N∗ et p ∈ [0; 1].
1. Vérier que pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, on a :
n−1
n
=n
k
k−1
k
2. Démontrer que E(X) = np.